1. 某二手车管理站,用一种一氧化碳(CO)检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量,这种检测仪的电路图如图①所示,其工作原理为:当尾气中一氧化碳的浓度增加,气敏电阻的阻值变小,电流随之增大,即所显示的一氧化碳含量就越高. 已知气敏电阻$R(\Omega)$的阻值随着尾气中一氧化碳的含量$β(\mathrm{g/km})$变化的关系图象如图②所示,$R_0(\Omega)$为定值电阻,电源电压恒定不变.


(1)请根据图②,判断气敏电阻$R(\Omega)$与尾气中一氧化碳的含量$β(\mathrm{g/km})$之间成关系,它的函数表达式为.
(2)已知该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于$1.0\ \mathrm{g/km}$.若某辆小轿车的尾气检测阻值为$0.5\ \Omega$,则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准.
(3)该管理站对(2)中的小汽车进行维修,其尾气中一氧化碳的含量降至$0.1\ \mathrm{g/km}$,此时气敏电阻的阻值与维修前相比会如何变化?升高或降低多少?

1. (1)反比例 $R=\dfrac{1}{β}$ 解析:由函数图象可知,气敏电阻$R(\Omega)$与尾气中一氧化碳的含量$β(\mathrm{g/km})$之间成反比例关系,设$R=\dfrac{k}{β}(k≠0)$,把$(0.2,5)$代入$R=\dfrac{k}{β}(k≠0)$中得$k=0.2×5=1$,$\therefore R=\dfrac{1}{β}$.
(2)在$R=\dfrac{1}{β}$中,当$R=0.5$时,$\dfrac{1}{β}=0.5$,解得$β=2$.$\because 2＞1$,$\therefore$ 该小轿车尾气中一氧化碳的含量没有达到标准.
(3)在$R=\dfrac{1}{β}$中,当$β=0.1$时,$R=\dfrac{1}{0.1}=10$,$\therefore 10-0.5=9.5(\Omega)$,$\therefore$ 此时气敏电阻的阻值与维修前相比会升高,升高$9.5\ \Omega$.

【分析】
解决本题需分三步：第一步，根据图②的图像特征判断气敏电阻R与一氧化碳含量β的函数关系，利用待定系数法求出函数表达式；第二步，将检测得到的R值代入函数表达式，求出对应的β值，与标准值比较判断是否达标；第三步，将维修后的β值代入函数表达式，求出对应的R值，与维修前的R值比较，计算差值得出阻值变化情况。
【解析】
(1) 由图②可知，气敏电阻R随β的变化图像为双曲线，故R与β成反比例关系。设函数表达式为$ R = \frac{k}{β} (k≠0) $，将点(0.2,5)代入得：$ 5 = \frac{k}{0.2} $，解得$ k = 0.2×5 = 1 $，因此函数表达式为$ R = \frac{1}{β} $。
(2) 当$ R = 0.5\ \Omega $时，代入$ R = \frac{1}{β} $得：$ 0.5 = \frac{1}{β} $，解得$ β = 2\ \mathrm{g/km} $。因为$ 2 ＞ 1.0 $，所以该小轿车尾气中一氧化碳的含量没有达到标准。
(3) 当$ β = 0.1\ \mathrm{g/km} $时，代入$ R = \frac{1}{β} $得：$ R = \frac{1}{0.1} = 10\ \Omega $。维修前R为0.5Ω，阻值变化为$ 10 - 0.5 = 9.5\ \Omega $，即阻值升高，升高9.5Ω。
【答案】
(1) 反比例；$ R=\dfrac{1}{β} $ (2) 没有达到标准 (3) 升高，升高9.5Ω
【知识点】
反比例函数的应用，函数表达式的确定
【点评】
本题结合实际尾气检测场景，考查反比例函数在实际问题中的应用，解题步骤清晰，重点考查学生对反比例函数定义、待定系数法求表达式及代入求值的掌握，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6

2. (2026·南通期中)小明家饮水机中原有水的温度为$20\ °\mathrm{C}$,通电开机后,饮水机自动开始加热,此过程中水温$y(°\mathrm{C})$与开机时间$x$(分)满足一次函数关系,当加热到$100\ °\mathrm{C}$时自动停止加热,随后水温开始下降,此过程中水温$y(°\mathrm{C})$与开机时间$x$(分)成反比例关系,当水温降至$20\ °\mathrm{C}$时,饮水机又自动开始加热,重复上述程序(如图所示),根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)当$0≤ x≤ 8$时,求水温$y(°\mathrm{C})$与开机时间$x$(分)的函数表达式.
(2)求图中$t$的值.
(3)有一天,小明在上午$7:10$(水温$20\ °\mathrm{C}$),开机通电后去上学,中午放学回到家时间刚好$11:15$,此时饮水机内水的温度约为多少摄氏度?在$7:10$~$11:15$这段时间里,水温共有几次达到$100\ °\mathrm{C}$?

2. (1)由图象可知,当$0≤x≤8$时是一次函数,设水温$y(°\mathrm{C})$与开机时间$x$(分)的函数表达式为$y=kx+b$,将$(0,20)$,$(8,100)$代入得$\begin{cases}8k+b=100,\\b=20,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=10,\\b=20,\end{cases}$$\therefore$ 水温$y(°\mathrm{C})$与开机时间$x$(分)的函数表达式为$y=10x+20(0≤x≤8)$.
(2)在水温下降过程中,设水温$y(°\mathrm{C})$与开机时间$x$(分)的函数表达式为$y=\dfrac{m}{x}$,将$(8,100)$代入,得$100=\dfrac{m}{8}$,解得$m=800$,$\therefore$ 反比例函数表达式为$y=\dfrac{800}{x}$,当$y=20$时,$20=\dfrac{800}{x}$,解得$x=40$,即题图中$t$的值为40.
(3)由(2)可得$t=40$,结合图象,可知每40分钟图象重复出现一次,$7:10$~$11:15$经历的时间为245分钟,$245÷40=6$(次)$······5$(分钟),$8＞5$,此时与$x=5$时水的温度相同,$\therefore$ 当$x=5$时,$y=10×5+20=70(°\mathrm{C})$.答:此时饮水机内水温约为$70\ °\mathrm{C}$,共有6次达到$100\ °\mathrm{C}$.

【分析】
本题围绕饮水机水温变化的函数关系展开，需结合一次函数、反比例函数的待定系数法求解表达式，再利用函数的周期性解决实际时间对应的温度问题。
第(1)问：0~8分钟是加热过程，属于一次函数，找到图象上的两个点，用待定系数法求一次函数表达式；
第(2)问：水温下降过程是反比例函数，找到对应点求反比例函数表达式，再令y=20，解出x的值即t；
第(3)问：先计算总时间，结合周期为t=40分钟，通过总时间除以周期得余数，判断对应阶段求温度，再根据周期数确定达到100℃的次数。
【解析】
(1) 当$0≤x≤8$时，设水温$y$与开机时间$x$的函数表达式为$y=kx+b$，
将$(0,20)$、$(8,100)$代入得：
$\begin{cases} b=20 \\ 8k+b=100 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} k=10 \\ b=20 \end{cases}$，
因此函数表达式为$y=10x+20(0≤x≤8)$。
(2) 当$x≥8$时，设水温$y$与开机时间$x$的函数表达式为$y=\frac{m}{x}$，
将$(8,100)$代入得：$100=\frac{m}{8}$，解得$m=800$，
即反比例函数表达式为$y=\frac{800}{x}$，
令$y=20$，则$20=\frac{800}{x}$，解得$x=40$，故$t=40$。
(3) 计算7:10到11:15的总时间：$11时15分 -7时10分=245分钟$，
周期为40分钟，$245÷40=6$（次）……$5$（分钟），
余数5分钟＜8分钟，属于加热阶段，代入$y=10x+20$，得$y=10×5+20=70(°\mathrm{C})$；
每40分钟为一个周期，每个周期内水温达到100℃1次，共6个完整周期，故达到100℃共6次。
【答案】
(1) $y=10x+20(0≤x≤8)$；(2) $t=40$；(3) 此时水温约为$70\ °\mathrm{C}$，共有6次达到$100\ °\mathrm{C}$
【知识点】
一次函数应用，反比例函数应用，函数周期性
【点评】
本题结合生活实际考查函数表达式的求解与应用，需理解函数图象与实际过程的对应关系，步骤清晰，注重待定系数法和周期性的运用，难度适中。
【难度系数】
0.6