3. 小明探究下列问题:商场将单价不同的甲、乙两种糖果混合成什锦糖售卖.若该商场采用以下两种不同方式混合：
方式1:将质量相等的甲、乙糖果进行混合；
方式2:将总价相等的甲、乙糖果进行混合.
哪种混合方式的什锦糖的单价更低？
(1)小明设甲、乙糖果的单价分别为$a,b$,用含$a,b$的代数式分别表示两种混合方式的什锦糖的单价；
(2)为解决问题,小明查阅了资料,发现以下正确结论：
结论1:若$A-B＞0$,则$A＞B$;若$A-B=0$,则$A=B$;若$A-B＜0$,则$A＜B$;
结论2:反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$的图象上的点的横坐标与纵坐标互为倒数；
结论3:若$P$的坐标为$(x_1,y_1)$,$Q$的坐标为$(x_2,y_2)$,则线段$PQ$的中点坐标为$(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$.
小明利用上述结论顺利解决此问题,请你按照他的思路写出解答过程：
①利用结论1求解；
②利用结论2、结论3求解.
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3. (1)采用方式1混合的什锦糖的单价为$\dfrac{a+b}{2}$,采用方式2混合的什锦糖的单价为$\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2ab}{a+b}$.
(2)①$\because a＞0,b＞0,a≠ b$,$\therefore (a-b)^2＞0$,$2(a+b)＞0$,$\therefore \dfrac{a+b}{2}-\dfrac{2ab}{a+b}=\dfrac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$,由结论1,得$\dfrac{a+b}{2}＞\dfrac{2ab}{a+b}$,$\therefore$ 采用方式2混合的什锦糖的单价更低.
②如图,设$A,B$是反比例函数$y=\dfrac{1}{x}(x＞0)$的图象上两点,$C$是线段$AB$的中点.

令点$A,B$的纵坐标分别为$a,b$,不妨设$a＞b$,过点$C$作$CD⊥ x$轴,垂足为$D$,$CD$与此函数图象交于点$E$,由结论2,得点$A,B$的横坐标分别为$\dfrac{1}{a}$,$\dfrac{1}{b}$,由结论3,得点$C$的坐标为$(\dfrac{a+b}{2ab},\dfrac{a+b}{2})$.$\because$ 点$C$与点$E$的横坐标相等,$\therefore$ 点$E$的横坐标为$\dfrac{a+b}{2ab}$,由结论2,得点$E$的坐标为$(\dfrac{a+b}{2ab},\dfrac{2ab}{a+b})$.$\because E$是线段$CD$上一点,$\therefore CD＞DE$,$\therefore \dfrac{a+b}{2}＞\dfrac{2ab}{a+b}$,$\therefore$ 采用方式2混合的什锦糖的单价更低.

【分析】
本题需分两步解决：第(1)问根据两种混合方式的质量、总价关系，用甲、乙糖果单价$a,b$表示什锦糖单价；第(2)问分别用代数作差法（结论1）和数形结合法（结论2、3）比较两个单价的大小，核心是明确两种混合方式的总质量与总价，再按要求推导、比较。
【解析】
(1) 设甲糖果单价为$a$，乙糖果单价为$b$（$a＞0,b＞0,a≠b$）：
方式1：设甲、乙糖果质量均为$m$，总质量为$2m$，总价为$ma+mb$，则什锦糖单价为：
$\frac{ma+mb}{2m}=\frac{a+b}{2}$；
方式2：设甲、乙糖果总价均为$n$，总质量为$\frac{n}{a}+\frac{n}{b}$，总价为$2n$，则什锦糖单价为：
$\frac{2n}{\frac{n}{a}+\frac{n}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$。
(2) ① 利用结论1比较大小：
计算两个单价的差：
$\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$，
因为$a＞0,b＞0,a≠b$，所以$(a-b)^2＞0$，$2(a+b)＞0$，故$\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$，即$\frac{a+b}{2}＞\frac{2ab}{a+b}$，因此方式2的单价更低。
② 利用结论2、结论3求解：
设反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$，取点$A,B$在该图象上，令$A$纵坐标为$a$，$B$纵坐标为$b$（$a＞b$）：
由结论2，$A$横坐标为$\frac{1}{a}$，$B$横坐标为$\frac{1}{b}$；
由结论3，线段$AB$中点$C$的坐标为$(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2},\frac{a+b}{2})$，化简横坐标得$\frac{a+b}{2ab}$，即$C(\frac{a+b}{2ab},\frac{a+b}{2})$；
过$C$作$CD⊥x$轴，交反比例函数于$E$，$E$横坐标与$C$相同，由结论2得$E$纵坐标为$\frac{2ab}{a+b}$；
因$E$在线段$CD$上，故$CD＞DE$，即$\frac{a+b}{2}＞\frac{2ab}{a+b}$，因此方式2的单价更低。
【答案】
(1) 方式1的什锦糖单价为$\frac{a+b}{2}$，方式2的什锦糖单价为$\frac{2ab}{a+b}$；
(2) 采用方式2混合的什锦糖的单价更低。

【知识点】
分式的应用、不等式的性质、反比例函数的性质
【点评】
本题通过两种方法比较分式大小，既考查分式运算能力，又体现数形结合思想，将代数问题转化为几何问题解决，综合考查学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.4

4. (2026·苏州期中)如图是某停车场的平面示意图,停车场外围的长为30米,宽为18米.停车场内车道的宽都相等,停车位总占地面积为288平方米.则车道的宽为米.

4. 6 解析:由题图得车道的宽为$x$米,则停车位总占地长为$(30-x)$米,宽为$(18-x)$米,根据题意得$(18-x)(30-x)=288$,整理得$x^2-48x+252=0$,解得$x_1=6$,$x_2=42$(不符合题意,舍去),即车道的宽为6米.

【分析】首先明确车道宽为$ x $米，停车位的长等于停车场外围的长减去左侧车道的宽，即$(30 - x)$米；停车位的宽等于停车场外围的宽减去中间车道的宽，即$(18 - x)$米。根据停车位总占地面积为288平方米，可列出关于$ x $的一元二次方程，解方程后舍去不符合实际意义的解，即可得到车道的宽。
【解析】设车道的宽为$ x $米。
根据题意，停车位的长为$(30 - x)$米，宽为$(18 - x)$米，结合停车位总面积为288平方米，列方程：
$(30 - x)(18 - x) = 288$
展开并整理方程：
$540 - 48x + x^2 = 288 \x^2 - 48x + 252 = 0$
解一元二次方程，计算判别式$\Delta = (-48)^2 - 4 × 1 × 252 = 1296$，则：
$x = \frac{48 \pm \sqrt{1296}}{2} = \frac{48 \pm 36}{2}$
解得$ x_1 = 42 $，$ x_2 = 6 $。
由于车道宽不能超过停车场的宽18米，$ x=42 $不符合实际，舍去，因此车道的宽为6米。
【答案】6
【知识点】一元二次方程应用、面积计算
【点评】本题是利用一元二次方程解决几何面积实际问题的典型题型，核心是找准停车位长、宽与车道宽的数量关系，列方程后需结合实际意义舍去不合理的解，考查学生的数学建模能力与实际问题分析能力。
【难度系数】0.5

5. (2025·扬州期末)某农场计划建造一个矩形养殖场$ABCD$,为充分利用现有资源,该矩形养殖场一边$BC$靠墙(墙的长度为9 m),其他边均用栅栏围成,中间用与墙垂直的栅栏$EF$把它分成两个面积为$1:2$的矩形,如图所示.已知栅栏的总长度为15 m,设较小矩形中与墙平行的一边$AE$长为$x$ m.
(1)填空:
①养殖场中每一条与墙垂直的边长均可用含$x$的代数式表示为m;
②$x$的取值范围是.
(2)矩形养殖场$ABCD$的面积能否达到$12\ \mathrm{m}^2$? 如果能,请求出$x$的值;如果不能,请说明理由.

5. (1)①$(5-x)$ 解析:由题意得$AE=x\ \mathrm{m}$,$AB=EF=CD$,$\because$ 中间用与墙垂直的栅栏$EF$把它分成两个面积为$1:2$的矩形,即$S_{\mathrm{矩形}ABFE}:S_{\mathrm{矩形}CDEF}=1:2$,$\therefore AE:DE=1:2$,$\therefore DE=2x\ \mathrm{m}$,$\therefore AB=EF=CD=\dfrac{1}{3}×(15-AE-DE)=\dfrac{1}{3}×(15-x-2x)=(5-x)\ \mathrm{m}$.
②$0＜x≤3$ 解析:$\because$ 墙的长度为9 m,$\therefore BC=AD=3x≤9$,即$x≤3$,$\therefore x$的取值范围是$0＜x≤3$,故答案为$0＜x≤3$.
(2)能.根据题意,列方程得$3x(5-x)=12$,整理,得$x^2-5x+4=0$,解方程,得$x_1=1$,$x_2=4$,由(1)可知,$0＜x≤3$,$\therefore x=1$,即矩形养殖场$ABCD$的面积能达到$12\ \mathrm{m}^2$,此时$x$的值是1.

【分析】
首先，根据两个矩形面积比为1:2，且它们垂直墙的边长相等，可得水平边长之比为1:2，从而确定DE的长度；再结合栅栏总长度，求出与墙垂直的边长的代数式；接着根据墙长限制确定x的取值范围；最后通过面积公式列方程求解，结合取值范围判断解的合理性。
【解析】
(1) ① 因为矩形ABFE与矩形CDEF面积比为1:2，且它们的高（垂直墙的边长）相等，所以水平边长之比AE:DE=1:2。已知AE=x m，则DE=2x m，总水平边长AD=AE+DE=3x m。
栅栏总长度为15 m，包含3条垂直墙的边长（AB、EF、CD）和1条水平边长AD，设垂直墙的边长为y m，可得：3y + 3x =15，解得y=(15-3x)/3=5 - x，故与墙垂直的边长为(5 - x) m。
② 墙的长度为9 m，即AD=3x ≤9，解得x≤3；同时边长需为正数，所以5 - x＞0（垂直边长），即x＜5，结合x＞0，得0＜x≤3。
(2) 矩形ABCD的面积=AD×AB=3x(5 - x)，若面积为12 m²，列方程：
3x(5 - x)=12
整理得：x² -5x +4=0
因式分解得：(x-1)(x-4)=0
解得x₁=1，x₂=4。
由(1)知0＜x≤3，x=4不符合，舍去，故x=1。
【答案】
(1) ① (5 - x)；② 0＜x≤3；(2) 能，x的值为1
【知识点】
矩形性质、一元一次方程应用、一元二次方程应用
【点评】
本题结合实际场景考查矩形边长关系、代数式表示及方程求解，关键是利用面积比确定边长比例，再结合墙长限制筛选解，需注意实际问题中取值范围的约束。
【难度系数】
0.5