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6. 某“5A”景区决定在“5.1”劳动节期间推出优惠套餐，预售“亲子两人游”套票和“家庭三人行”套票，预售中的“家庭三人行”套票的价格是“亲子两人游”套票的2倍.
(1)若“亲子两人游”套票的预售额为21 000元，“家庭三人行”套票的预售额为10 500元，且“亲子两人游”的销售量比“家庭三人行”的套票多450套，求“亲子两人游”套票的价格.
(2)套票在出售当天计划推出“亲子两人游”套票1 600张，“家庭三人行”套票400张，由于预售火爆，景区决定将“亲子两人游”套票的价格在(1)中“亲子两人游”套票的价格的基础上增加$\dfrac{3}{4}a$元，而“家庭三人行”套票的价格在(1)中“家庭三人行”套票的价格的基础上增加了$a$元，结果“亲子两人游”套票的销量比计划少$32a$套，“家庭三人行”套票的销售量与计划保持一致，最终实际销售额和计划销售额相同，求$a$的值.
(1)若“亲子两人游”套票的预售额为21 000元，“家庭三人行”套票的预售额为10 500元，且“亲子两人游”的销售量比“家庭三人行”的套票多450套，求“亲子两人游”套票的价格.
(2)套票在出售当天计划推出“亲子两人游”套票1 600张，“家庭三人行”套票400张，由于预售火爆，景区决定将“亲子两人游”套票的价格在(1)中“亲子两人游”套票的价格的基础上增加$\dfrac{3}{4}a$元，而“家庭三人行”套票的价格在(1)中“家庭三人行”套票的价格的基础上增加了$a$元，结果“亲子两人游”套票的销量比计划少$32a$套，“家庭三人行”套票的销售量与计划保持一致，最终实际销售额和计划销售额相同，求$a$的值.
答案
6. (1)设“亲子两人游”套票价格为$x$元,则“家庭三人行”套票的价格是$2x$元.
由题意得$\dfrac{21000}{x}-\dfrac{10500}{2x}=450$,解得$x=35$,经检验,$x=35$是原方程的解,且符合题意.
答:“亲子两人游”套票的价格为35元.
(2)$(35+\dfrac{3}{4}a)(1600-32a)+400(70+a)=1600×35+400×70$,化简得$a^2-20a=0$,解得$a_1=20$,$a_2=0$(舍去),$\therefore a$的值为20.
由题意得$\dfrac{21000}{x}-\dfrac{10500}{2x}=450$,解得$x=35$,经检验,$x=35$是原方程的解,且符合题意.
答:“亲子两人游”套票的价格为35元.
(2)$(35+\dfrac{3}{4}a)(1600-32a)+400(70+a)=1600×35+400×70$,化简得$a^2-20a=0$,解得$a_1=20$,$a_2=0$(舍去),$\therefore a$的值为20.
解析
【分析】
第(1)问：根据“家庭三人行”套票价格是“亲子两人游”的2倍设未知数，利用“预售额÷单价=销售量”表示两种套票的销售量，结合两者销售量差450套列分式方程，求解后需检验解的合理性；第(2)问：先由第(1)问确定两种套票原价，再表示调整价格后的单价和销量，根据“实际销售额=计划销售额”列方程，化简求解后舍去不符合实际的解，得到a的值。
【解析】
(1)设“亲子两人游”套票的价格为$x$元，则“家庭三人行”套票的价格为$2x$元。
根据题意，得$\dfrac{21000}{x}-\dfrac{10500}{2x}=450$，
方程两边同乘$2x$，得$42000 - 10500 = 900x$，
解得$x=35$，
经检验，$x=35$是原方程的解，且符合题意。
答：“亲子两人游”套票的价格为35元。
(2)由(1)知“家庭三人行”套票原价为$2×35=70$元，
计划销售额为$1600×35 + 400×70 = 84000$元，
实际销售额为$(35+\dfrac{3}{4}a)(1600-32a)+400(70+a)$，
根据题意列方程：$(35+\dfrac{3}{4}a)(1600-32a)+400(70+a)=84000$，
化简得$a^2 -20a=0$，
解得$a_1=20$，$a_2=0$，
舍去不符合实际意义的$a=0$，故$a=20$。
答：$a$的值为20。
【答案】
(1)“亲子两人游”套票的价格为35元；(2)$a$的值为20。
【知识点】
分式方程的应用，一元二次方程的应用，销售问题
【点评】
本题为销售类应用题，分两小问分别考查分式方程和一元二次方程的应用，需注意解分式方程要检验、一元二次方程的解要符合实际意义，是初中数学的典型题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
第(1)问：根据“家庭三人行”套票价格是“亲子两人游”的2倍设未知数，利用“预售额÷单价=销售量”表示两种套票的销售量，结合两者销售量差450套列分式方程，求解后需检验解的合理性；第(2)问：先由第(1)问确定两种套票原价，再表示调整价格后的单价和销量，根据“实际销售额=计划销售额”列方程，化简求解后舍去不符合实际的解，得到a的值。
【解析】
(1)设“亲子两人游”套票的价格为$x$元，则“家庭三人行”套票的价格为$2x$元。
根据题意，得$\dfrac{21000}{x}-\dfrac{10500}{2x}=450$，
方程两边同乘$2x$，得$42000 - 10500 = 900x$，
解得$x=35$，
经检验，$x=35$是原方程的解，且符合题意。
答：“亲子两人游”套票的价格为35元。
(2)由(1)知“家庭三人行”套票原价为$2×35=70$元，
计划销售额为$1600×35 + 400×70 = 84000$元，
实际销售额为$(35+\dfrac{3}{4}a)(1600-32a)+400(70+a)$，
根据题意列方程：$(35+\dfrac{3}{4}a)(1600-32a)+400(70+a)=84000$，
化简得$a^2 -20a=0$，
解得$a_1=20$，$a_2=0$，
舍去不符合实际意义的$a=0$，故$a=20$。
答：$a$的值为20。
【答案】
(1)“亲子两人游”套票的价格为35元；(2)$a$的值为20。
【知识点】
分式方程的应用，一元二次方程的应用，销售问题
【点评】
本题为销售类应用题，分两小问分别考查分式方程和一元二次方程的应用，需注意解分式方程要检验、一元二次方程的解要符合实际意义，是初中数学的典型题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
7. 已知 $△ ABC$ 是等腰直角三角形, $∠ C=90°$, $AC=BC$.
(1) 当 $AC=BC=6$ 时.
①如图①,将直角的顶点 $D$ 放至 $AB$ 的中点处,分别交 $AC,BC$ 于点 $E,F$,请说明 $△ DEF$ 为等腰直角三角形;
②如图②,将直角顶点 $D$ 放至 $AC$ 边的某处,与 $△ ABC$ 另两边的交点分别为点 $E,F$,若 $△ DEF$ 为等腰直角三角形且面积为 4,求 $CD$ 的长.
(2) 若等腰直角 $△ DEF$ 三个顶点分别在等腰直角 $△ ABC$ 的三边上,等腰直角 $△ DEF$ 的直角边长为 1 时,求等腰直角 $△ ABC$ 的直角边长的最大值.
(1) 当 $AC=BC=6$ 时.
①如图①,将直角的顶点 $D$ 放至 $AB$ 的中点处,分别交 $AC,BC$ 于点 $E,F$,请说明 $△ DEF$ 为等腰直角三角形;
②如图②,将直角顶点 $D$ 放至 $AC$ 边的某处,与 $△ ABC$ 另两边的交点分别为点 $E,F$,若 $△ DEF$ 为等腰直角三角形且面积为 4,求 $CD$ 的长.
(2) 若等腰直角 $△ DEF$ 三个顶点分别在等腰直角 $△ ABC$ 的三边上,等腰直角 $△ DEF$ 的直角边长为 1 时,求等腰直角 $△ ABC$ 的直角边长的最大值.
答案
7. (1)①如图①,过点$D$作$DG⊥ AC$于点$G$,$DH⊥ BC$于点$H$,连接$CD$.
$\because △ ABC$是等腰直角三角形,$AC=BC$,点$D$是$AB$的中点,$\therefore CD⊥ AB$,$CD=AD=BD$,$∠ ACD=∠ BCD$.$\because DG⊥ AC$,$DH⊥ BC$,$\therefore DG=DH$.$\because ∠ ACB=∠ EDF=90°$,$\therefore ∠ DEC+∠ DFC=180°$.$\because ∠ DEC+∠ DEG=180°$,$\therefore ∠ DEG=∠ DFC$. 又$\because ∠ DGC=∠ DHB=90°$,$\therefore △ DEG≌△ DFH(\mathrm{AAS})$,$\therefore DE=DF$,$\therefore △ DEF$是等腰直角三角形.
②如图②,过点$F$作$FN⊥ AC$于点$N$.$\because ∠ CED+∠ CDE=90°$,$∠ ADF+∠ CDE=90°$,$\therefore ∠ ADF=∠ CED$.又$\because ∠ FND=∠ C=90°$,$DF=DE$,$\therefore △ FDN≌△ DEC(\mathrm{AAS})$,$\therefore NF=DC$.
$\because ∠ C=90°$,$AC=BC$,$\therefore ∠ A=∠ B=45°$.$\because FN⊥ AC$,$\therefore ∠ A=∠ AFN=45°$,$\therefore AN=NF$.设$AN=NF=CD=x$,则$ND=6-2x$.
$\because S_{△ DEF}=\dfrac{1}{2}DE· DF=4$,$DE=DF$,$\therefore \dfrac{1}{2}DF^2=4$,$\therefore DF^2=8$.
$\because DN^2+NF^2=DF^2$,$\therefore (6-2x)^2+x^2=8$,$\therefore x=2$或$x=\dfrac{14}{5}$.
$\therefore CD=2$或$\dfrac{14}{5}$.
(2)设等腰$\mathrm{Rt}△ DEF$的直角顶点为$D$,若$D$在$AB$上,如图③,取$EF$的中点$Q$,连接$CQ$,$DQ$,则$CQ=\dfrac{1}{2}EF$,$DQ=\dfrac{1}{2}EF$.
$\because △ DEF$是直角边长为1的等腰直角三角形($∠ EDF=90°$),$\therefore EF=\sqrt{2}$,$\therefore CQ=DQ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,$\therefore CQ+DQ=\sqrt{2}$,$\therefore$ 当$C$,$Q$,$D$三点共线时,$CD$最长,最长为$\sqrt{2}$,$\therefore$ 在等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$($∠ ACB=90°$)中,当$CD⊥ AB$时,$AC$的长最大.$AC$的最大值为2.
若$D$在直角边上,如图④,过点$E$分别作$EG⊥ CA$于点$G$,$EH⊥ CB$于点$H$.由(1)知$△ DEG≌△ FDC$,设$GE=x=CD$,$DG=y$,$AC=BC=s$,则$\begin{cases}2x+y=s,\\x^2+y^2=1,\end{cases}$$\therefore x^2+(s-2x)^2=1$,$\therefore 5x^2-4sx+s^2-1=0$,$\therefore b^2-4ac=20-4s^2\ge0$,解得$s\le\sqrt{5}$.当$s$取最大值时,$x=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$,$y=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$,$\therefore AC$的最大值为$\sqrt{5}$.
综上所述,$AC$的最大值为$\sqrt{5}$.
解析
【分析】
本题是等腰直角三角形的综合题，解题思路如下：
(1)①要证明△DEF为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形斜边中点的性质，作垂线构造全等三角形，证得DE=DF且∠EDF=90°即可；
(1)②已知△DEF是等腰直角三角形，先由面积公式求出DF²，再通过作垂线构造全等三角形，结合等腰直角三角形的角度关系设未知数，利用勾股定理列方程求解CD；
(2)分两种情况讨论：等腰直角△DEF的直角顶点D在AB上时，利用直角三角形斜边中线性质求AC的最大值；D在直角边上时，通过全等三角形设未知数，结合方程有解的条件求AC的最大值，最终取两种情况的最大值。
【解析】
(1)①如图①，过点D作$DG⊥AC$于点G，$DH⊥BC$于点H，连接CD。
∵△ABC是等腰直角三角形，$AC=BC$，点D是AB中点，
∴$CD⊥AB$，$CD=AD=BD$，$∠ACD=∠BCD=45°$，
∵$DG⊥AC$，$DH⊥BC$，
∴$DG=DH$，
∵$∠ACB=∠EDF=90°$，
∴$∠DEC+∠DFC=180°$，
又$∠DEC+∠DEG=180°$，
∴$∠DEG=∠DFC$，
在△DEG和△DFH中：
$\{\begin{array}{l}∠DGE=∠DHF=90°\\∠DEG=∠DFH\\DG=DH\end{array} $
∴△DEG≌△DFH(AAS)，
∴$DE=DF$，又$∠EDF=90°$，
∴△DEF为等腰直角三角形。
②如图②，过点F作$FN⊥AC$于点N。
∵$∠CED+∠CDE=90°$，$∠ADF+∠CDE=90°$，
∴$∠ADF=∠CED$，
又$∠FND=∠C=90°$，$DF=DE$，
∴△FDN≌△DEC(AAS)，
∴$NF=DC$，
∵△ABC是等腰直角三角形，$∠C=90°$，
∴$∠A=∠B=45°$，
∵$FN⊥AC$，
∴$∠AFN=∠A=45°$，
∴$AN=NF$，
设$AN=NF=CD=x$，则$ND=6-2x$，
∵$S_{△DEF}=\dfrac{1}{2}DE·DF=4$，$DE=DF$，
∴$\dfrac{1}{2}DF^2=4$，即$DF^2=8$，
在Rt△DNF中，$DN^2+NF^2=DF^2$，
∴$(6-2x)^2+x^2=8$，
整理得$5x^2-24x+28=0$，
解得$x=2$或$x=\dfrac{14}{5}$，
∴$CD=2$或$\dfrac{14}{5}$。
(2)分两种情况：
情况1：直角顶点D在AB上，如图③，取EF中点Q，连接CQ、DQ，
∵△DEF是直角边长为1的等腰直角三角形，$∠EDF=90°$，
∴$EF=\sqrt{2}$，
∵Q是EF中点，$∠ECF=90°$，$∠EDF=90°$，
∴$CQ=DQ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，当C、Q、D共线时，CD最长为$\sqrt{2}$，此时AC最大为2；
情况2：直角顶点D在直角边上，如图④，过E作$EG⊥CA$于G，$EH⊥CB$于H，
由(1)知△DEG≌△FDC，设$GE=x=CD$，$DG=y$，$AC=BC=s$，
则$\{\begin{array}{l}2x+y=s\\x^2+y^2=1\end{array} $，
将$y=s-2x$代入得$5x^2-4sx+s^2-1=0$，
该方程有解，判别式$\Delta=20-4s^2≥0$，解得$s≤\sqrt{5}$，
∴AC最大值为$\sqrt{5}$。
综上，等腰直角△ABC的直角边长最大值为$\sqrt{5}$。
【答案】
7. (1)①证明见上述解析；②$CD=2$或$\dfrac{14}{5}$；(2)等腰直角△ABC的直角边长最大值为$\sqrt{5}$。
【知识点】
等腰直角三角形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理、一元二次方程判别式
【点评】
本题是等腰直角三角形的综合题，涉及全等构造、分类讨论思想，需熟练掌握等腰直角三角形性质，难度中等，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
本题是等腰直角三角形的综合题，解题思路如下：
(1)①要证明△DEF为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形斜边中点的性质，作垂线构造全等三角形，证得DE=DF且∠EDF=90°即可；
(1)②已知△DEF是等腰直角三角形，先由面积公式求出DF²，再通过作垂线构造全等三角形，结合等腰直角三角形的角度关系设未知数，利用勾股定理列方程求解CD；
(2)分两种情况讨论：等腰直角△DEF的直角顶点D在AB上时，利用直角三角形斜边中线性质求AC的最大值；D在直角边上时，通过全等三角形设未知数，结合方程有解的条件求AC的最大值，最终取两种情况的最大值。
【解析】
(1)①如图①，过点D作$DG⊥AC$于点G，$DH⊥BC$于点H，连接CD。
∵△ABC是等腰直角三角形，$AC=BC$，点D是AB中点，
∴$CD⊥AB$，$CD=AD=BD$，$∠ACD=∠BCD=45°$，
∵$DG⊥AC$，$DH⊥BC$，
∴$DG=DH$，
∵$∠ACB=∠EDF=90°$，
∴$∠DEC+∠DFC=180°$，
又$∠DEC+∠DEG=180°$，
∴$∠DEG=∠DFC$，
在△DEG和△DFH中：
$\{\begin{array}{l}∠DGE=∠DHF=90°\\∠DEG=∠DFH\\DG=DH\end{array} $
∴△DEG≌△DFH(AAS)，
∴$DE=DF$，又$∠EDF=90°$，
∴△DEF为等腰直角三角形。
②如图②，过点F作$FN⊥AC$于点N。
∵$∠CED+∠CDE=90°$，$∠ADF+∠CDE=90°$，
∴$∠ADF=∠CED$，
又$∠FND=∠C=90°$，$DF=DE$，
∴△FDN≌△DEC(AAS)，
∴$NF=DC$，
∵△ABC是等腰直角三角形，$∠C=90°$，
∴$∠A=∠B=45°$，
∵$FN⊥AC$，
∴$∠AFN=∠A=45°$，
∴$AN=NF$，
设$AN=NF=CD=x$，则$ND=6-2x$，
∵$S_{△DEF}=\dfrac{1}{2}DE·DF=4$，$DE=DF$，
∴$\dfrac{1}{2}DF^2=4$，即$DF^2=8$，
在Rt△DNF中，$DN^2+NF^2=DF^2$，
∴$(6-2x)^2+x^2=8$，
整理得$5x^2-24x+28=0$，
解得$x=2$或$x=\dfrac{14}{5}$，
∴$CD=2$或$\dfrac{14}{5}$。
(2)分两种情况：
情况1：直角顶点D在AB上，如图③，取EF中点Q，连接CQ、DQ，
∵△DEF是直角边长为1的等腰直角三角形，$∠EDF=90°$，
∴$EF=\sqrt{2}$，
∵Q是EF中点，$∠ECF=90°$，$∠EDF=90°$，
∴$CQ=DQ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，当C、Q、D共线时，CD最长为$\sqrt{2}$，此时AC最大为2；
情况2：直角顶点D在直角边上，如图④，过E作$EG⊥CA$于G，$EH⊥CB$于H，
由(1)知△DEG≌△FDC，设$GE=x=CD$，$DG=y$，$AC=BC=s$，
则$\{\begin{array}{l}2x+y=s\\x^2+y^2=1\end{array} $，
将$y=s-2x$代入得$5x^2-4sx+s^2-1=0$，
该方程有解，判别式$\Delta=20-4s^2≥0$，解得$s≤\sqrt{5}$，
∴AC最大值为$\sqrt{5}$。
综上，等腰直角△ABC的直角边长最大值为$\sqrt{5}$。
【答案】
7. (1)①证明见上述解析；②$CD=2$或$\dfrac{14}{5}$；(2)等腰直角△ABC的直角边长最大值为$\sqrt{5}$。
【知识点】
等腰直角三角形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理、一元二次方程判别式
【点评】
本题是等腰直角三角形的综合题，涉及全等构造、分类讨论思想，需熟练掌握等腰直角三角形性质，难度中等，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
