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10. 若$x_{1},x_{2}$是关于$x$的方程$x^{2}-2x-3m^{2}=0$的两个实数根，且$x_{1}+2x_{2}=5$，则$m$的值是
$\pm1$
.答案
$∵$ 关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2x-3m^{2}=0$ 有两个实数根,$∴ b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×(-3m^{2})=4+12m^{2}≥4＞0,x_{1}+x_{2}=2$,$x_{1}x_{2}=-3m^{2}$.$∵ x_{1}+2x_{2}=5$,$∴ x_{1}+x_{2}+x_{2}=5$,即 $x_{2}=3$,$∴ x_{1}=2-3=-1$,$∴ x_{1}x_{2}=-3$,$∴ -3m^{2}=-3$,解得 $m=\pm1$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先确定方程两根的和；再结合题目给出的$x_1 + 2x_2 =5$，将式子变形求出其中一个根的值，进而得到另一个根；最后利用两根的乘积关系建立关于$m$的方程求解，同时需通过判别式确认方程有两个实根。
【解析】
对于方程$x^2 -2x -3m^2=0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-3m^2$。
1. 验证方程有两个实根：判别式$\Delta = b^2 -4ac = (-2)^2 -4×1×(-3m^2)=4 +12m^2$，因为$m^2≥0$，所以$\Delta=4+12m^2≥4＞0$，方程有两个不相等的实数根。
2. 根据韦达定理，两根之和$x_1 +x_2 = -\frac{b}{a}=2$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=-3m^2$。
3. 结合已知$x_1 +2x_2=5$，变形为$(x_1 +x_2)+x_2=5$，代入$x_1+x_2=2$，得$2 +x_2=5$，解得$x_2=3$。
4. 则$x_1=2 -x_2=2-3=-1$。
5. 根据两根之积：$x_1x_2=(-1)×3=-3$，所以$-3m^2=-3$，化简得$m^2=1$，解得$m=±1$。
【答案】
$\pm1$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程求解
【点评】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题关键是利用已知的两根线性关系结合韦达定理求出方程的两个根，进而建立关于参数$m$的方程求解，属于中等难度的基础题型，需熟练掌握韦达定理的内容。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先确定方程两根的和；再结合题目给出的$x_1 + 2x_2 =5$，将式子变形求出其中一个根的值，进而得到另一个根；最后利用两根的乘积关系建立关于$m$的方程求解，同时需通过判别式确认方程有两个实根。
【解析】
对于方程$x^2 -2x -3m^2=0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-3m^2$。
1. 验证方程有两个实根：判别式$\Delta = b^2 -4ac = (-2)^2 -4×1×(-3m^2)=4 +12m^2$，因为$m^2≥0$，所以$\Delta=4+12m^2≥4＞0$，方程有两个不相等的实数根。
2. 根据韦达定理，两根之和$x_1 +x_2 = -\frac{b}{a}=2$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=-3m^2$。
3. 结合已知$x_1 +2x_2=5$，变形为$(x_1 +x_2)+x_2=5$，代入$x_1+x_2=2$，得$2 +x_2=5$，解得$x_2=3$。
4. 则$x_1=2 -x_2=2-3=-1$。
5. 根据两根之积：$x_1x_2=(-1)×3=-3$，所以$-3m^2=-3$，化简得$m^2=1$，解得$m=±1$。
【答案】
$\pm1$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程求解
【点评】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题关键是利用已知的两根线性关系结合韦达定理求出方程的两个根，进而建立关于参数$m$的方程求解，属于中等难度的基础题型，需熟练掌握韦达定理的内容。
【难度系数】
0.5
11. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2}+(k-2)x+k^{2}=0$ 的两根互为倒数, 则 $k=$
-1
.答案
$∵ x_{1}x_{2}=k^{2}$,两根互为倒数,$∴ k^{2}=1$,解得 $k=1$或$-1$.$∵$ 方程有两个实数根,$∴ b^{2}-4ac≥0$.而当 $k=1$ 时,$b^{2}-4ac＜0$,舍去,故 $k$ 的值为$-1$.
解析
【分析】
要解决该问题，需分两步推导：第一步，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），结合“两根互为倒数”的条件，求出k的可能取值；第二步，根据一元二次方程有两个实数根的前提，通过根的判别式排除不符合条件的k值，最终确定正确结果。
【解析】
设方程$x^2 + (k - 2)x + k^2 = 0$的两根为$x_1$、$x_2$。
1. 根据韦达定理，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = k^2$。因为两根互为倒数，所以$x_1x_2 = 1$，即$k^2 = 1$，解得$k = 1$或$k = -1$。
2. 一元二次方程有两个实数根，需满足判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$。其中$a=1$，$b=k-2$，$c=k^2$，则：
$\Delta = (k - 2)^2 - 4 × 1 × k^2 = k^2 - 4k + 4 - 4k^2 = -3k^2 - 4k + 4$。
当$k=1$时，$\Delta = -3 × 1^2 - 4 × 1 + 4 = -3 ＜ 0$，方程无实根，舍去；
当$k=-1$时，$\Delta = -3 × (-1)^2 - 4 × (-1) + 4 = 5 ≥ 0$，符合条件。
综上，$k = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查韦达定理与根的判别式的综合应用，核心是需同时满足“两根互为倒数”和“方程有两个实根”两个条件，易错点是忽略判别式的检验，直接取韦达定理得到的k值，需注意参数取值的合理性验证。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需分两步推导：第一步，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），结合“两根互为倒数”的条件，求出k的可能取值；第二步，根据一元二次方程有两个实数根的前提，通过根的判别式排除不符合条件的k值，最终确定正确结果。
【解析】
设方程$x^2 + (k - 2)x + k^2 = 0$的两根为$x_1$、$x_2$。
1. 根据韦达定理，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = k^2$。因为两根互为倒数，所以$x_1x_2 = 1$，即$k^2 = 1$，解得$k = 1$或$k = -1$。
2. 一元二次方程有两个实数根，需满足判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$。其中$a=1$，$b=k-2$，$c=k^2$，则：
$\Delta = (k - 2)^2 - 4 × 1 × k^2 = k^2 - 4k + 4 - 4k^2 = -3k^2 - 4k + 4$。
当$k=1$时，$\Delta = -3 × 1^2 - 4 × 1 + 4 = -3 ＜ 0$，方程无实根，舍去；
当$k=-1$时，$\Delta = -3 × (-1)^2 - 4 × (-1) + 4 = 5 ≥ 0$，符合条件。
综上，$k = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查韦达定理与根的判别式的综合应用，核心是需同时满足“两根互为倒数”和“方程有两个实根”两个条件，易错点是忽略判别式的检验，直接取韦达定理得到的k值，需注意参数取值的合理性验证。
【难度系数】
0.5
12. (内江中考) 已知 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2-$$2x+k-1=0$ 的两实数根, 且 $\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{x_1}{x_2}=x_1^2+2x_2-1$,则 $k$ 的值为
2
.答案
$∵ x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2x+k-1=0$ 的两实数根,$∴ x_{1}+x_{2}=2,x_{1}· x_{2}=k-1,x_{1}^{2}-2x_{1}+k-1=0$,$∴ x_{1}^{2}=2x_{1}-k+1$.$∵ \dfrac{x_{2}}{x_{1}}+\dfrac{x_{1}}{x_{2}}=x_{1}^{2}+2x_{2}-1$,$∴ \dfrac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=2(x_{1}+x_{2})-k$,$∴ \dfrac{2^{2}-2(k-1)}{k-1}=4-k$,解得 $k=2$ 或 $k=5$.当 $k=2$ 时,关于 $x$ 的方程为 $x^{2}-2x+1=0$,$b^{2}-4ac=0$,符合题意;当 $k=5$ 时,关于 $x$ 的方程为 $x^{2}-2x+4=0$,$b^{2}-4ac＜0$,方程无实数根,不符合题意,$∴ k=2$.
解析
【分析】
要解决这道题，需先利用一元二次方程根的性质和韦达定理（根与系数的关系），得到两根之和、两根之积及根满足的方程；再将已知等式变形，用韦达定理替换式子中的根，转化为关于k的方程；最后结合方程有两实根的条件（判别式≥0）检验k的取值，排除不符合的解，得到最终结果。
【解析】
已知$x_1,x_2$是方程$x^2 -2x +k -1=0$的两实数根，根据一元二次方程的性质：
1. 根满足方程：$x_1^2 -2x_1 +k -1=0$，移项得$x_1^2=2x_1 -k +1$；
2. 韦达定理：$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=k-1$；
3. 方程有两实根，故判别式$\Delta=(-2)^2 -4×1×(k-1)=8-4k≥0$，得$k≤2$。
对等式$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=x_1^2+2x_2-1$变形：
左边通分：$\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2 -2x_1x_2}{x_1x_2}$，代入韦达定理结果得：$\frac{2^2 -2(k-1)}{k-1}=\frac{6-2k}{k-1}$；
右边替换$x_1^2$：$2x_1 -k +1 +2x_2 -1=2(x_1+x_2)-k=4 -k$；
等式变为$\frac{6-2k}{k-1}=4 -k$，交叉相乘整理得$k^2 -7k +10=0$，解得$k=2$或$k=5$。
检验：$k=2$时，$\Delta=0$，方程有实根；$k=5$时，$\Delta=-12＜0$，无实根，舍去。
故$k=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的综合题，融合了根与系数的关系、根的判别式的应用，解题关键在于利用根的性质转化代数式，且必须检验根的存在性，避免因忽略判别式导致错误，是中考高频考点。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需先利用一元二次方程根的性质和韦达定理（根与系数的关系），得到两根之和、两根之积及根满足的方程；再将已知等式变形，用韦达定理替换式子中的根，转化为关于k的方程；最后结合方程有两实根的条件（判别式≥0）检验k的取值，排除不符合的解，得到最终结果。
【解析】
已知$x_1,x_2$是方程$x^2 -2x +k -1=0$的两实数根，根据一元二次方程的性质：
1. 根满足方程：$x_1^2 -2x_1 +k -1=0$，移项得$x_1^2=2x_1 -k +1$；
2. 韦达定理：$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=k-1$；
3. 方程有两实根，故判别式$\Delta=(-2)^2 -4×1×(k-1)=8-4k≥0$，得$k≤2$。
对等式$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=x_1^2+2x_2-1$变形：
左边通分：$\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2 -2x_1x_2}{x_1x_2}$，代入韦达定理结果得：$\frac{2^2 -2(k-1)}{k-1}=\frac{6-2k}{k-1}$；
右边替换$x_1^2$：$2x_1 -k +1 +2x_2 -1=2(x_1+x_2)-k=4 -k$；
等式变为$\frac{6-2k}{k-1}=4 -k$，交叉相乘整理得$k^2 -7k +10=0$，解得$k=2$或$k=5$。
检验：$k=2$时，$\Delta=0$，方程有实根；$k=5$时，$\Delta=-12＜0$，无实根，舍去。
故$k=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的综合题，融合了根与系数的关系、根的判别式的应用，解题关键在于利用根的性质转化代数式，且必须检验根的存在性，避免因忽略判别式导致错误，是中考高频考点。
【难度系数】
0.5
13. (2024·内江中考节选)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-px+1=0$($p$为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$.若$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p+1$,求$p$的值.
答案
由根与系数的关系得 $x_{1}+x_{2}=p,x_{1}x_{2}=1$,$∵ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p+1$,$∴ (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=2p+1$,$∴ p^{2}-2=2p+1$,$∴ p^{2}-2p-3=0$,解得 $p=-1$ 或 $p=3$.当 $p=-1$ 时,$b^{2}-4ac=1^{2}-4×1×1=-3＜0$,不合题意,舍去;当 $p=3$ 时,$b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×1=5＞0$,符合题意.$∴ p=3$.
解析
【分析】
本题是一元二次方程根的相关问题，解题思路如下：
1. 利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），确定两根之和与两根之积的表达式；
2. 利用完全平方公式将已知的$x_1^2 + x_2^2$变形为含两根和、两根积的形式，结合已知条件列出关于$p$的方程；
3. 解出$p$的可能值后，根据“方程有两个不相等的实数根”的条件，用根的判别式检验$p$的取值，舍去不符合要求的解，得到最终结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - px + 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-p$，$c=1$。
根据根与系数的关系（韦达定理），得：
$x_1 + x_2 = p$，$x_1x_2 = 1$。
已知$x_1^2 + x_2^2 = 2p + 1$，根据完全平方公式变形得：
$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 2p + 1$。
将$x_1 + x_2 = p$、$x_1x_2 = 1$代入上式，得：
$p^2 - 2×1 = 2p + 1$，
整理得：$p^2 - 2p - 3 = 0$，
因式分解得：$(p - 3)(p + 1) = 0$，
解得$p = -1$或$p = 3$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$：
当$p = -1$时，$\Delta = (-p)^2 - 4×1×1 = (-(-1))^2 - 4 = 1 - 4 = -3 ＜ 0$，不符合题意，舍去；
当$p = 3$时，$\Delta = (-3)^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5 ＞ 0$，符合题意。
因此，$p$的值为$3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；完全平方公式
【点评】
本题结合一元二次方程根的判别式与韦达定理考查参数求解，核心是利用完全平方公式变形两根平方和的表达式，易错点在于解出$p$后未根据“两个不相等的实数根”的条件检验判别式，需注意舍去不符合的解，是中考常考的中等难度题型。
【难度系数】
0.5
本题是一元二次方程根的相关问题，解题思路如下：
1. 利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），确定两根之和与两根之积的表达式；
2. 利用完全平方公式将已知的$x_1^2 + x_2^2$变形为含两根和、两根积的形式，结合已知条件列出关于$p$的方程；
3. 解出$p$的可能值后，根据“方程有两个不相等的实数根”的条件，用根的判别式检验$p$的取值，舍去不符合要求的解，得到最终结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - px + 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-p$，$c=1$。
根据根与系数的关系（韦达定理），得：
$x_1 + x_2 = p$，$x_1x_2 = 1$。
已知$x_1^2 + x_2^2 = 2p + 1$，根据完全平方公式变形得：
$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 2p + 1$。
将$x_1 + x_2 = p$、$x_1x_2 = 1$代入上式，得：
$p^2 - 2×1 = 2p + 1$，
整理得：$p^2 - 2p - 3 = 0$，
因式分解得：$(p - 3)(p + 1) = 0$，
解得$p = -1$或$p = 3$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$：
当$p = -1$时，$\Delta = (-p)^2 - 4×1×1 = (-(-1))^2 - 4 = 1 - 4 = -3 ＜ 0$，不符合题意，舍去；
当$p = 3$时，$\Delta = (-3)^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5 ＞ 0$，符合题意。
因此，$p$的值为$3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；完全平方公式
【点评】
本题结合一元二次方程根的判别式与韦达定理考查参数求解，核心是利用完全平方公式变形两根平方和的表达式，易错点在于解出$p$后未根据“两个不相等的实数根”的条件检验判别式，需注意舍去不符合的解，是中考常考的中等难度题型。
【难度系数】
0.5
14. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(2k+1)x+k^{2}+$$2k=0$ 有两个实数根 $x_1,x_2$.
(1) 求实数 $k$ 的取值范围.
(2) 是否存在实数 $k$,使得 $x_1x_2-x_1^2-x_2^2≥0$ 成立? 若存在,请求出 $k$ 的值; 若不存在,请说明理由.
(1) 求实数 $k$ 的取值范围.
(2) 是否存在实数 $k$,使得 $x_1x_2-x_1^2-x_2^2≥0$ 成立? 若存在,请求出 $k$ 的值; 若不存在,请说明理由.
答案
(1)$∵$ 原方程有两个实数根,$∴ [-(2k+1)]^{2}-4(k^{2}+2k)≥0$,$∴ 4k^{2}+4k+1-4k^{2}-8k≥0$,$∴ 1-4k≥0$,$∴ k≤\dfrac{1}{4}$.$∴$ 当 $k≤\dfrac{1}{4}$时,原方程有两个实数根.
(2)不存在,理由:假设存在实数 $k$ 使得 $x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}≥0$ 成立.
$∵ x_{1},x_{2}$ 是原方程的两个根,$∴ x_{1}+x_{2}=2k+1,x_{1}x_{2}=k^{2}+2k$.
由 $x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}≥0$,得 $3x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})^{2}≥0$.
$∴ 3(k^{2}+2k)-(2k+1)^{2}≥0$,整理得$-(k-1)^{2}≥0$,
$∴$ 只有当 $k=1$ 时,上式才能成立.
又由(1)知 $k≤\dfrac{1}{4}$,$∴$ 不存在实数 $k$ 使得 $x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}≥0$ 成立.
(2)不存在,理由:假设存在实数 $k$ 使得 $x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}≥0$ 成立.
$∵ x_{1},x_{2}$ 是原方程的两个根,$∴ x_{1}+x_{2}=2k+1,x_{1}x_{2}=k^{2}+2k$.
由 $x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}≥0$,得 $3x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})^{2}≥0$.
$∴ 3(k^{2}+2k)-(2k+1)^{2}≥0$,整理得$-(k-1)^{2}≥0$,
$∴$ 只有当 $k=1$ 时,上式才能成立.
又由(1)知 $k≤\dfrac{1}{4}$,$∴$ 不存在实数 $k$ 使得 $x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}≥0$ 成立.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式与韦达定理的综合应用。第(1)问利用一元二次方程有两个实数根时判别式Δ≥0，求解k的取值范围；第(2)问通过韦达定理将所求代数式转化为两根和与积的形式，结合第(1)问的k范围判断是否存在符合条件的k。
【解析】
(1) 因为原方程是一元二次方程且有两个实数根，所以判别式Δ≥0：
Δ = [-(2k+1)]² - 4×1×(k²+2k) = 4k²+4k+1 - 4k²-8k = 1-4k
令Δ≥0，即1-4k≥0，解得k≤$\dfrac{1}{4}$。
(2) 假设存在实数k使得$x_1x_2 - x_1^2 - x_2^2≥0$成立：
根据韦达定理，$x_1+x_2=2k+1$，$x_1x_2=k^2+2k$。
对代数式变形：
$x_1x_2 - x_1^2 - x_2^2 = x_1x_2 - [(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2] = 3x_1x_2 - (x_1+x_2)^2$
代入韦达定理结果：
$3(k^2+2k) - (2k+1)^2 = 3k^2+6k - (4k^2+4k+1) = -k^2+2k-1 = -(k-1)^2$
令$-(k-1)^2≥0$，仅当k=1时成立。
结合(1)中k≤$\dfrac{1}{4}$，k=1不满足该范围，故不存在这样的k。
【答案】
(1) $k≤\dfrac{1}{4}$；(2) 不存在，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题综合考查一元二次方程的核心知识点，解题关键在于熟练运用判别式确定参数范围，以及通过韦达定理对代数式进行合理变形，需注意验证参数是否符合前期范围，避免遗漏条件。
【难度系数】
0.6
本题考查一元二次方程根的判别式与韦达定理的综合应用。第(1)问利用一元二次方程有两个实数根时判别式Δ≥0，求解k的取值范围；第(2)问通过韦达定理将所求代数式转化为两根和与积的形式，结合第(1)问的k范围判断是否存在符合条件的k。
【解析】
(1) 因为原方程是一元二次方程且有两个实数根，所以判别式Δ≥0：
Δ = [-(2k+1)]² - 4×1×(k²+2k) = 4k²+4k+1 - 4k²-8k = 1-4k
令Δ≥0，即1-4k≥0，解得k≤$\dfrac{1}{4}$。
(2) 假设存在实数k使得$x_1x_2 - x_1^2 - x_2^2≥0$成立：
根据韦达定理，$x_1+x_2=2k+1$，$x_1x_2=k^2+2k$。
对代数式变形：
$x_1x_2 - x_1^2 - x_2^2 = x_1x_2 - [(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2] = 3x_1x_2 - (x_1+x_2)^2$
代入韦达定理结果：
$3(k^2+2k) - (2k+1)^2 = 3k^2+6k - (4k^2+4k+1) = -k^2+2k-1 = -(k-1)^2$
令$-(k-1)^2≥0$，仅当k=1时成立。
结合(1)中k≤$\dfrac{1}{4}$，k=1不满足该范围，故不存在这样的k。
【答案】
(1) $k≤\dfrac{1}{4}$；(2) 不存在，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题综合考查一元二次方程的核心知识点，解题关键在于熟练运用判别式确定参数范围，以及通过韦达定理对代数式进行合理变形，需注意验证参数是否符合前期范围，避免遗漏条件。
【难度系数】
0.6
15. 如果方程 $(x-1)(x^{2}-2x+\dfrac{k}{4})=0$ 的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么 $k$ 的取值范围是
$3＜k≤4$
.答案
$∵ (x-1)(x^{2}-2x+\dfrac{k}{4})=0$,$∴ x=1$ 或 $x^{2}-2x+\dfrac{k}{4}=0$.设 $x^{2}-2x+\dfrac{k}{4}=0$ 的两根分别为 $m,n(m≥n)$,$b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×\dfrac{k}{4}=4-k≥0$,$m+n=2$,$mn=\dfrac{k}{4}$,解得 $k≤4$,由三角形的三边关系可得 $m-n＜1＜m+n$,而 $m-n=\sqrt{(m+n)^{2}-4mn}=\sqrt{4-k}$,$∴ \sqrt{4-k}＜1$,$∴ \begin{cases}4-k＜1,\\4-k≥0.\end{cases}$ 解得 $3＜k≤4$.综上,$k$ 的取值范围是 $3＜k≤4$.
解析
【分析】
首先将原方程分解为一次因式与二次因式的乘积，得到一个根为$x=1$，另外两个根是二次方程$x^2 -2x +\frac{k}{4}=0$的两根。要使三个根能作为三角形三边，需满足两个核心条件：一是二次方程存在两个实根（保证有两个有效边长），二是三角形三边关系（任意两边之差小于第三边、任意两边之和大于第三边）。接下来通过判别式确定二次方程有实根的$k$范围，再结合韦达定理推导符合三边关系的$k$取值。
【解析】
原方程$(x-1)(x^2 -2x +\frac{k}{4})=0$，解得根为$x=1$，以及二次方程$x^2 -2x +\frac{k}{4}=0$的两根，设为$m、n$（$m≥n$）。
1. 二次方程有两个实根，需判别式$\Delta≥0$：
$\Delta=(-2)^2 -4×1×\frac{k}{4}=4 -k≥0$，解得$k≤4$。
2. 由韦达定理，得$m+n=2$，$mn=\frac{k}{4}$。
3. 三个根构成三角形三边，最大边为$m$，需满足两边之差小于第三边：$m -n ＜1$。
计算$m -n=\sqrt{(m+n)^2 -4mn}=\sqrt{4 -k}$，因此$\sqrt{4 -k}＜1$，两边平方得$4 -k ＜1$，解得$k＞3$。
结合边长为正的隐含条件（$mn=\frac{k}{4}＞0$，即$k＞0$），最终得$3＜k≤4$。
【答案】
$3＜k≤4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，韦达定理，三角形三边关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程的根的性质、韦达定理及三角形三边关系，需注意二次方程有实根的前提，以及三角形三边关系中“两边之差小于第三边”的灵活应用，步骤较多，易因遗漏条件出错。
【难度系数】
0.4
首先将原方程分解为一次因式与二次因式的乘积，得到一个根为$x=1$，另外两个根是二次方程$x^2 -2x +\frac{k}{4}=0$的两根。要使三个根能作为三角形三边，需满足两个核心条件：一是二次方程存在两个实根（保证有两个有效边长），二是三角形三边关系（任意两边之差小于第三边、任意两边之和大于第三边）。接下来通过判别式确定二次方程有实根的$k$范围，再结合韦达定理推导符合三边关系的$k$取值。
【解析】
原方程$(x-1)(x^2 -2x +\frac{k}{4})=0$，解得根为$x=1$，以及二次方程$x^2 -2x +\frac{k}{4}=0$的两根，设为$m、n$（$m≥n$）。
1. 二次方程有两个实根，需判别式$\Delta≥0$：
$\Delta=(-2)^2 -4×1×\frac{k}{4}=4 -k≥0$，解得$k≤4$。
2. 由韦达定理，得$m+n=2$，$mn=\frac{k}{4}$。
3. 三个根构成三角形三边，最大边为$m$，需满足两边之差小于第三边：$m -n ＜1$。
计算$m -n=\sqrt{(m+n)^2 -4mn}=\sqrt{4 -k}$，因此$\sqrt{4 -k}＜1$，两边平方得$4 -k ＜1$，解得$k＞3$。
结合边长为正的隐含条件（$mn=\frac{k}{4}＞0$，即$k＞0$），最终得$3＜k≤4$。
【答案】
$3＜k≤4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，韦达定理，三角形三边关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程的根的性质、韦达定理及三角形三边关系，需注意二次方程有实根的前提，以及三角形三边关系中“两边之差小于第三边”的灵活应用，步骤较多，易因遗漏条件出错。
【难度系数】
0.4
16. 已知菱形$ABCD$的边长是5,两条对角线交于点$O$,且$AO,BO$的长分别是关于$x$的方程$x^{2}+(2m-1)x+m^{2}+3=0$的两个不相等的实数根,则$m$的值为
-3
.答案
由勾股定理可得 $AO^{2}+BO^{2}=25$,又由根与系数的关系可得 $AO+BO=-2m+1,AO· BO=m^{2}+3$,$∴ AO^{2}+BO^{2}=(AO+BO)^{2}-2AO· BO=(-2m+1)^{2}-2(m^{2}+3)=25$,整理得 $m^{2}-2m-15=0$,解得 $m=-3$ 或 $5$.又$∵ b^{2}-4ac＞0$,$∴ (2m-1)^{2}-4(m^{2}+3)＞0$,解得 $m＜-\dfrac{11}{4}$,$∴ m=-3$.
解析
【分析】
首先回忆菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，因此△AOB是直角三角形，结合菱形边长为5，可由勾股定理得到AO与BO的平方和；再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），得到两根之和与两根之积，通过完全平方公式变形勾股定理的等式，解出m的可能值；最后根据方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式筛选出符合条件的m值。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即△AOB为直角三角形，且AB=5，
根据勾股定理得：$AO^2 + BO^2 = AB^2 = 25$。
又
∵AO、BO是方程$x^2 + (2m - 1)x + m^2 + 3 = 0$的两个不相等的实数根，
由韦达定理得：
$AO + BO = -(2m - 1) = -2m + 1$，
$AO·BO = m^2 + 3$。
根据完全平方公式：$AO^2 + BO^2 = (AO + BO)^2 - 2AO·BO$，代入得：
$(-2m + 1)^2 - 2(m^2 + 3) = 25$，
展开整理：$4m^2 - 4m + 1 - 2m^2 - 6 = 25$，
即$m^2 - 2m - 15 = 0$，
因式分解得：$(m - 5)(m + 3) = 0$，解得$m = 5$或$m = -3$。
∵方程有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (2m - 1)^2 - 4(m^2 + 3) ＞ 0$，
计算得：$\Delta = -4m - 11 ＞ 0$，即$m ＜ -\frac{11}{4}$。
对比$m=5$和$m=-3$，只有$m=-3$满足$m ＜ -\frac{11}{4}$，故$m=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
菱形的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题综合考查菱形性质与一元二次方程的核心知识，解题关键是结合菱形对角线垂直的性质、勾股定理、韦达定理及根的判别式进行推导，需注意解出参数后必须验证判别式，避免遗漏条件导致错误，是一道综合性较强的中档题。
【难度系数】
0.4
首先回忆菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，因此△AOB是直角三角形，结合菱形边长为5，可由勾股定理得到AO与BO的平方和；再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），得到两根之和与两根之积，通过完全平方公式变形勾股定理的等式，解出m的可能值；最后根据方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式筛选出符合条件的m值。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即△AOB为直角三角形，且AB=5，
根据勾股定理得：$AO^2 + BO^2 = AB^2 = 25$。
又
∵AO、BO是方程$x^2 + (2m - 1)x + m^2 + 3 = 0$的两个不相等的实数根，
由韦达定理得：
$AO + BO = -(2m - 1) = -2m + 1$，
$AO·BO = m^2 + 3$。
根据完全平方公式：$AO^2 + BO^2 = (AO + BO)^2 - 2AO·BO$，代入得：
$(-2m + 1)^2 - 2(m^2 + 3) = 25$，
展开整理：$4m^2 - 4m + 1 - 2m^2 - 6 = 25$，
即$m^2 - 2m - 15 = 0$，
因式分解得：$(m - 5)(m + 3) = 0$，解得$m = 5$或$m = -3$。
∵方程有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (2m - 1)^2 - 4(m^2 + 3) ＞ 0$，
计算得：$\Delta = -4m - 11 ＞ 0$，即$m ＜ -\frac{11}{4}$。
对比$m=5$和$m=-3$，只有$m=-3$满足$m ＜ -\frac{11}{4}$，故$m=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
菱形的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题综合考查菱形性质与一元二次方程的核心知识，解题关键是结合菱形对角线垂直的性质、勾股定理、韦达定理及根的判别式进行推导，需注意解出参数后必须验证判别式，避免遗漏条件导致错误，是一道综合性较强的中档题。
【难度系数】
0.4
17. 如图,在$\mathrm{Rt} △ ACB$中,$∠ ACB=90^{ \circ }$,$CH ⊥ AB$于点$H$,若$AB=5$,且$BC$,$AC$的长是关于$x$的方程$x^{2}-(2m-1)x+4(m-1)=0$的两个根.
(1)求$m$的值;
(2)求$CH$的长.
视频讲题
(1)求$m$的值;
(2)求$CH$的长.
视频讲题
答案
(1)$∵ BC,AC$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(2m-1)x+4(m-1)=0$ 的两个根,$∴ BC+AC=2m-1,BC· AC=4(m-1)$.在$\mathrm{Rt}△ACB$ 中,$∠ACB=90°$,$AB=5$,$∴ BC^{2}+AC^{2}=(BC+AC)^{2}-2BC· AC=AB^{2}$,即$(2m-1)^{2}-2×4(m-1)=25$,整理得 $m^{2}-3m-4=0$,解得 $m_{1}=-1,m_{2}=4$.当 $m=-1$ 时,$BC+AC=2m-1=-3＜0,BC· AC=4(m-1)=-8＜0$,这与 $BC,AC$ 均为正数矛盾,$∴ m=-1$ 不符合题意,舍去;当 $m=4$ 时,原方程为 $x^{2}-7x+12=0,BC+AC=7＞0,BC· AC=12＞0$,$∵ b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4×1×12=1＞0$,$∴ m=4$ 符合题意,$∴ m$ 的值为 $4$.
(2)$∵ S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AC· BC=\dfrac{1}{2}AB· CH$,$∴ CH=\dfrac{AC· BC}{AB}=\dfrac{12}{5}$.
(2)$∵ S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AC· BC=\dfrac{1}{2}AB· CH$,$∴ CH=\dfrac{AC· BC}{AB}=\dfrac{12}{5}$.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到BC与AC的和、积，再结合直角三角形勾股定理建立关于m的方程，求解后需根据边长为正的条件舍去不符合的解；第(2)问利用直角三角形面积的两种不同计算方式，结合第(1)问得到的BC与AC的乘积，即可求出CH的长度。
【解析】
(1) 因为BC、AC是方程$x^2 - (2m-1)x + 4(m-1)=0$的两个根，根据韦达定理，得：
$BC + AC = 2m -1$，$BC·AC = 4(m-1)$。
在$\mathrm{Rt}△ACB$中，$∠ ACB=90°$，$AB=5$，由勾股定理得：
$BC^2 + AC^2 = AB^2 = 25$。
又因为$BC^2 + AC^2 = (BC+AC)^2 - 2BC·AC$，代入得：
$(2m -1)^2 - 2×4(m-1) = 25$，
展开整理：$4m^2 -4m +1 -8m +8 =25$，即$m^2 -3m -4=0$，
因式分解得$(m-4)(m+1)=0$，解得$m=4$或$m=-1$。
检验：当$m=-1$时，$BC+AC=2×(-1)-1=-3＜0$，$BC·AC=4×(-1-1)=-8＜0$，边长为负数不符合实际，舍去；当$m=4$时，$BC+AC=7＞0$，$BC·AC=12＞0$，符合题意，故$m=4$。
(2) 由(1)知，当$m=4$时，$BC·AC=4×(4-1)=12$。
因为$\mathrm{Rt}△ACB$的面积可表示为$\frac{1}{2}AC·BC$，也可表示为$\frac{1}{2}AB·CH$，所以：
$\frac{1}{2}AC·BC = \frac{1}{2}AB·CH$，
两边同乘2得$AC·BC = AB·CH$，
代入$AC·BC=12$，$AB=5$，得$CH=\frac{12}{5}$。
【答案】
(1)$m=4$；(2)$CH=\frac{12}{5}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，直角三角形面积计算
【点评】
本题综合考查一元二次方程根与系数的关系、勾股定理及直角三角形面积的应用，解题关键是利用韦达定理转化边长关系，结合勾股定理建立方程，再通过面积法求高，需注意检验根的合理性，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到BC与AC的和、积，再结合直角三角形勾股定理建立关于m的方程，求解后需根据边长为正的条件舍去不符合的解；第(2)问利用直角三角形面积的两种不同计算方式，结合第(1)问得到的BC与AC的乘积，即可求出CH的长度。
【解析】
(1) 因为BC、AC是方程$x^2 - (2m-1)x + 4(m-1)=0$的两个根，根据韦达定理，得：
$BC + AC = 2m -1$，$BC·AC = 4(m-1)$。
在$\mathrm{Rt}△ACB$中，$∠ ACB=90°$，$AB=5$，由勾股定理得：
$BC^2 + AC^2 = AB^2 = 25$。
又因为$BC^2 + AC^2 = (BC+AC)^2 - 2BC·AC$，代入得：
$(2m -1)^2 - 2×4(m-1) = 25$，
展开整理：$4m^2 -4m +1 -8m +8 =25$，即$m^2 -3m -4=0$，
因式分解得$(m-4)(m+1)=0$，解得$m=4$或$m=-1$。
检验：当$m=-1$时，$BC+AC=2×(-1)-1=-3＜0$，$BC·AC=4×(-1-1)=-8＜0$，边长为负数不符合实际，舍去；当$m=4$时，$BC+AC=7＞0$，$BC·AC=12＞0$，符合题意，故$m=4$。
(2) 由(1)知，当$m=4$时，$BC·AC=4×(4-1)=12$。
因为$\mathrm{Rt}△ACB$的面积可表示为$\frac{1}{2}AC·BC$，也可表示为$\frac{1}{2}AB·CH$，所以：
$\frac{1}{2}AC·BC = \frac{1}{2}AB·CH$，
两边同乘2得$AC·BC = AB·CH$，
代入$AC·BC=12$，$AB=5$，得$CH=\frac{12}{5}$。
【答案】
(1)$m=4$；(2)$CH=\frac{12}{5}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，直角三角形面积计算
【点评】
本题综合考查一元二次方程根与系数的关系、勾股定理及直角三角形面积的应用，解题关键是利用韦达定理转化边长关系，结合勾股定理建立方程，再通过面积法求高，需注意检验根的合理性，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.6
