登录
7.(2024·东城区期中)已知$(m-1)x^{|m|}-2=0$是关于$x$的一元一次方程,则$m$的值为 （
A.1
B.0
C.$-1$
D.$\pm1$
C
）A.1
B.0
C.$-1$
D.$\pm1$
答案
7.C
解析
【分析】要确定m的值，需依据一元一次方程的定义分析：一元一次方程需满足两个核心条件，一是未知数的次数为1，二是未知数的系数不为0。先根据次数条件求出m的可能取值，再根据系数不为0排除不符合的情况，即可得到正确答案。
【解析】因为方程$(m-1)x^{|m|}-2=0$是关于$x$的一元一次方程，所以需同时满足：
1. 未知数$x$的次数为1，即$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
2. 未知数的系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$。
综合两个条件，$m=-1$。
【答案】C
【知识点】一元一次方程的定义
【点评】本题考查一元一次方程的定义，易错点是忽略“未知数系数不为0”的条件，易误选D，需牢记定义的两个限制条件。
【难度系数】0.6
【解析】因为方程$(m-1)x^{|m|}-2=0$是关于$x$的一元一次方程，所以需同时满足：
1. 未知数$x$的次数为1，即$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
2. 未知数的系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$。
综合两个条件，$m=-1$。
【答案】C
【知识点】一元一次方程的定义
【点评】本题考查一元一次方程的定义，易错点是忽略“未知数系数不为0”的条件，易误选D，需牢记定义的两个限制条件。
【难度系数】0.6
8.(2024·海安期中)下列等式:①$x=1$;②$x+1=0$;③$l=0$;④$x+x^{2}=0$.其中是一元一次方程的是
①②③
.(填序号)答案
8.①②③
解析
【分析】判断一元一次方程需紧扣其定义，需同时满足三个条件：①是含有未知数的等式（即方程）；②仅含一个未知数；③未知数的次数为1，且等号两边为整式。接下来逐个分析题目中的等式，筛选出符合所有条件的即可。
【解析】首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程。逐一判断各等式：
1. ①$x=1$：是含有未知数$x$的等式，仅含1个未知数，$x$的次数为1，符合一元一次方程的定义；
2. ②$x+1=0$：是含有未知数$x$的等式，仅含1个未知数，$x$的次数为1，符合一元一次方程的定义；
3. ③$l=0$：是含有未知数$l$的等式，仅含1个未知数，$l$的次数为1，符合一元一次方程的定义；
4. ④$x+x^2=0$：是含有未知数$x$的等式，但$x$的最高次数为2，不满足“未知数次数为1”的要求，不是一元一次方程。
综上，符合条件的是①②③。
【答案】①②③
【知识点】一元一次方程的定义
【点评】本题考查一元一次方程的定义，属于基础题型，解题关键是准确把握定义的三个核心要素，逐一排查即可得出正确结果，难度不大。
【难度系数】0.7
【解析】首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程。逐一判断各等式：
1. ①$x=1$：是含有未知数$x$的等式，仅含1个未知数，$x$的次数为1，符合一元一次方程的定义；
2. ②$x+1=0$：是含有未知数$x$的等式，仅含1个未知数，$x$的次数为1，符合一元一次方程的定义；
3. ③$l=0$：是含有未知数$l$的等式，仅含1个未知数，$l$的次数为1，符合一元一次方程的定义；
4. ④$x+x^2=0$：是含有未知数$x$的等式，但$x$的最高次数为2，不满足“未知数次数为1”的要求，不是一元一次方程。
综上，符合条件的是①②③。
【答案】①②③
【知识点】一元一次方程的定义
【点评】本题考查一元一次方程的定义，属于基础题型，解题关键是准确把握定义的三个核心要素，逐一排查即可得出正确结果，难度不大。
【难度系数】0.7
9. (2024·无锡期中)若$x=3$是关于$x$的一元一次方程$ax-b=2$的解，则$2025-6a+2b$的值是
2021
。答案
9.2021
解析
【分析】首先根据一元一次方程解的定义，将方程的解$x=3$代入原方程，得到关于$a$、$b$的关系式；再观察所求代数式，通过变形将其转化为含有该关系式的形式，利用整体代入法计算即可。
【解析】因为$x=3$是一元一次方程$ax - b=2$的解，所以把$x=3$代入方程得：$3a - b=2$。对所求式子$2025 -6a +2b$变形，可得$2025 - 2(3a - b)$，将$3a - b=2$代入式子计算：$2025 - 2×2=2025 -4=2021$。
【答案】2021
【知识点】一元一次方程的解、代数式求值
【点评】本题考查一元一次方程解的定义及代数式的整体代入求值，核心是通过方程的解得到$a$、$b$的关系式，再对所求代数式合理变形，整体代入简化计算，无需单独求解$a$、$b$的值，是基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】因为$x=3$是一元一次方程$ax - b=2$的解，所以把$x=3$代入方程得：$3a - b=2$。对所求式子$2025 -6a +2b$变形，可得$2025 - 2(3a - b)$，将$3a - b=2$代入式子计算：$2025 - 2×2=2025 -4=2021$。
【答案】2021
【知识点】一元一次方程的解、代数式求值
【点评】本题考查一元一次方程解的定义及代数式的整体代入求值，核心是通过方程的解得到$a$、$b$的关系式，再对所求代数式合理变形，整体代入简化计算，无需单独求解$a$、$b$的值，是基础题型。
【难度系数】0.6
10. 请用式子表示下列问题中的数量关系,并判断所列式子中,哪些是一元一次方程.
(1)$x$与3的差是5;
(2)代数式$2+x$与$2y-5$的值相等;
(3)两个正方形的边长分别为$x\ \mathrm{cm},y\ \mathrm{cm}$,它们的面积差为$7\ \mathrm{cm}^2$;
(4)小明参加学校的乒乓球比赛,胜了$x$场,负了$(8-x)$场,胜的场数大于负的场数.
(1)$x$与3的差是5;
(2)代数式$2+x$与$2y-5$的值相等;
(3)两个正方形的边长分别为$x\ \mathrm{cm},y\ \mathrm{cm}$,它们的面积差为$7\ \mathrm{cm}^2$;
(4)小明参加学校的乒乓球比赛,胜了$x$场,负了$(8-x)$场,胜的场数大于负的场数.
答案
10.解:(1)依题意,得$x-3=5$,是一元一次方程.
(2)依题意,得$2+x=2y-5$,不符合一元一次方程的定义,不是一元一次方程.
(3)依题意,得$|x^2-y^2|=7$,不符合一元一次方程的定义,不是一元一次方程.
(4)依题意,得$x＞8-x$,不符合一元一次方程的定义,不是一元一次方程.
(2)依题意,得$2+x=2y-5$,不符合一元一次方程的定义,不是一元一次方程.
(3)依题意,得$|x^2-y^2|=7$,不符合一元一次方程的定义,不是一元一次方程.
(4)依题意,得$x＞8-x$,不符合一元一次方程的定义,不是一元一次方程.
解析
【分析】
解题时，先根据各小题的文字描述，将数量关系转化为对应的数学式子（方程或不等式）；再依据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程），判断所列式子是否符合一元一次方程的特征。
【解析】
(1) 根据“x与3的差是5”，可列式子：$x - 3 = 5$；该式子只含未知数$x$，未知数次数为1，是整式方程，属于一元一次方程。
(2) 根据“代数式$2+x$与$2y-5$的值相等”，可列式子：$2 + x = 2y - 5$；式子含有两个未知数$x$和$y$，不符合一元一次方程的定义，不是一元一次方程。
(3) 两个正方形的面积分别为$x^2\ \mathrm{cm}^2$、$y^2\ \mathrm{cm}^2$，根据“面积差为$7\ \mathrm{cm}^2$”，可列式子：$|x^2 - y^2| = 7$；式子中未知数的次数为2，不符合一元一次方程的定义，不是一元一次方程。
(4) 根据“胜的场数大于负的场数”，可列式子：$x ＞ 8 - x$；该式子是不等式，不是方程，不符合一元一次方程的定义，不是一元一次方程。
【答案】
10.解:(1)依题意,得$x-3=5$,是一元一次方程.(2)依题意,得$2+x=2y-5$,不符合一元一次方程的定义,不是一元一次方程.(3)依题意,得$|x^2-y^2|=7$,不符合一元一次方程的定义,不是一元一次方程.(4)依题意,得$x＞8-x$,不符合一元一次方程的定义,不是一元一次方程.
【知识点】
一元一次方程的定义、列方程与不等式
【点评】
本题考查根据文字描述列数学式子及一元一次方程的概念，属于基础题型，需准确区分方程与不等式，牢记一元一次方程的核心特征。
【难度系数】
0.6
解题时，先根据各小题的文字描述，将数量关系转化为对应的数学式子（方程或不等式）；再依据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程），判断所列式子是否符合一元一次方程的特征。
【解析】
(1) 根据“x与3的差是5”，可列式子：$x - 3 = 5$；该式子只含未知数$x$，未知数次数为1，是整式方程，属于一元一次方程。
(2) 根据“代数式$2+x$与$2y-5$的值相等”，可列式子：$2 + x = 2y - 5$；式子含有两个未知数$x$和$y$，不符合一元一次方程的定义，不是一元一次方程。
(3) 两个正方形的面积分别为$x^2\ \mathrm{cm}^2$、$y^2\ \mathrm{cm}^2$，根据“面积差为$7\ \mathrm{cm}^2$”，可列式子：$|x^2 - y^2| = 7$；式子中未知数的次数为2，不符合一元一次方程的定义，不是一元一次方程。
(4) 根据“胜的场数大于负的场数”，可列式子：$x ＞ 8 - x$；该式子是不等式，不是方程，不符合一元一次方程的定义，不是一元一次方程。
【答案】
10.解:(1)依题意,得$x-3=5$,是一元一次方程.(2)依题意,得$2+x=2y-5$,不符合一元一次方程的定义,不是一元一次方程.(3)依题意,得$|x^2-y^2|=7$,不符合一元一次方程的定义,不是一元一次方程.(4)依题意,得$x＞8-x$,不符合一元一次方程的定义,不是一元一次方程.
【知识点】
一元一次方程的定义、列方程与不等式
【点评】
本题考查根据文字描述列数学式子及一元一次方程的概念，属于基础题型，需准确区分方程与不等式，牢记一元一次方程的核心特征。
【难度系数】
0.6
11. (2024·响水县期末)已知$(m-3)x^{|m|-2}+12=0$是关于$x$的一元一次方程.
(1)求$m$的值；
(2)若方程$(m-3)x^{|m|-2}+12=0$的解与关于$x$的一元一次方程$n(2x+1)=x+5$的解互为相反数,求$n$的值.
(1)求$m$的值；
(2)若方程$(m-3)x^{|m|-2}+12=0$的解与关于$x$的一元一次方程$n(2x+1)=x+5$的解互为相反数,求$n$的值.
答案
11.解:(1)因为$(m-3)x^{|m|-2}+12=0$是关于$x$的一元一次方程,
所以$|m|-2=1,m-3≠0$,解得$m=-3$.
(2)因为$m=-3$,
所以$(m-3)x^{|m|-2}+12=0$变形为$-6x+12=0$,
解得$x=2$.
因为一元一次方程$n(2x+1)=x+5$的解与$(m-3)x^{|m|-2}+12=0$的解互为相反数,
所以$n(2x+1)=x+5$的解为$x=-2$,
所以$n[2×(-2)+1]=-2+5$,解得$n=-1$,
故$n$的值为$-1$.
所以$|m|-2=1,m-3≠0$,解得$m=-3$.
(2)因为$m=-3$,
所以$(m-3)x^{|m|-2}+12=0$变形为$-6x+12=0$,
解得$x=2$.
因为一元一次方程$n(2x+1)=x+5$的解与$(m-3)x^{|m|-2}+12=0$的解互为相反数,
所以$n(2x+1)=x+5$的解为$x=-2$,
所以$n[2×(-2)+1]=-2+5$,解得$n=-1$,
故$n$的值为$-1$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需利用一元一次方程的定义确定m的值：一元一次方程要求未知数的次数为1，且含未知数的项的系数不为0，据此列条件求解m；接着将m代入原方程求出第一个方程的解，再根据“两个方程的解互为相反数”得到第二个方程的解，最后代入第二个方程求出n的值。
【解析】
(1) 因为$(m-3)x^{|m|-2}+12=0$是关于$x$的一元一次方程，所以需满足两个条件：
① 未知数$x$的次数为1，即$|m|-2=1$；
② 一次项系数不为0，即$m-3≠0$。
解$|m|-2=1$得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$；结合$m-3≠0$，得$m≠3$，因此$m=-3$。
(2) 将$m=-3$代入原方程，得$-6x+12=0$，移项得$-6x=-12$，解得$x=2$。
因为两个方程的解互为相反数，所以方程$n(2x+1)=x+5$的解为$x=-2$。
将$x=-2$代入$n(2x+1)=x+5$，得$n[2×(-2)+1]=-2+5$，即$-3n=3$，解得$n=-1$。
【答案】
(1)$m=-3$；(2)$n=-1$
【知识点】
一元一次方程的定义，解一元一次方程，相反数
【点评】
本题考查一元一次方程的定义及解的应用，需注意一元一次方程中一次项系数不能为0的隐含条件，整体难度较低，是基础题型，适合巩固相关知识点。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需利用一元一次方程的定义确定m的值：一元一次方程要求未知数的次数为1，且含未知数的项的系数不为0，据此列条件求解m；接着将m代入原方程求出第一个方程的解，再根据“两个方程的解互为相反数”得到第二个方程的解，最后代入第二个方程求出n的值。
【解析】
(1) 因为$(m-3)x^{|m|-2}+12=0$是关于$x$的一元一次方程，所以需满足两个条件：
① 未知数$x$的次数为1，即$|m|-2=1$；
② 一次项系数不为0，即$m-3≠0$。
解$|m|-2=1$得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$；结合$m-3≠0$，得$m≠3$，因此$m=-3$。
(2) 将$m=-3$代入原方程，得$-6x+12=0$，移项得$-6x=-12$，解得$x=2$。
因为两个方程的解互为相反数，所以方程$n(2x+1)=x+5$的解为$x=-2$。
将$x=-2$代入$n(2x+1)=x+5$，得$n[2×(-2)+1]=-2+5$，即$-3n=3$，解得$n=-1$。
【答案】
(1)$m=-3$；(2)$n=-1$
【知识点】
一元一次方程的定义，解一元一次方程，相反数
【点评】
本题考查一元一次方程的定义及解的应用，需注意一元一次方程中一次项系数不能为0的隐含条件，整体难度较低，是基础题型，适合巩固相关知识点。
【难度系数】
0.6
12. 已知$(|a|-1)x^{2}-(a+1)x+8=0$是关于$x$的一元一次方程.
求:(1)代数式$20(a+x)(x-2a)+3a+5$的值;
(2)关于$y$的方程$a|y|=x$的解.
求:(1)代数式$20(a+x)(x-2a)+3a+5$的值;
(2)关于$y$的方程$a|y|=x$的解.
答案
12.解:(1)根据题意,得$|a|-1=0$且$-(a+1)≠0$,解得$a=1$,
则方程是$-2x+8=0$,解得$x=4$,
原式$=20×(1+4)×(4-2)+3+5=208$.
(2)当$a=1,x=4$时,$|y|=4$,所以$y=±4$.
则方程是$-2x+8=0$,解得$x=4$,
原式$=20×(1+4)×(4-2)+3+5=208$.
(2)当$a=1,x=4$时,$|y|=4$,所以$y=±4$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需根据一元一次方程的定义确定参数$a$的值：一元一次方程要求二次项系数为0且一次项系数不为0，据此求出$a$；再将$a$代入原方程求出$x$；最后把$a$和$x$代入代数式计算第一问，代入关于$y$的方程解绝对值方程得到第二问的解。
【解析】
解：根据一元一次方程的定义，二次项系数为0，一次项系数不为0，可得：
$\begin{cases}|a|-1=0 \\ -(a+1)≠0\end{cases}$
解$|a|-1=0$得$a=\pm1$；解$-(a+1)≠0$得$a≠-1$，故$a=1$。
将$a=1$代入原方程得：$-(1+1)x +8=0$，即$-2x+8=0$，解得$x=4$。
(1) 把$a=1$，$x=4$代入代数式：
$20(a+x)(x-2a)+3a+5=20×(1+4)×(4-2×1)+3×1+5$
$=20×5×2 +3+5$
$=200+8=208$
(2) 把$a=1$，$x=4$代入关于$y$的方程：$1×|y|=4$，即$|y|=4$，解得$y=\pm4$。
【答案】
(1) $208$；(2) $y=\pm4$
【知识点】
一元一次方程的定义，代数式求值，含绝对值的方程求解
【点评】
本题综合考查一元一次方程的定义、代数式计算及绝对值方程的解法，核心是先根据一元一次方程的条件确定$a$的值，再逐步求解，步骤清晰，难度适中，只要掌握基础概念即可正确解答。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，首先需根据一元一次方程的定义确定参数$a$的值：一元一次方程要求二次项系数为0且一次项系数不为0，据此求出$a$；再将$a$代入原方程求出$x$；最后把$a$和$x$代入代数式计算第一问，代入关于$y$的方程解绝对值方程得到第二问的解。
【解析】
解：根据一元一次方程的定义，二次项系数为0，一次项系数不为0，可得：
$\begin{cases}|a|-1=0 \\ -(a+1)≠0\end{cases}$
解$|a|-1=0$得$a=\pm1$；解$-(a+1)≠0$得$a≠-1$，故$a=1$。
将$a=1$代入原方程得：$-(1+1)x +8=0$，即$-2x+8=0$，解得$x=4$。
(1) 把$a=1$，$x=4$代入代数式：
$20(a+x)(x-2a)+3a+5=20×(1+4)×(4-2×1)+3×1+5$
$=20×5×2 +3+5$
$=200+8=208$
(2) 把$a=1$，$x=4$代入关于$y$的方程：$1×|y|=4$，即$|y|=4$，解得$y=\pm4$。
【答案】
(1) $208$；(2) $y=\pm4$
【知识点】
一元一次方程的定义，代数式求值，含绝对值的方程求解
【点评】
本题综合考查一元一次方程的定义、代数式计算及绝对值方程的解法，核心是先根据一元一次方程的条件确定$a$的值，再逐步求解，步骤清晰，难度适中，只要掌握基础概念即可正确解答。
【难度系数】
0.5
