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1. 下列能与$\sqrt{3}$合并二次根式的是 （）
A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{9}$
C.$\sqrt{12}$
D.$\sqrt{18}$
A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{9}$
C.$\sqrt{12}$
D.$\sqrt{18}$
答案
C
解析
【分析】要判断哪个二次根式能与$\sqrt{3}$合并，需依据同类二次根式的定义：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，可合并。解题思路是先将各选项的二次根式化简为最简形式，再比较被开方数是否为3，即可得出答案。
【解析】
1. 化简各选项二次根式：
选项A：$\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$，被开方数为2，与$\sqrt{3}$的被开方数3不同，不能合并；
选项B：$\sqrt{9} = 3$，是整数，被开方数可视为1，与3不同，不能合并；
选项C：$\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}$，被开方数为3，与$\sqrt{3}$的被开方数相同，是同类二次根式，能合并；
选项D：$\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2}$，被开方数为2，与3不同，不能合并。
综上，答案为C。
【答案】C
【知识点】同类二次根式、二次根式化简
【点评】本题考查同类二次根式的概念，核心是掌握最简二次根式的化简方法，判断被开方数是否一致，属于二次根式章节的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】
1. 化简各选项二次根式：
选项A：$\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$，被开方数为2，与$\sqrt{3}$的被开方数3不同，不能合并；
选项B：$\sqrt{9} = 3$，是整数，被开方数可视为1，与3不同，不能合并；
选项C：$\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}$，被开方数为3，与$\sqrt{3}$的被开方数相同，是同类二次根式，能合并；
选项D：$\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2}$，被开方数为2，与3不同，不能合并。
综上，答案为C。
【答案】C
【知识点】同类二次根式、二次根式化简
【点评】本题考查同类二次根式的概念，核心是掌握最简二次根式的化简方法，判断被开方数是否一致，属于二次根式章节的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
2. 已知$ x + y = -9 $，$ xy = 9 $，则$ x\sqrt{\frac{y}{x}} + y\sqrt{\frac{x}{y}} $值是（）
A.6
B.-6
C.3
D.-3
A.6
B.-6
C.3
D.-3
答案
B
解析
【分析】
要解决该问题，需先根据二次根式有意义的条件判断x、y的符号，再对所求代数式化简求值：第一步，由根号下分式的被开方数大于0，确定x与y同号；第二步，结合已知x+y=-9（负数），明确x、y均为负数；第三步，化简代数式时注意负数移到根号内需保留负号，避免符号错误，最后代入xy的值计算结果。
【解析】
解：根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于0，因此：
$\frac{y}{x} ＞ 0$，$\frac{x}{y} ＞ 0$，故x与y同号。
又已知$x + y = -9 ＜ 0$，$xy = 9 ＞ 0$，因此$x ＜ 0$，$y ＜ 0$。
对原式化简：
$x\sqrt{\frac{y}{x}} + y\sqrt{\frac{x}{y}}$
因为$x ＜ 0$，所以$x = -\sqrt{x^2}$，同理$y ＜ 0$，$y = -\sqrt{y^2}$，代入得：
$= -\sqrt{x^2} · \sqrt{\frac{y}{x}} - \sqrt{y^2} · \sqrt{\frac{x}{y}}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$，化简：
$= -\sqrt{x^2 · \frac{y}{x}} - \sqrt{y^2 · \frac{x}{y}}$
$= -\sqrt{xy} - \sqrt{xy}$
$= -2\sqrt{xy}$
将$xy = 9$代入：
原式$= -2\sqrt{9} = -2 × 3 = -6$
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简、代数式求值
【点评】
本题易错点是忽略x、y的符号，直接化简导致结果错误，需先根据二次根式有意义的条件和已知条件确定x、y均为负数，再正确处理根号外负号的转换，考察二次根式性质与代数式求值的综合应用。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需先根据二次根式有意义的条件判断x、y的符号，再对所求代数式化简求值：第一步，由根号下分式的被开方数大于0，确定x与y同号；第二步，结合已知x+y=-9（负数），明确x、y均为负数；第三步，化简代数式时注意负数移到根号内需保留负号，避免符号错误，最后代入xy的值计算结果。
【解析】
解：根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于0，因此：
$\frac{y}{x} ＞ 0$，$\frac{x}{y} ＞ 0$，故x与y同号。
又已知$x + y = -9 ＜ 0$，$xy = 9 ＞ 0$，因此$x ＜ 0$，$y ＜ 0$。
对原式化简：
$x\sqrt{\frac{y}{x}} + y\sqrt{\frac{x}{y}}$
因为$x ＜ 0$，所以$x = -\sqrt{x^2}$，同理$y ＜ 0$，$y = -\sqrt{y^2}$，代入得：
$= -\sqrt{x^2} · \sqrt{\frac{y}{x}} - \sqrt{y^2} · \sqrt{\frac{x}{y}}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$，化简：
$= -\sqrt{x^2 · \frac{y}{x}} - \sqrt{y^2 · \frac{x}{y}}$
$= -\sqrt{xy} - \sqrt{xy}$
$= -2\sqrt{xy}$
将$xy = 9$代入：
原式$= -2\sqrt{9} = -2 × 3 = -6$
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简、代数式求值
【点评】
本题易错点是忽略x、y的符号，直接化简导致结果错误，需先根据二次根式有意义的条件和已知条件确定x、y均为负数，再正确处理根号外负号的转换，考察二次根式性质与代数式求值的综合应用。
【难度系数】
0.5
3. 化简：$\sqrt{27} - \sqrt{12} = \_\_\_\_\_\_$.
答案
$\sqrt{3}$
解析
【分析】要化简$\sqrt{27} - \sqrt{12}$，需先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（只有同类二次根式才能进行加减运算）。
【解析】先把各二次根式化为最简二次根式：$\sqrt{27} = \sqrt{9 × 3} = 3\sqrt{3}$，$\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}$；再合并同类二次根式：$3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (3 - 2)\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
【答案】$\sqrt{3}$
【知识点】二次根式的化简、同类二次根式的合并
【点评】本题是二次根式运算的基础题型，主要考察最简二次根式的转化和同类二次根式的加减法则，难度较低，是学生必须掌握的基础知识点。
【难度系数】0.8
【解析】先把各二次根式化为最简二次根式：$\sqrt{27} = \sqrt{9 × 3} = 3\sqrt{3}$，$\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}$；再合并同类二次根式：$3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (3 - 2)\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
【答案】$\sqrt{3}$
【知识点】二次根式的化简、同类二次根式的合并
【点评】本题是二次根式运算的基础题型，主要考察最简二次根式的转化和同类二次根式的加减法则，难度较低，是学生必须掌握的基础知识点。
【难度系数】0.8
4. 已知$x=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}\ ,y=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$，若$x$的整数部分是$m$，$y$的小数部分是$n$，则$5m^2+(x-n)^2-y=\_\_\_\_\_\_$.
答案
$19-13\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先对x、y进行分母有理化化简，再通过估算无理数确定x的整数部分m和y的小数部分n，最后将m、n、x、y代入代数式计算结果。
【解析】
1. 分母有理化化简x、y：
$ x=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}\approx0.268 $
$ y=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}\approx3.732 $
2. 确定m和n：
x≈0.268，整数部分$ m=0 $；
y≈3.732，整数部分为3，故小数部分$ n=y-3=(2+\sqrt{3})-3=\sqrt{3}-1 $；
3. 代入代数式计算：
$ 5m^2+(x-n)^2-y $
代入$ m=0 $、$ x=2-\sqrt{3} $、$ n=\sqrt{3}-1 $、$ y=2+\sqrt{3} $：
原式$ =5×0^2 + [(2-\sqrt{3})-(\sqrt{3}-1)]^2 - (2+\sqrt{3}) $
$ =0 + (3-2\sqrt{3})^2 -2-\sqrt{3} $
$ =9-12\sqrt{3}+12 -2-\sqrt{3} $
$ =19-13\sqrt{3} $
【答案】
$19-13\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简、无理数估算、代数式求值
【点评】
本题核心是二次根式的分母有理化、无理数的整数/小数部分确定，计算时需注意完全平方公式的正确展开，整体步骤清晰，侧重基础运算能力。
【难度系数】
0.5
首先对x、y进行分母有理化化简，再通过估算无理数确定x的整数部分m和y的小数部分n，最后将m、n、x、y代入代数式计算结果。
【解析】
1. 分母有理化化简x、y：
$ x=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}\approx0.268 $
$ y=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}\approx3.732 $
2. 确定m和n：
x≈0.268，整数部分$ m=0 $；
y≈3.732，整数部分为3，故小数部分$ n=y-3=(2+\sqrt{3})-3=\sqrt{3}-1 $；
3. 代入代数式计算：
$ 5m^2+(x-n)^2-y $
代入$ m=0 $、$ x=2-\sqrt{3} $、$ n=\sqrt{3}-1 $、$ y=2+\sqrt{3} $：
原式$ =5×0^2 + [(2-\sqrt{3})-(\sqrt{3}-1)]^2 - (2+\sqrt{3}) $
$ =0 + (3-2\sqrt{3})^2 -2-\sqrt{3} $
$ =9-12\sqrt{3}+12 -2-\sqrt{3} $
$ =19-13\sqrt{3} $
【答案】
$19-13\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简、无理数估算、代数式求值
【点评】
本题核心是二次根式的分母有理化、无理数的整数/小数部分确定，计算时需注意完全平方公式的正确展开，整体步骤清晰，侧重基础运算能力。
【难度系数】
0.5
5. 定义:在平面直角坐标系中,O为坐标原点,对于任意两点$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$,称$|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$的值为$P,Q$两点的“直角距离”.若$P(-\sqrt{2},100),Q(-\sqrt{3},\sqrt{2}+100)$,则$P,Q$的“直角距离”为________;若点$P$的坐标是$(\sqrt{2},-3)$,$Q$为直线$y=x+5$上任意一点,则$P,Q$两点的“直角距离”的最小值为________.
答案
$\sqrt{3}$；$8+\sqrt{2}$
解析
【分析】首先明确“直角距离”的定义是两点横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和。第一空直接代入两点坐标按定义计算；第二空先设直线上点Q的坐标，根据定义写出直角距离的表达式，再利用绝对值的几何意义求最小值。
【解析】
1. 计算P、Q的直角距离（第一空）：
根据“直角距离”定义，对于$P(-\sqrt{2},100)$和$Q(-\sqrt{3},\sqrt{2}+100)$，
直角距离 = $|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|$ = $|-\sqrt{2} - (-\sqrt{3})| + |100 - (\sqrt{2} + 100)|$
= $|\sqrt{3} - \sqrt{2}| + |-\sqrt{2}|$ = $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \sqrt{2}$ = $\sqrt{3}$。
2. 求直角距离的最小值（第二空）：
设Q为直线$y=x+5$上任意一点，坐标为$(x, x+5)$，
则$P(\sqrt{2}, -3)$与Q的直角距离为：
$|\sqrt{2} - x| + |-3 - (x + 5)|$ = $|x - \sqrt{2}| + |-x -8|$ = $|x - \sqrt{2}| + |x +8|$。
根据绝对值的几何意义，该式表示数轴上点$x$到$\sqrt{2}$和$-8$的距离之和，当$x$在$-8$与$\sqrt{2}$之间时，距离和最小，最小值为$\sqrt{2} - (-8)$ = $8 + \sqrt{2}$。
【答案】$\sqrt{3}$；$8+\sqrt{2}$
【知识点】平面直角坐标系、绝对值的几何意义、一次函数的应用
【点评】本题考查新定义运算，核心是理解“直角距离”的定义，第二空转化为绝对值和的最值问题，利用几何意义求解更简便，避免分段讨论的繁琐。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 计算P、Q的直角距离（第一空）：
根据“直角距离”定义，对于$P(-\sqrt{2},100)$和$Q(-\sqrt{3},\sqrt{2}+100)$，
直角距离 = $|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|$ = $|-\sqrt{2} - (-\sqrt{3})| + |100 - (\sqrt{2} + 100)|$
= $|\sqrt{3} - \sqrt{2}| + |-\sqrt{2}|$ = $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \sqrt{2}$ = $\sqrt{3}$。
2. 求直角距离的最小值（第二空）：
设Q为直线$y=x+5$上任意一点，坐标为$(x, x+5)$，
则$P(\sqrt{2}, -3)$与Q的直角距离为：
$|\sqrt{2} - x| + |-3 - (x + 5)|$ = $|x - \sqrt{2}| + |-x -8|$ = $|x - \sqrt{2}| + |x +8|$。
根据绝对值的几何意义，该式表示数轴上点$x$到$\sqrt{2}$和$-8$的距离之和，当$x$在$-8$与$\sqrt{2}$之间时，距离和最小，最小值为$\sqrt{2} - (-8)$ = $8 + \sqrt{2}$。
【答案】$\sqrt{3}$；$8+\sqrt{2}$
【知识点】平面直角坐标系、绝对值的几何意义、一次函数的应用
【点评】本题考查新定义运算，核心是理解“直角距离”的定义，第二空转化为绝对值和的最值问题，利用几何意义求解更简便，避免分段讨论的繁琐。
【难度系数】0.5
三、解答题
6. 计算：
(1) $ 3\sqrt{\dfrac{1}{3}} - 5\sqrt{3} $；
(2) $ (\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - 1)^2 $。
6. 计算：
(1) $ 3\sqrt{\dfrac{1}{3}} - 5\sqrt{3} $；
(2) $ (\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - 1)^2 $。
答案
(1) $-4\sqrt{3}$；(2) $7-2\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的运算，解题思路：(1)先将式子中的二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；(2)利用平方差公式和完全平方公式化简式子，再合并同类项。
【解析】
(1) 先化简$3\sqrt{\dfrac{1}{3}}$：
$3\sqrt{\dfrac{1}{3}} = 3×\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$，
则原式$=\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$；
(2) 分别利用公式计算：
第一步，计算$(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})$，根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，得：
$(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$；
第二步，计算$(\sqrt{3} - 1)^2$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得：
$(\sqrt{3})^2 - 2×\sqrt{3}×1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$；
第三步，合并结果：
原式$=3 + (4 - 2\sqrt{3}) = 7 - 2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $-4\sqrt{3}$；(2) $7-2\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的加减运算、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是二次根式的基础运算题，需熟练掌握最简二次根式的化简方法及乘法公式的应用，计算时注意合并同类二次根式的规则，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.6
本题考查二次根式的运算，解题思路：(1)先将式子中的二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；(2)利用平方差公式和完全平方公式化简式子，再合并同类项。
【解析】
(1) 先化简$3\sqrt{\dfrac{1}{3}}$：
$3\sqrt{\dfrac{1}{3}} = 3×\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$，
则原式$=\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$；
(2) 分别利用公式计算：
第一步，计算$(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})$，根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，得：
$(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$；
第二步，计算$(\sqrt{3} - 1)^2$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得：
$(\sqrt{3})^2 - 2×\sqrt{3}×1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$；
第三步，合并结果：
原式$=3 + (4 - 2\sqrt{3}) = 7 - 2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $-4\sqrt{3}$；(2) $7-2\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的加减运算、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是二次根式的基础运算题，需熟练掌握最简二次根式的化简方法及乘法公式的应用，计算时注意合并同类二次根式的规则，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.6
7. 先化简,再求值:$(1+\dfrac{1}{a+1})÷\dfrac{a^2+4a+4}{a^2-1}$,
其中$a=\sqrt{3}-2$.
其中$a=\sqrt{3}-2$.
答案
$1-\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解决这道分式化简求值题，需遵循分式运算规则逐步化简：先计算括号内的分式加法（通分合并），再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分简化式子，最后代入给定的$a$值计算结果。核心是掌握分式通分、因式分解（平方差、完全平方公式）及约分的运算方法。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&(1+\dfrac{1}{a+1})÷\dfrac{a^2+4a+4}{a^2-1}\\=&\dfrac{(a+1)+1}{a+1}÷\dfrac{(a+2)^2}{(a+1)(a-1)}\\=&\dfrac{a+2}{a+1}×\dfrac{(a+1)(a-1)}{(a+2)^2}\\=&\dfrac{a-1}{a+2}\end{aligned}$
将$a=\sqrt{3}-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}&\dfrac{(\sqrt{3}-2)-1}{(\sqrt{3}-2)+2}\\=&\dfrac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}}\\=&1-\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$1-\sqrt{3}$
【知识点】
分式的化简求值，因式分解的应用
【点评】
本题是典型的分式化简求值基础题，考查分式运算规则与因式分解的结合应用，步骤清晰，只要掌握通分、约分及公式因式分解即可正确解答，属于代数运算的常规题型。
【难度系数】
0.6
要解决这道分式化简求值题，需遵循分式运算规则逐步化简：先计算括号内的分式加法（通分合并），再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分简化式子，最后代入给定的$a$值计算结果。核心是掌握分式通分、因式分解（平方差、完全平方公式）及约分的运算方法。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&(1+\dfrac{1}{a+1})÷\dfrac{a^2+4a+4}{a^2-1}\\=&\dfrac{(a+1)+1}{a+1}÷\dfrac{(a+2)^2}{(a+1)(a-1)}\\=&\dfrac{a+2}{a+1}×\dfrac{(a+1)(a-1)}{(a+2)^2}\\=&\dfrac{a-1}{a+2}\end{aligned}$
将$a=\sqrt{3}-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}&\dfrac{(\sqrt{3}-2)-1}{(\sqrt{3}-2)+2}\\=&\dfrac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}}\\=&1-\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$1-\sqrt{3}$
【知识点】
分式的化简求值，因式分解的应用
【点评】
本题是典型的分式化简求值基础题，考查分式运算规则与因式分解的结合应用，步骤清晰，只要掌握通分、约分及公式因式分解即可正确解答，属于代数运算的常规题型。
【难度系数】
0.6
8. 阅读下列解题过程：
$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\frac{1×(\sqrt{5}-\sqrt{4})}{(\sqrt{5}+\sqrt{4})(\sqrt{5}-\sqrt{4})}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{4})^2}=\sqrt{5}-\sqrt{4},$
$\sqrt{6}-\sqrt{5}.$
（1）观察上面的解题过程，计算：
；
（2）请用含$n$（$n$为正整数）的式子表示上述各式子的规律；
（3）利用上面的规律化简：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+$
$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\frac{1×(\sqrt{5}-\sqrt{4})}{(\sqrt{5}+\sqrt{4})(\sqrt{5}-\sqrt{4})}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{4})^2}=\sqrt{5}-\sqrt{4},$
$\sqrt{6}-\sqrt{5}.$
（1）观察上面的解题过程，计算：
；（2）请用含$n$（$n$为正整数）的式子表示上述各式子的规律；
（3）利用上面的规律化简：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+$
答案
(1) $\sqrt{2026}-45$（或$\sqrt{2026}-\sqrt{2025}$）
(2) $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（$n$为正整数）
(3) $10\sqrt{2}-1$
(2) $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（$n$为正整数）
(3) $10\sqrt{2}-1$
解析
【分析】
本题围绕二次根式的分母有理化展开，首先观察给出的解题过程，核心是利用平方差公式对二次根式分母进行有理化，将无理分母转化为有理数。第（1）问直接应用分母有理化计算特定式子；第（2）问需从示例和（1）的结果中归纳通用规律；第（3）问利用总结的规律，通过裂项相消法化简求和，最终得到结果。
【解析】
（1）计算$\frac{1}{\sqrt{2026}+\sqrt{2025}}$，利用分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2026}-\sqrt{2025}$：
$\frac{1}{\sqrt{2026}+\sqrt{2025}}=\frac{1×(\sqrt{2026}-\sqrt{2025})}{(\sqrt{2026}+\sqrt{2025})(\sqrt{2026}-\sqrt{2025})}=\frac{\sqrt{2026}-\sqrt{2025}}{2026-2025}=\sqrt{2026}-\sqrt{2025}=\sqrt{2026}-45$；
（2）对于正整数$n$，对$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$进行分母有理化：
分子分母同乘$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，分母为$(\sqrt{n+1})^2-(\sqrt{n})^2=(n+1)-n=1$，因此$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（$n$为正整数）；
（3）化简$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{199}+\sqrt{200}}$，根据（2）的规律展开每一项：
原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\dots+(\sqrt{200}-\sqrt{199})$，中间项相互抵消，剩余$\sqrt{200}-1=10\sqrt{2}-1$。
【答案】
(1) $\sqrt{2026}-45$；(2) $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（$n$为正整数）；(3) $10\sqrt{2}-1$
【知识点】
二次根式分母有理化，找规律，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，核心考查分母有理化的方法和规律探究能力，通过归纳通用规律后利用裂项相消法求和，需掌握平方差公式在二次根式化简中的应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题围绕二次根式的分母有理化展开，首先观察给出的解题过程，核心是利用平方差公式对二次根式分母进行有理化，将无理分母转化为有理数。第（1）问直接应用分母有理化计算特定式子；第（2）问需从示例和（1）的结果中归纳通用规律；第（3）问利用总结的规律，通过裂项相消法化简求和，最终得到结果。
【解析】
（1）计算$\frac{1}{\sqrt{2026}+\sqrt{2025}}$，利用分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2026}-\sqrt{2025}$：
$\frac{1}{\sqrt{2026}+\sqrt{2025}}=\frac{1×(\sqrt{2026}-\sqrt{2025})}{(\sqrt{2026}+\sqrt{2025})(\sqrt{2026}-\sqrt{2025})}=\frac{\sqrt{2026}-\sqrt{2025}}{2026-2025}=\sqrt{2026}-\sqrt{2025}=\sqrt{2026}-45$；
（2）对于正整数$n$，对$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$进行分母有理化：
分子分母同乘$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，分母为$(\sqrt{n+1})^2-(\sqrt{n})^2=(n+1)-n=1$，因此$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（$n$为正整数）；
（3）化简$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{199}+\sqrt{200}}$，根据（2）的规律展开每一项：
原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\dots+(\sqrt{200}-\sqrt{199})$，中间项相互抵消，剩余$\sqrt{200}-1=10\sqrt{2}-1$。
【答案】
(1) $\sqrt{2026}-45$；(2) $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（$n$为正整数）；(3) $10\sqrt{2}-1$
【知识点】
二次根式分母有理化，找规律，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，核心考查分母有理化的方法和规律探究能力，通过归纳通用规律后利用裂项相消法求和，需掌握平方差公式在二次根式化简中的应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
