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1. 已知关于$ a $的代数式$ A = a^2 + a $，则下列说法正确的有 （）
① 存在实数$ a $，使得$ A - 2a + \frac{1}{4} ＜ 0 $；
② 若$ A - 1 = 0 $，则$ a^2 + \frac{1}{a^2} = 4 $；
③ 已知代数式$ A,B,C $满足$ A - B = \sqrt{5} + \sqrt{3}, B - C = \sqrt{5} - \sqrt{3} $，则$ A^2 + B^2 + C^2 - AB - AC - BC = 20 $。
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
① 存在实数$ a $，使得$ A - 2a + \frac{1}{4} ＜ 0 $；
② 若$ A - 1 = 0 $，则$ a^2 + \frac{1}{a^2} = 4 $；
③ 已知代数式$ A,B,C $满足$ A - B = \sqrt{5} + \sqrt{3}, B - C = \sqrt{5} - \sqrt{3} $，则$ A^2 + B^2 + C^2 - AB - AC - BC = 20 $。
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
A
解析
【分析】本题需逐个验证三个关于代数式的命题是否正确，分别对每个命题进行代数化简、计算，结合完全平方公式、二次根式运算等知识判断结论是否成立，最终确定正确命题的个数。
【解析】
1. 验证命题①：
将$ A = a^2 + a $代入$ A - 2a + \frac{1}{4} $，得：
$ A - 2a + \frac{1}{4} = a^2 + a - 2a + \frac{1}{4} = a^2 - a + \frac{1}{4} = (a - \frac{1}{2})^2 $
因为平方数非负，即$ (a - \frac{1}{2})^2 ≥ 0 $，不存在实数$ a $使得$ (a - \frac{1}{2})^2 ＜ 0 $，故①错误。
2. 验证命题②：
由$ A - 1 = 0 $得$ a^2 + a - 1 = 0 $，显然$ a ≠ 0 $（若$ a=0 $，左边为$-1≠0$），两边同除以$ a $得：
$ a + 1 - \frac{1}{a} = 0 $，即$ a - \frac{1}{a} = -1 $
根据完全平方公式：$ (a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} $，代入$ a - \frac{1}{a} = -1 $：
$ (-1)^2 = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 $，解得$ a^2 + \frac{1}{a^2} = 3 ≠ 4 $，故②错误。
3. 验证命题③：
已知$ A - B = \sqrt{5} + \sqrt{3} $，$ B - C = \sqrt{5} - \sqrt{3} $，则：
$ A - C = (A - B) + (B - C) = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{5} $
对于代数式$ A^2 + B^2 + C^2 - AB - AC - BC $，利用公式：
$ A^2 + B^2 + C^2 - AB - AC - BC = \frac{1}{2}[(A - B)^2 + (B - C)^2 + (A - C)^2] $
代入计算：
$ \frac{1}{2}[(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 + (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + (2\sqrt{5})^2] $
$ = \frac{1}{2}[(5 + 2\sqrt{15} + 3) + (5 - 2\sqrt{15} + 3) + 20] $
$ = \frac{1}{2}×36 = 18 ≠ 20 $，故③错误。
综上，三个命题均错误，正确的个数为0，答案选A。
【答案】A
【知识点】代数式化简、完全平方公式、二次根式运算
【点评】本题考查代数式的综合应用，需熟练掌握完全平方公式的变形、二次根式的运算，易错点在于命题③的公式记忆及计算，需仔细核对每一步运算。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 验证命题①：
将$ A = a^2 + a $代入$ A - 2a + \frac{1}{4} $，得：
$ A - 2a + \frac{1}{4} = a^2 + a - 2a + \frac{1}{4} = a^2 - a + \frac{1}{4} = (a - \frac{1}{2})^2 $
因为平方数非负，即$ (a - \frac{1}{2})^2 ≥ 0 $，不存在实数$ a $使得$ (a - \frac{1}{2})^2 ＜ 0 $，故①错误。
2. 验证命题②：
由$ A - 1 = 0 $得$ a^2 + a - 1 = 0 $，显然$ a ≠ 0 $（若$ a=0 $，左边为$-1≠0$），两边同除以$ a $得：
$ a + 1 - \frac{1}{a} = 0 $，即$ a - \frac{1}{a} = -1 $
根据完全平方公式：$ (a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} $，代入$ a - \frac{1}{a} = -1 $：
$ (-1)^2 = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 $，解得$ a^2 + \frac{1}{a^2} = 3 ≠ 4 $，故②错误。
3. 验证命题③：
已知$ A - B = \sqrt{5} + \sqrt{3} $，$ B - C = \sqrt{5} - \sqrt{3} $，则：
$ A - C = (A - B) + (B - C) = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{5} $
对于代数式$ A^2 + B^2 + C^2 - AB - AC - BC $，利用公式：
$ A^2 + B^2 + C^2 - AB - AC - BC = \frac{1}{2}[(A - B)^2 + (B - C)^2 + (A - C)^2] $
代入计算：
$ \frac{1}{2}[(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 + (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + (2\sqrt{5})^2] $
$ = \frac{1}{2}[(5 + 2\sqrt{15} + 3) + (5 - 2\sqrt{15} + 3) + 20] $
$ = \frac{1}{2}×36 = 18 ≠ 20 $，故③错误。
综上，三个命题均错误，正确的个数为0，答案选A。
【答案】A
【知识点】代数式化简、完全平方公式、二次根式运算
【点评】本题考查代数式的综合应用，需熟练掌握完全平方公式的变形、二次根式的运算，易错点在于命题③的公式记忆及计算，需仔细核对每一步运算。
【难度系数】0.5
2. 计算：$\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\underline{\hspace{5cm}}.$
答案
$2\sqrt{3}$
解析
【分析】本题是双重二次根式的化简计算，核心思路是利用完全平方公式将根号内的式子转化为完全平方式，再结合二次根式的非负性去根号，最后合并计算。观察两个根号内的结构，形如$a\pm2\sqrt{b}$，可拆分为$(\sqrt{m}\pm\sqrt{n})^2$的形式，找到满足$m+n=4$、$mn=3$的正整数$m$、$n$，进而化简根式。
【解析】先分别化简两个双重二次根式：
1. 化简$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$：
因为$(\sqrt{3}+1)^2=(\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×1 +1^2=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3}$，且$\sqrt{3}+1＞0$，所以$\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}=\sqrt{3}+1$；
2. 化简$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$：
因为$(\sqrt{3}-1)^2=(\sqrt{3})^2 -2×\sqrt{3}×1 +1^2=3-2\sqrt{3}+1=4-2\sqrt{3}$，且$\sqrt{3}-1＞0$，所以$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}=\sqrt{3}-1$；
将化简结果相加：原式$=(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}$。
【答案】$2\sqrt{3}$
【知识点】二次根式化简、完全平方公式
【点评】本题考查双重二次根式的化简，关键是利用完全平方公式变形根号内的式子，计算时需注意二次根式的非负性，属于基础的根式运算题，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】先分别化简两个双重二次根式：
1. 化简$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$：
因为$(\sqrt{3}+1)^2=(\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×1 +1^2=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3}$，且$\sqrt{3}+1＞0$，所以$\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}=\sqrt{3}+1$；
2. 化简$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$：
因为$(\sqrt{3}-1)^2=(\sqrt{3})^2 -2×\sqrt{3}×1 +1^2=3-2\sqrt{3}+1=4-2\sqrt{3}$，且$\sqrt{3}-1＞0$，所以$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}=\sqrt{3}-1$；
将化简结果相加：原式$=(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}$。
【答案】$2\sqrt{3}$
【知识点】二次根式化简、完全平方公式
【点评】本题考查双重二次根式的化简，关键是利用完全平方公式变形根号内的式子，计算时需注意二次根式的非负性，属于基础的根式运算题，难度适中。
【难度系数】0.5
3. 若最简二次根式$\sqrt{4a-5}$与$\sqrt{13-2a}$能进行合并，且$a≤ x≤ 2a$，化简：$|x-2|+\sqrt{x^2-12x+36}=$.
答案
4
解析
【分析】
要解决这个问题，需先利用“最简二次根式能合并则被开方数相同”的性质求出a的值，再根据a的范围确定x的取值范围，最后结合绝对值和二次根式的性质化简代数式。具体步骤：1. 根据同类二次根式的定义列方程求a；2. 代入a得x的范围；3. 将二次根式转化为绝对值，根据x的范围去绝对值后计算结果。
【解析】
1. 求a的值：
因为最简二次根式$\sqrt{4a-5}$与$\sqrt{13-2a}$能合并，所以它们是同类二次根式，被开方数相等，即：
$4a - 5 = 13 - 2a$
移项得：$4a + 2a = 13 + 5$
合并同类项：$6a = 18$
解得：$a = 3$
2. 确定x的范围：
已知$a ≤ x ≤ 2a$，代入$a=3$得：$3 ≤ x ≤ 6$
3. 化简代数式：
原式$= |x - 2| + \sqrt{x^2 - 12x + 36} = |x - 2| + |x - 6|$
因为$3 ≤ x ≤ 6$，所以：
$x - 2 ＞ 0$，则$|x - 2| = x - 2$；
$x - 6 ≤ 0$，则$|x - 6| = 6 - x$；
代入计算：
$(x - 2) + (6 - x) = x - 2 + 6 - x = 4$
【答案】
4
【知识点】
同类二次根式、二次根式化简、绝对值的性质
【点评】
本题综合考查同类二次根式的定义和二次根式、绝对值的化简，核心是先通过同类二次根式求出a的值，确定x的范围后再去绝对值计算，难度适中，需掌握基本概念和化简规则。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先利用“最简二次根式能合并则被开方数相同”的性质求出a的值，再根据a的范围确定x的取值范围，最后结合绝对值和二次根式的性质化简代数式。具体步骤：1. 根据同类二次根式的定义列方程求a；2. 代入a得x的范围；3. 将二次根式转化为绝对值，根据x的范围去绝对值后计算结果。
【解析】
1. 求a的值：
因为最简二次根式$\sqrt{4a-5}$与$\sqrt{13-2a}$能合并，所以它们是同类二次根式，被开方数相等，即：
$4a - 5 = 13 - 2a$
移项得：$4a + 2a = 13 + 5$
合并同类项：$6a = 18$
解得：$a = 3$
2. 确定x的范围：
已知$a ≤ x ≤ 2a$，代入$a=3$得：$3 ≤ x ≤ 6$
3. 化简代数式：
原式$= |x - 2| + \sqrt{x^2 - 12x + 36} = |x - 2| + |x - 6|$
因为$3 ≤ x ≤ 6$，所以：
$x - 2 ＞ 0$，则$|x - 2| = x - 2$；
$x - 6 ≤ 0$，则$|x - 6| = 6 - x$；
代入计算：
$(x - 2) + (6 - x) = x - 2 + 6 - x = 4$
【答案】
4
【知识点】
同类二次根式、二次根式化简、绝对值的性质
【点评】
本题综合考查同类二次根式的定义和二次根式、绝对值的化简，核心是先通过同类二次根式求出a的值，确定x的范围后再去绝对值计算，难度适中，需掌握基本概念和化简规则。
【难度系数】
0.6
4. 若$0＜ a＜1$，且$a+\dfrac{1}{a}=6$，则$\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}$的值为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
$-2$
解析
【分析】
要计算$\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}$的值，可利用完全平方公式将其转化为与已知条件$a+\dfrac{1}{a}=6$相关的形式。先对$\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}$平方，展开后能出现$a+\dfrac{1}{a}$，代入已知值计算，再根据$0＜ a＜1$判断结果的符号，即可得到答案。
【解析】
对$\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}$两边平方，得：
$(\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}})^2 = (\sqrt{a})^2 - 2·\sqrt{a}·\dfrac{1}{\sqrt{a}} + (\dfrac{1}{\sqrt{a}})^2 = a - 2 + \dfrac{1}{a} = (a + \dfrac{1}{a}) - 2$
已知$a+\dfrac{1}{a}=6$，代入上式得：
$(\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}})^2 = 6 - 2 = 4$
因为$0＜ a＜1$，所以$\sqrt{a}＜\dfrac{1}{\sqrt{a}}$，即$\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}＜0$，因此：
$\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}} = -\sqrt{4} = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
完全平方公式、代数式求值、二次根式的性质
【点评】
本题通过平方将所求代数式与已知条件关联，核心是完全平方公式的灵活运用，需注意根据$a$的取值范围判断结果的符号，避免符号错误，属于中等难度的代数式求值题。
【难度系数】
0.5
要计算$\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}$的值，可利用完全平方公式将其转化为与已知条件$a+\dfrac{1}{a}=6$相关的形式。先对$\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}$平方，展开后能出现$a+\dfrac{1}{a}$，代入已知值计算，再根据$0＜ a＜1$判断结果的符号，即可得到答案。
【解析】
对$\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}$两边平方，得：
$(\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}})^2 = (\sqrt{a})^2 - 2·\sqrt{a}·\dfrac{1}{\sqrt{a}} + (\dfrac{1}{\sqrt{a}})^2 = a - 2 + \dfrac{1}{a} = (a + \dfrac{1}{a}) - 2$
已知$a+\dfrac{1}{a}=6$，代入上式得：
$(\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}})^2 = 6 - 2 = 4$
因为$0＜ a＜1$，所以$\sqrt{a}＜\dfrac{1}{\sqrt{a}}$，即$\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}＜0$，因此：
$\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}} = -\sqrt{4} = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
完全平方公式、代数式求值、二次根式的性质
【点评】
本题通过平方将所求代数式与已知条件关联，核心是完全平方公式的灵活运用，需注意根据$a$的取值范围判断结果的符号，避免符号错误，属于中等难度的代数式求值题。
【难度系数】
0.5
三、解答题
5. 计算：
(1) $(\dfrac{1}{2})^{-2} - 2^3 × 0.125 + 2004^0 + |-1|$；
(2) $x^2 y^{-3} (x^{-1} y)^3$；
(3) $\dfrac{m^2}{2 - m} + \dfrac{3 - m}{m - 2} - \dfrac{m + 1}{2 - m}$。
5. 计算：
(1) $(\dfrac{1}{2})^{-2} - 2^3 × 0.125 + 2004^0 + |-1|$；
(2) $x^2 y^{-3} (x^{-1} y)^3$；
(3) $\dfrac{m^2}{2 - m} + \dfrac{3 - m}{m - 2} - \dfrac{m + 1}{2 - m}$。
答案
(1) $\boldsymbol{5}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{1}{x}}$；(3) $\boldsymbol{-m-2}$
解析
【分析】
本题考查负整数指数幂、零指数幂、绝对值、幂的运算及分式加减运算，需先明确各类运算的规则，再分步计算。
(1) 分别计算负指数幂、乘方、零指数幂、绝对值，再按顺序进行加减运算；
(2) 先利用积的乘方展开式子，再根据同底数幂乘法法则计算，最后化简；
(3) 先将异分母分式转化为同分母分式（注意分母的符号转换），再合并分子，通过因式分解约分得到结果。
【解析】
(1) 原式$=2^2 - 8×0.125 + 1 + 1$
$=4 - 1 + 1 + 1$
$=5$；
(2) 原式$=x^2 y^{-3} · (x^{-3} y^3)$
$=x^{2-3} · y^{-3+3}$
$=x^{-1} y^0$
$=\frac{1}{x}$；
(3) 原式$=\frac{m^2}{2 - m} - \frac{3 - m}{2 - m} - \frac{m + 1}{2 - m}$
$=\frac{m^2 - (3 - m) - (m + 1)}{2 - m}$
$=\frac{m^2 - 3 + m - m - 1}{2 - m}$
$=\frac{m^2 - 4}{2 - m}$
$=\frac{(m - 2)(m + 2)}{-(m - 2)}$
$=- (m + 2)$
$=-m - 2$；
【答案】
(1) $5$；(2) $\frac{1}{x}$；(3) $-m - 2$
【知识点】
负整数指数幂、零指数幂、分式的加减运算
【点评】
本题为基础运算题，需熟练掌握幂的运算法则、分式通分约分技巧，注意符号处理，是巩固代数基础的典型题目。
【难度系数】
0.3
本题考查负整数指数幂、零指数幂、绝对值、幂的运算及分式加减运算，需先明确各类运算的规则，再分步计算。
(1) 分别计算负指数幂、乘方、零指数幂、绝对值，再按顺序进行加减运算；
(2) 先利用积的乘方展开式子，再根据同底数幂乘法法则计算，最后化简；
(3) 先将异分母分式转化为同分母分式（注意分母的符号转换），再合并分子，通过因式分解约分得到结果。
【解析】
(1) 原式$=2^2 - 8×0.125 + 1 + 1$
$=4 - 1 + 1 + 1$
$=5$；
(2) 原式$=x^2 y^{-3} · (x^{-3} y^3)$
$=x^{2-3} · y^{-3+3}$
$=x^{-1} y^0$
$=\frac{1}{x}$；
(3) 原式$=\frac{m^2}{2 - m} - \frac{3 - m}{2 - m} - \frac{m + 1}{2 - m}$
$=\frac{m^2 - (3 - m) - (m + 1)}{2 - m}$
$=\frac{m^2 - 3 + m - m - 1}{2 - m}$
$=\frac{m^2 - 4}{2 - m}$
$=\frac{(m - 2)(m + 2)}{-(m - 2)}$
$=- (m + 2)$
$=-m - 2$；
【答案】
(1) $5$；(2) $\frac{1}{x}$；(3) $-m - 2$
【知识点】
负整数指数幂、零指数幂、分式的加减运算
【点评】
本题为基础运算题，需熟练掌握幂的运算法则、分式通分约分技巧，注意符号处理，是巩固代数基础的典型题目。
【难度系数】
0.3
6. 阅读材料:基本不等式$\sqrt{ab}≤\frac{a+b}{2}(a＞0,b＞0)$当且仅当$a=b$时,等号成立,其中我们把$\frac{a+b}{2}$叫正数$a,b$的算术平均数,$\sqrt{ab}$叫正数$a,b$的几何平均数.基本不等式是解决最大值、最小值问题的有力工具.
例如:在$x＞0$的条件下,当$x$为何值时,$x+\frac{1}{x}$有最小值?最小值是多少?
解:因为$x＞0,\frac{1}{x}＞0$,所以$\frac{x+\frac{1}{x}}{2}≥\sqrt{x·\frac{1}{x}}$,即$x+\frac{1}{x}≥2\sqrt{x·\frac{1}{x}}$,所以$x+\frac{1}{x}≥2$.当且仅当$x=\frac{1}{x}$时,$x+\frac{1}{x}$有最小值,最小值为2.
根据阅读材料解答下列问题:
(1)若函数$y=2x+\frac{1}{x}(x＞0)$,当$x$为何值时,该函数有最值?求出其最值.
(2)求式子$2x+\frac{1}{x-3}(x＞3)$的最值,并说明此时$x$的值.
(3)当$x＞0$时,式子$x^2+1+\frac{1}{x^2+1}≥2$成立吗?说明理由.
例如:在$x＞0$的条件下,当$x$为何值时,$x+\frac{1}{x}$有最小值?最小值是多少?
解:因为$x＞0,\frac{1}{x}＞0$,所以$\frac{x+\frac{1}{x}}{2}≥\sqrt{x·\frac{1}{x}}$,即$x+\frac{1}{x}≥2\sqrt{x·\frac{1}{x}}$,所以$x+\frac{1}{x}≥2$.当且仅当$x=\frac{1}{x}$时,$x+\frac{1}{x}$有最小值,最小值为2.
根据阅读材料解答下列问题:
(1)若函数$y=2x+\frac{1}{x}(x＞0)$,当$x$为何值时,该函数有最值?求出其最值.
(2)求式子$2x+\frac{1}{x-3}(x＞3)$的最值,并说明此时$x$的值.
(3)当$x＞0$时,式子$x^2+1+\frac{1}{x^2+1}≥2$成立吗?说明理由.
答案
(1) 当$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数有最小值，最小值为$2\sqrt{2}$，无最大值；
(2) 当$x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}$时，式子有最小值，最小值为$6+2\sqrt{2}$，无最大值；
(3) 成立，理由见解析。
(2) 当$x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}$时，式子有最小值，最小值为$6+2\sqrt{2}$，无最大值；
(3) 成立，理由见解析。
解析
【分析】首先明确基本不等式的使用规则：需满足“一正（各项为正）、二定（和或积为定值）、三相等（等号成立条件存在）”。针对三个小问分别分析：
(1) 函数$y=2x+\frac{1}{x}$中$x＞0$，两项均为正，乘积为定值，符合基本不等式条件，通过等号成立条件求$x$得最值；
(2) 式子$2x+\frac{1}{x-3}$中$x＞3$，先拆分$2x$构造出两项乘积为定值的正数组合，再应用基本不等式；
(3) $x＞0$时$x^2+1＞0$，直接应用基本不等式，区分“不等式成立”与“等号成立”的差异。
【解析】
(1) 因为$x＞0$，所以$2x＞0$，$\frac{1}{x}＞0$，根据基本不等式：对正数$a,b$，有$a+b≥2\sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时等号成立。
令$a=2x$，$b=\frac{1}{x}$，则：
$2x+\frac{1}{x}≥2\sqrt{2x·\frac{1}{x}}=2\sqrt{2}$
当且仅当$2x=\frac{1}{x}$时等号成立，解方程$2x^2=1$，结合$x＞0$得$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
当$x\to+∞$时，$2x\to+∞$，故函数无最大值。
因此，当$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数有最小值$2\sqrt{2}$，无最大值。
(2) 因为$x＞3$，所以$x-3＞0$，将原式变形：
$2x+\frac{1}{x-3}=2(x-3)+6+\frac{1}{x-3}$
此时$2(x-3)＞0$，$\frac{1}{x-3}＞0$，且$2(x-3)·\frac{1}{x-3}=2$为定值，根据基本不等式：
$2(x-3)+\frac{1}{x-3}≥2\sqrt{2(x-3)·\frac{1}{x-3}}=2\sqrt{2}$
故$2x+\frac{1}{x-3}≥2\sqrt{2}+6$，当且仅当$2(x-3)=\frac{1}{x-3}$时等号成立，解方程$2(x-3)^2=1$，结合$x＞3$得$x-3=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}$。
当$x\to3^+$时，$\frac{1}{x-3}\to+∞$，故式子无最大值。
因此，当$x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}$时，式子有最小值$6+2\sqrt{2}$，无最大值。
(3) 成立，理由：因为$x＞0$，所以$x^2+1＞0$，根据基本不等式，对正数$a,b$，有$a+b≥2\sqrt{ab}$，令$a=x^2+1$，$b=\frac{1}{x^2+1}$，则：
$x^2+1+\frac{1}{x^2+1}≥2\sqrt{(x^2+1)·\frac{1}{x^2+1}}=2$
故式子成立（注：等号成立时$x=0$，不满足$x＞0$，但不等式本身对所有正数均成立）。
【答案】
(1) 当$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数有最小值$2\sqrt{2}$，无最大值；
(2) 当$x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}$时，式子有最小值$6+2\sqrt{2}$，无最大值；
(3) 成立，理由见解析。
【知识点】
基本不等式的应用，最值问题
【点评】
本题考查基本不等式的灵活应用，核心是掌握“一正二定三相等”的使用条件，第(2)问需拆分构造定值，第(3)问需区分不等式成立与等号成立的差异，是中等难度的常规题型。
【难度系数】
0.4
(1) 函数$y=2x+\frac{1}{x}$中$x＞0$，两项均为正，乘积为定值，符合基本不等式条件，通过等号成立条件求$x$得最值；
(2) 式子$2x+\frac{1}{x-3}$中$x＞3$，先拆分$2x$构造出两项乘积为定值的正数组合，再应用基本不等式；
(3) $x＞0$时$x^2+1＞0$，直接应用基本不等式，区分“不等式成立”与“等号成立”的差异。
【解析】
(1) 因为$x＞0$，所以$2x＞0$，$\frac{1}{x}＞0$，根据基本不等式：对正数$a,b$，有$a+b≥2\sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时等号成立。
令$a=2x$，$b=\frac{1}{x}$，则：
$2x+\frac{1}{x}≥2\sqrt{2x·\frac{1}{x}}=2\sqrt{2}$
当且仅当$2x=\frac{1}{x}$时等号成立，解方程$2x^2=1$，结合$x＞0$得$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
当$x\to+∞$时，$2x\to+∞$，故函数无最大值。
因此，当$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数有最小值$2\sqrt{2}$，无最大值。
(2) 因为$x＞3$，所以$x-3＞0$，将原式变形：
$2x+\frac{1}{x-3}=2(x-3)+6+\frac{1}{x-3}$
此时$2(x-3)＞0$，$\frac{1}{x-3}＞0$，且$2(x-3)·\frac{1}{x-3}=2$为定值，根据基本不等式：
$2(x-3)+\frac{1}{x-3}≥2\sqrt{2(x-3)·\frac{1}{x-3}}=2\sqrt{2}$
故$2x+\frac{1}{x-3}≥2\sqrt{2}+6$，当且仅当$2(x-3)=\frac{1}{x-3}$时等号成立，解方程$2(x-3)^2=1$，结合$x＞3$得$x-3=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}$。
当$x\to3^+$时，$\frac{1}{x-3}\to+∞$，故式子无最大值。
因此，当$x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}$时，式子有最小值$6+2\sqrt{2}$，无最大值。
(3) 成立，理由：因为$x＞0$，所以$x^2+1＞0$，根据基本不等式，对正数$a,b$，有$a+b≥2\sqrt{ab}$，令$a=x^2+1$，$b=\frac{1}{x^2+1}$，则：
$x^2+1+\frac{1}{x^2+1}≥2\sqrt{(x^2+1)·\frac{1}{x^2+1}}=2$
故式子成立（注：等号成立时$x=0$，不满足$x＞0$，但不等式本身对所有正数均成立）。
【答案】
(1) 当$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数有最小值$2\sqrt{2}$，无最大值；
(2) 当$x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}$时，式子有最小值$6+2\sqrt{2}$，无最大值；
(3) 成立，理由见解析。
【知识点】
基本不等式的应用，最值问题
【点评】
本题考查基本不等式的灵活应用，核心是掌握“一正二定三相等”的使用条件，第(2)问需拆分构造定值，第(3)问需区分不等式成立与等号成立的差异，是中等难度的常规题型。
【难度系数】
0.4
