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【例1】如图1，A，B为格点，在x轴作点D，使AD+BD最小。
答案
作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，与x轴的交点即为所求点D。
解析
【分析】
这是典型的同侧两点+直线上动点的最短路径问题，解题思路如下：首先观察到点A、B都在x轴的上方，若直接求AD+BD的最小值，无法直接利用线段最短的结论；我们可以利用轴对称的性质，将其中一个点对称到x轴的另一侧，保证对称轴（x轴）上的点到原对称点的距离始终相等，即可将AD+BD转化为另两条线段的和，再根据“两点之间线段最短”，连接转化后的点与另一个定点，和x轴的交点就是所求的点D，此时两条线段的和最小。
【解析】
1. 作点A关于x轴的对称点A'，根据轴对称的性质可知：x轴上任意一点D，都满足AD = A'D，因此AD + BD = A'D + BD；
2. 根据“两点之间线段最短”，当点D落在A'与B的连线上时，A'D + BD的长度最小，即AD + BD最小；
3. 因此连接A'B，A'B与x轴的交点就是满足条件的点D。
【答案】
作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，与x轴的交点即为所求点D。
【知识点】
轴对称的性质；两点之间线段最短；最短路径作图
【点评】
本题是基础的最短路径类作图题，核心解题思想是转化思想，通过轴对称将同侧两点的线段和问题转化为异侧两点的最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质和两点之间线段最短的结论是解题的关键。
【难度系数】
0.8
这是典型的同侧两点+直线上动点的最短路径问题，解题思路如下：首先观察到点A、B都在x轴的上方，若直接求AD+BD的最小值，无法直接利用线段最短的结论；我们可以利用轴对称的性质，将其中一个点对称到x轴的另一侧，保证对称轴（x轴）上的点到原对称点的距离始终相等，即可将AD+BD转化为另两条线段的和，再根据“两点之间线段最短”，连接转化后的点与另一个定点，和x轴的交点就是所求的点D，此时两条线段的和最小。
【解析】
1. 作点A关于x轴的对称点A'，根据轴对称的性质可知：x轴上任意一点D，都满足AD = A'D，因此AD + BD = A'D + BD；
2. 根据“两点之间线段最短”，当点D落在A'与B的连线上时，A'D + BD的长度最小，即AD + BD最小；
3. 因此连接A'B，A'B与x轴的交点就是满足条件的点D。
【答案】
作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，与x轴的交点即为所求点D。
【知识点】
轴对称的性质；两点之间线段最短；最短路径作图
【点评】
本题是基础的最短路径类作图题，核心解题思想是转化思想，通过轴对称将同侧两点的线段和问题转化为异侧两点的最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质和两点之间线段最短的结论是解题的关键。
【难度系数】
0.8
练习1.如图2，A,B,C,E为格点，在AC上作点F，使BF+EF最小。
答案
作点E关于AC的对称点E'，连接BE'，与AC的交点即为所求点F。
解析
【分析】
本题属于“两定一动”型的最短路径问题，动点F在定直线AC上，要使BF+EF的和最小，可通过轴对称转化线段求解：首先作定点E关于AC的对称点E'，根据轴对称的性质，AC上任意一点F到E和E'的距离相等，即EF=E'F，那么BF+EF就转化为BF+E'F；再根据两点之间线段最短，连接BE'，它与AC的交点就是使BF+E'F最小的点，也就是所求的F点。
【解析】
1. 作点E关于直线AC的对称点E'，由轴对称的性质可知，对于直线AC上的任意一点F，都有$EF = E'F$，因此$BF + EF = BF + E'F$。
2. 根据“两点之间，线段最短”的原理，要使$BF + E'F$的和最小，点F应在线段$BE'$上，因此线段$BE'$与直线AC的交点即为所求的点F，此时$BF + EF$取得最小值。
【答案】
作点E关于AC的对称点E'，连接BE'，与AC的交点即为所求点F。
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的经典基础题型，核心考查“两定一动”型最短路径的构造方法，通过轴对称实现线段的等量转化，将折线和的最小值问题转化为两点间线段长的问题，熟练掌握该模型即可快速解决同类题目。
【难度系数】
0.8
本题属于“两定一动”型的最短路径问题，动点F在定直线AC上，要使BF+EF的和最小，可通过轴对称转化线段求解：首先作定点E关于AC的对称点E'，根据轴对称的性质，AC上任意一点F到E和E'的距离相等，即EF=E'F，那么BF+EF就转化为BF+E'F；再根据两点之间线段最短，连接BE'，它与AC的交点就是使BF+E'F最小的点，也就是所求的F点。
【解析】
1. 作点E关于直线AC的对称点E'，由轴对称的性质可知，对于直线AC上的任意一点F，都有$EF = E'F$，因此$BF + EF = BF + E'F$。
2. 根据“两点之间，线段最短”的原理，要使$BF + E'F$的和最小，点F应在线段$BE'$上，因此线段$BE'$与直线AC的交点即为所求的点F，此时$BF + EF$取得最小值。
【答案】
作点E关于AC的对称点E'，连接BE'，与AC的交点即为所求点F。
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的经典基础题型，核心考查“两定一动”型最短路径的构造方法，通过轴对称实现线段的等量转化，将折线和的最小值问题转化为两点间线段长的问题，熟练掌握该模型即可快速解决同类题目。
【难度系数】
0.8
练习2.如图3，A，B，C，D为格点，在AB上找点P，使∠APD=∠BPC.
答案
作点D关于AB的对称点，连接该对称点与点C，与AB的交点即为所求点P，此时∠APD=∠BPC。
解析
【分析】
要在AB上找点P使∠APD=∠BPC，我们可以借助轴对称的性质转化角的关系：首先，若作出点D关于AB的对称点，根据轴对称的性质，AB上任意一点P到D和其对称点的连线与AB的夹角相等，即∠APD和对称后对应的角相等。此时要满足∠APD=∠BPC，只需让对称后得到的角与∠BPC相等即可，当对称点、P、C三点共线时，这两个角为对顶角，天然相等，因此连接对称点与C，和AB的交点就是所求的P点。
【解析】
1. 作点D关于直线AB的对称点D'，根据轴对称的性质，对于AB上任意一点P，都有∠APD=∠APD'。
2. 连接D'C，设线段D'C与AB的交点为P，此时∠APD'与∠BPC是对顶角，根据对顶角相等的性质，可得∠APD'=∠BPC。
3. 结合∠APD=∠APD'，可推导出∠APD=∠BPC，该点P即为满足要求的点。
【答案】
作点D关于AB的对称点，连接该对称点与点C，与AB的交点即为所求点P，此时∠APD=∠BPC。
【知识点】
轴对称的性质，对顶角相等，作对称点
【点评】
本题是利用轴对称转化角的典型题型，通过轴对称将分散的等角关系转化为对顶角相等的关系，进而转化为三点共线问题求解，解题核心是灵活运用轴对称对应角相等的性质实现角的转化。
【难度系数】
0.6
要在AB上找点P使∠APD=∠BPC，我们可以借助轴对称的性质转化角的关系：首先，若作出点D关于AB的对称点，根据轴对称的性质，AB上任意一点P到D和其对称点的连线与AB的夹角相等，即∠APD和对称后对应的角相等。此时要满足∠APD=∠BPC，只需让对称后得到的角与∠BPC相等即可，当对称点、P、C三点共线时，这两个角为对顶角，天然相等，因此连接对称点与C，和AB的交点就是所求的P点。
【解析】
1. 作点D关于直线AB的对称点D'，根据轴对称的性质，对于AB上任意一点P，都有∠APD=∠APD'。
2. 连接D'C，设线段D'C与AB的交点为P，此时∠APD'与∠BPC是对顶角，根据对顶角相等的性质，可得∠APD'=∠BPC。
3. 结合∠APD=∠APD'，可推导出∠APD=∠BPC，该点P即为满足要求的点。
【答案】
作点D关于AB的对称点，连接该对称点与点C，与AB的交点即为所求点P，此时∠APD=∠BPC。
【知识点】
轴对称的性质，对顶角相等，作对称点
【点评】
本题是利用轴对称转化角的典型题型，通过轴对称将分散的等角关系转化为对顶角相等的关系，进而转化为三点共线问题求解，解题核心是灵活运用轴对称对应角相等的性质实现角的转化。
【难度系数】
0.6
【例2】如图4，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC上一点，AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为
30°
。答案
30°
提示:连接 BE 交 AD 于点 F,连接 CF,知 CF 为角平分线.
提示:连接 BE 交 AD 于点 F,连接 CF,知 CF 为角平分线.
解析
【分析】
本题是最短路径类的典型题型，解题可按两步推导：第一步构造对称转化线段，找到EF+CF取最小值的点F的位置；第二步结合等边三角形的性质计算角度。首先，等边三角形的中线同时是对应边的垂直平分线，因此AD是BC的垂直平分线，AD上任意一点到B、C两点的距离相等，即CF=BF，可将EF+CF转化为EF+BF。根据两点之间线段最短，当B、F、E三点共线时，EF+BF的和最小，也就是EF+CF取得最小值。接下来推导角度：已知AC边长为4，AE=2，可知E是AC的中点，等边三角形中中线与内角平分线重合，因此BE、AD都是△ABC的角平分线，等边三角形的三条角平分线交于同一点，因此CF也平分∠ACB，即可求出∠ECF的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC，∠ACB=60°，
∴点C与点B关于AD对称，对AD上的任意点F，均有CF=BF，
∴EF+CF = EF+BF，
根据两点之间线段最短，当B、F、E三点共线时，EF+BF的值最小，即此时EF+CF取得最小值。
∵AC=4，AE=2，
∴E是AC的中点，
∵△ABC是等边三角形，
∴BE是∠ABC的角平分线（等边三角形三线合一），
又
∵AD是∠BAC的角平分线，等边三角形的三条角平分线交于一点，
∴CF平分∠ACB，
∴∠ECF = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$×60° = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题核心考查几何中的最短路径构造思路，解题关键是利用对称将两条线段的和转化为共线时的最短距离，再结合等边三角形三线合一的性质求解角度，是兼顾转化思想和基础性质应用的经典题型。
【难度系数】
0.6
本题是最短路径类的典型题型，解题可按两步推导：第一步构造对称转化线段，找到EF+CF取最小值的点F的位置；第二步结合等边三角形的性质计算角度。首先，等边三角形的中线同时是对应边的垂直平分线，因此AD是BC的垂直平分线，AD上任意一点到B、C两点的距离相等，即CF=BF，可将EF+CF转化为EF+BF。根据两点之间线段最短，当B、F、E三点共线时，EF+BF的和最小，也就是EF+CF取得最小值。接下来推导角度：已知AC边长为4，AE=2，可知E是AC的中点，等边三角形中中线与内角平分线重合，因此BE、AD都是△ABC的角平分线，等边三角形的三条角平分线交于同一点，因此CF也平分∠ACB，即可求出∠ECF的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC，∠ACB=60°，
∴点C与点B关于AD对称，对AD上的任意点F，均有CF=BF，
∴EF+CF = EF+BF，
根据两点之间线段最短，当B、F、E三点共线时，EF+BF的值最小，即此时EF+CF取得最小值。
∵AC=4，AE=2，
∴E是AC的中点，
∵△ABC是等边三角形，
∴BE是∠ABC的角平分线（等边三角形三线合一），
又
∵AD是∠BAC的角平分线，等边三角形的三条角平分线交于一点，
∴CF平分∠ACB，
∴∠ECF = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$×60° = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题核心考查几何中的最短路径构造思路，解题关键是利用对称将两条线段的和转化为共线时的最短距离，再结合等边三角形三线合一的性质求解角度，是兼顾转化思想和基础性质应用的经典题型。
【难度系数】
0.6
练习1.如图5,在$△ ABC$中,$AB=3,AC=4$,EF垂直平分BC,点P为直线EF上的任一点,则$AP+BP$的最小值是
4
.答案
4
提示:AP+BP 最小值为AC 的长.
提示:AP+BP 最小值为AC 的长.
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：EF垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质可推得BP=CP，由此可将待求的AP+BP转化为AP+CP。要使两条线段的和最小，依据两点之间线段最短的原理，当A、P、C三点共线时，AP+CP的和最小，此时和的长度等于AC的长度，代入数值即可得到结果。
【解析】
∵EF垂直平分BC，
∴点B与点C关于直线EF对称，根据线段垂直平分线的性质，对任意在EF上的点P，均有BP=CP。
∴AP+BP = AP+CP。
根据两点之间线段最短，当点P为直线EF与线段AC的交点时，AP+CP取得最小值，最小值为线段AC的长度。
已知AC=4，故AP+BP的最小值是4。
【答案】
4
【知识点】
线段垂直平分线的性质；两点之间线段最短；最短路径问题
【点评】
本题是最短路径的常规考法，核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量转换，将陌生的线段和最小值问题转化为两点之间距离的问题，需要熟练掌握这类转化思想来解决同类最短路径问题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：EF垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质可推得BP=CP，由此可将待求的AP+BP转化为AP+CP。要使两条线段的和最小，依据两点之间线段最短的原理，当A、P、C三点共线时，AP+CP的和最小，此时和的长度等于AC的长度，代入数值即可得到结果。
【解析】
∵EF垂直平分BC，
∴点B与点C关于直线EF对称，根据线段垂直平分线的性质，对任意在EF上的点P，均有BP=CP。
∴AP+BP = AP+CP。
根据两点之间线段最短，当点P为直线EF与线段AC的交点时，AP+CP取得最小值，最小值为线段AC的长度。
已知AC=4，故AP+BP的最小值是4。
【答案】
4
【知识点】
线段垂直平分线的性质；两点之间线段最短；最短路径问题
【点评】
本题是最短路径的常规考法，核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量转换，将陌生的线段和最小值问题转化为两点之间距离的问题，需要熟练掌握这类转化思想来解决同类最短路径问题。
【难度系数】
0.7
练习2.如图6，△ABC中，AC=8，AB=10，△ABC的面积为30，AD平分∠BAC，F，E分别为AC，AD上两动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为
6
。答案
6
解析
【分析】
本题属于角平分线背景下的最短路径问题，解题核心是利用角平分线的轴对称性转化线段。首先AD是∠BAC的角平分线，因此AB与AC关于AD对称，我们可以将AC上的动点F对称到AB上的点F'，根据轴对称性质可得EF=EF'，此时CE+EF就转化为CE+EF'。要使两条线段的和最小，结合“两点之间线段最短”和“垂线段最短”，当C、E、F'三点共线且连线为点C到AB的垂线段时，和取得最小值，该最小值就是点C到AB的垂线段长度，我们可通过三角形面积公式求出这个长度。
【解析】
1. 求点C到AB的垂线段长度：过点C作CH⊥AB于点H，已知△ABC的面积为30，AB=10，根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CH$，代入数值可得$\frac{1}{2}×10× CH=30$，解得$CH=6$。
2. 利用角平分线的轴对称性转化线段：因为AD平分∠BAC，所以AB和AC关于AD对称，在AB上取点F'，使F'是点F关于AD的对称点，由轴对称的性质可知$EF=EF'$，因此$CE+EF=CE+EF'$。
3. 确定最小值：根据两点之间线段最短，$CE+EF'≥ CF'$；再根据垂线段最短，点C到AB的所有连线中，垂线段CH最短，即$CF'≥ CH=6$。当且仅当F'与H重合，且E为CH与AD的交点时，等号成立，因此CE+EF的最小值为6。
【答案】
6
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，三角形面积计算
【点评】
本题是轴对称在最值问题中的典型应用，解题关键是通过角平分线的轴对称性将折线和转化为可求的垂线段长度，既考查了对几何性质的灵活运用，也体现了转化思想在几何最值问题中的重要作用。
【难度系数】
0.6
本题属于角平分线背景下的最短路径问题，解题核心是利用角平分线的轴对称性转化线段。首先AD是∠BAC的角平分线，因此AB与AC关于AD对称，我们可以将AC上的动点F对称到AB上的点F'，根据轴对称性质可得EF=EF'，此时CE+EF就转化为CE+EF'。要使两条线段的和最小，结合“两点之间线段最短”和“垂线段最短”，当C、E、F'三点共线且连线为点C到AB的垂线段时，和取得最小值，该最小值就是点C到AB的垂线段长度，我们可通过三角形面积公式求出这个长度。
【解析】
1. 求点C到AB的垂线段长度：过点C作CH⊥AB于点H，已知△ABC的面积为30，AB=10，根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CH$，代入数值可得$\frac{1}{2}×10× CH=30$，解得$CH=6$。
2. 利用角平分线的轴对称性转化线段：因为AD平分∠BAC，所以AB和AC关于AD对称，在AB上取点F'，使F'是点F关于AD的对称点，由轴对称的性质可知$EF=EF'$，因此$CE+EF=CE+EF'$。
3. 确定最小值：根据两点之间线段最短，$CE+EF'≥ CF'$；再根据垂线段最短，点C到AB的所有连线中，垂线段CH最短，即$CF'≥ CH=6$。当且仅当F'与H重合，且E为CH与AD的交点时，等号成立，因此CE+EF的最小值为6。
【答案】
6
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，三角形面积计算
【点评】
本题是轴对称在最值问题中的典型应用，解题关键是通过角平分线的轴对称性将折线和转化为可求的垂线段长度，既考查了对几何性质的灵活运用，也体现了转化思想在几何最值问题中的重要作用。
【难度系数】
0.6
【例3】(教材P95任务1变式)如图7，$∠ AOB=30°$，点P为$∠ AOB$内一点，$OP=10$，点M，N分别在OA，OB上，求$△ PMN$周长的最小值。
答案
解:分别作点 P 关于OA,OB 的对称点$P_1,P_2$,连$P_1P_2$,交OA于M,交OB于N，
$△ PMN$的周长$=P_1P_2$，
$\therefore P_1P_2=OP_1=OP_2=OP=10.$
解析
【分析】
要解决△PMN周长的最小值问题，周长为PM+PN+MN，直接求折线段和的难度较大，可利用轴对称的性质转化线段：①分别作点P关于OA、OB的对称点P₁、P₂，根据轴对称性质，OA上任意点M满足PM=P₁M，OB上任意点N满足PN=P₂N，因此周长可转化为P₁M+MN+P₂N；②根据“两点之间线段最短”，当M、N为P₁P₂与OA、OB的交点时，P₁M+MN+P₂N的最小值等于P₁P₂的长度；③再结合已知条件推导△P₁OP₂的形状，计算P₁P₂的长度即可得到周长最小值。
【解析】
解：分别作点P关于OA的对称点P₁，关于OB的对称点P₂，连接P₁P₂，交OA于点M，交OB于点N，此时△PMN的周长最小。
由轴对称的性质可得：
$PM=P_1M$，$PN=P_2N$，$OP_1=OP=OP_2=10$，
$∠P_1OA=∠POA$，$∠P_2OB=∠POB$，
$\therefore ∠P_1OP_2=∠P_1OA+∠AOB+∠P_2OB=∠POA+∠AOB+∠POB=2∠AOB$，
已知$∠AOB=30°$，$\therefore ∠P_1OP_2=2×30°=60°$，
$\therefore △P_1OP_2$是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
$\therefore P_1P_2=OP_1=10$，
此时$△ PMN$的周长$=PM+MN+PN=P_1M+MN+P_2N=P_1P_2=10$，
即$△ PMN$周长的最小值为10。
【答案】
10
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是最短路径的典型题型，核心是通过轴对称变换将折线段的和转化为两点之间的线段长度，结合角度与边的关系即可求解，掌握轴对称的转化思想是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
要解决△PMN周长的最小值问题，周长为PM+PN+MN，直接求折线段和的难度较大，可利用轴对称的性质转化线段：①分别作点P关于OA、OB的对称点P₁、P₂，根据轴对称性质，OA上任意点M满足PM=P₁M，OB上任意点N满足PN=P₂N，因此周长可转化为P₁M+MN+P₂N；②根据“两点之间线段最短”，当M、N为P₁P₂与OA、OB的交点时，P₁M+MN+P₂N的最小值等于P₁P₂的长度；③再结合已知条件推导△P₁OP₂的形状，计算P₁P₂的长度即可得到周长最小值。
【解析】
解：分别作点P关于OA的对称点P₁，关于OB的对称点P₂，连接P₁P₂，交OA于点M，交OB于点N，此时△PMN的周长最小。
由轴对称的性质可得：
$PM=P_1M$，$PN=P_2N$，$OP_1=OP=OP_2=10$，
$∠P_1OA=∠POA$，$∠P_2OB=∠POB$，
$\therefore ∠P_1OP_2=∠P_1OA+∠AOB+∠P_2OB=∠POA+∠AOB+∠POB=2∠AOB$，
已知$∠AOB=30°$，$\therefore ∠P_1OP_2=2×30°=60°$，
$\therefore △P_1OP_2$是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
$\therefore P_1P_2=OP_1=10$，
此时$△ PMN$的周长$=PM+MN+PN=P_1M+MN+P_2N=P_1P_2=10$，
即$△ PMN$周长的最小值为10。
【答案】
10
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是最短路径的典型题型，核心是通过轴对称变换将折线段的和转化为两点之间的线段长度，结合角度与边的关系即可求解，掌握轴对称的转化思想是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
练习1.如图8，点P为∠AOB内一点，M，N在OA，OB上，∠AOB＝α，当△PMN周长最小时，则∠MPN＝
180°−2α
。答案
$180°-2α$
解:作点 P 关于OA,OB 对称点$P_1,P_2$,连接$P_1P_2$交OA,OB于点M,N，
$\therefore OP_1=OP=OP_2$，
$PM=MP_1,PN=P_2N$，
$\therefore ∠ MPN =∠ OP_1M+∠ OP_2N$
$=180°-∠ P_1OP_2$
$=180°-2α.$
解析
【分析】
要解决△PMN周长最小的问题，首先需要利用轴对称的性质将折线段转化为直线路径：作点P关于OA、OB的对称点，把PM、PN分别替换为对称点到M、N的距离，根据两点之间线段最短，即可确定M、N的位置；再结合轴对称的角度相等性质，利用三角形内角和定理推导∠MPN的度数。
【解析】
作点P关于OA、OB的对称点$P_1$、$P_2$，连接$P_1P_2$交OA、OB于点M、N，此时△PMN的周长最小。
根据轴对称性质：$OP_1=OP=OP_2$，$PM=MP_1$，$PN=P_2N$，$∠ P_1OA=∠ POA$，$∠ P_2OB=∠ POB$，$∠ OP_1M=∠ OPM$，$∠ OP_2N=∠ OPN$。
因此$∠ P_1OP_2=∠ P_1OA+∠ AOB+∠ P_2OB=2(∠ POA+∠ POB)=2∠ AOB=2α$。
在$△ P_1OP_2$中，由三角形内角和得：$∠ OP_1M+∠ OP_2N=180°-∠ P_1OP_2=180°-2α$。
所以$∠ MPN=∠ OPM+∠ OPN=∠ OP_1M+∠ OP_2N=180°-2α$。
【答案】
$180°-2α$
解:作点 P 关于OA,OB 对称点$P_1,P_2$,连接$P_1P_2$交OA,OB于点M,N，
$\therefore OP_1=OP=OP_2$，
$PM=MP_1,PN=P_2N$，
$\therefore ∠ MPN =∠ OP_1M+∠ OP_2N$
$=180°-∠ P_1OP_2$
$=180°-2α.$
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是最短路径的典型题型，核心解题思路是通过轴对称转化折线段，将周长最小问题转化为两点之间线段最短问题，同时需要结合轴对称的角度性质推导所求角，考察学生的几何转化思想和推理能力。
【难度系数】
0.6
要解决△PMN周长最小的问题，首先需要利用轴对称的性质将折线段转化为直线路径：作点P关于OA、OB的对称点，把PM、PN分别替换为对称点到M、N的距离，根据两点之间线段最短，即可确定M、N的位置；再结合轴对称的角度相等性质，利用三角形内角和定理推导∠MPN的度数。
【解析】
作点P关于OA、OB的对称点$P_1$、$P_2$，连接$P_1P_2$交OA、OB于点M、N，此时△PMN的周长最小。
根据轴对称性质：$OP_1=OP=OP_2$，$PM=MP_1$，$PN=P_2N$，$∠ P_1OA=∠ POA$，$∠ P_2OB=∠ POB$，$∠ OP_1M=∠ OPM$，$∠ OP_2N=∠ OPN$。
因此$∠ P_1OP_2=∠ P_1OA+∠ AOB+∠ P_2OB=2(∠ POA+∠ POB)=2∠ AOB=2α$。
在$△ P_1OP_2$中，由三角形内角和得：$∠ OP_1M+∠ OP_2N=180°-∠ P_1OP_2=180°-2α$。
所以$∠ MPN=∠ OPM+∠ OPN=∠ OP_1M+∠ OP_2N=180°-2α$。
【答案】
$180°-2α$
解:作点 P 关于OA,OB 对称点$P_1,P_2$,连接$P_1P_2$交OA,OB于点M,N，
$\therefore OP_1=OP=OP_2$，
$PM=MP_1,PN=P_2N$，
$\therefore ∠ MPN =∠ OP_1M+∠ OP_2N$
$=180°-∠ P_1OP_2$
$=180°-2α.$
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是最短路径的典型题型，核心解题思路是通过轴对称转化折线段，将周长最小问题转化为两点之间线段最短问题，同时需要结合轴对称的角度性质推导所求角，考察学生的几何转化思想和推理能力。
【难度系数】
0.6
