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练习2.(教材P95任务2变式)如图9,A,B,C,D,E为格点,在AB,AC上分别作点M,N,使四边形MNED周长最小. 
答案
提示:作点 D 关于AB 对称点 D',作点 E 关于AC 对称点 E',连接 D'E'交AB,AC 于点M,N,则点 M,N为所求.
解析
【分析】
要使四边形MNED周长最小，首先分析周长的组成：周长=DM+MN+NE+ED，其中D、E为定点，故ED长度是固定值，因此只需让DM+MN+NE的和最小即可。对于分别在AB、AC上的动点M、N，这类折线段和最小的问题可通过轴对称变换转化：将分散的折线段利用轴对称性质转化为共线的路径，结合“两点之间线段最短”的原理即可找到最优的点M、N。
【解析】
1. 分析周长定值部分：四边形MNED的周长为$DM+MN+NE+ED$，由于点D、E是固定格点，线段$ED$的长度为定值，因此要让周长最小，只需满足$DM+MN+NE$的和最小。
2. 轴对称变换转化线段：作点$D$关于直线$AB$的对称点$D'$，根据轴对称的性质，对$AB$上任意一点$M$，都有$DM=D'M$；再作点$E$关于直线$AC$的对称点$E'$，同理，对$AC$上任意一点$N$，都有$NE=NE'$。
3. 确定最小路径：此时$DM+MN+NE=D'M+MN+NE'$，根据“两点之间线段最短”，当点$M$、$N$恰好落在$D'E'$上时，$D'M+MN+NE'$的和最小，等于线段$D'E'$的长度。
4. 确定所求点：连接$D'E'$，与$AB$的交点即为所求点$M$，与$AC$的交点即为所求点$N$，此时四边形MNED的周长最小。
【答案】
提示:作点 D 关于AB 对称点 D',作点 E 关于AC 对称点 E',连接 D'E'交AB,AC 于点M,N,则点 M,N为所求.
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的典型变式题，核心解题思路是通过轴对称变换把折线段的和转化为两点之间的线段长度，利用线段公理求解，掌握对称转化的思想是解决这类最短路径问题的关键。
【难度系数】
0.6
要使四边形MNED周长最小，首先分析周长的组成：周长=DM+MN+NE+ED，其中D、E为定点，故ED长度是固定值，因此只需让DM+MN+NE的和最小即可。对于分别在AB、AC上的动点M、N，这类折线段和最小的问题可通过轴对称变换转化：将分散的折线段利用轴对称性质转化为共线的路径，结合“两点之间线段最短”的原理即可找到最优的点M、N。
【解析】
1. 分析周长定值部分：四边形MNED的周长为$DM+MN+NE+ED$，由于点D、E是固定格点，线段$ED$的长度为定值，因此要让周长最小，只需满足$DM+MN+NE$的和最小。
2. 轴对称变换转化线段：作点$D$关于直线$AB$的对称点$D'$，根据轴对称的性质，对$AB$上任意一点$M$，都有$DM=D'M$；再作点$E$关于直线$AC$的对称点$E'$，同理，对$AC$上任意一点$N$，都有$NE=NE'$。
3. 确定最小路径：此时$DM+MN+NE=D'M+MN+NE'$，根据“两点之间线段最短”，当点$M$、$N$恰好落在$D'E'$上时，$D'M+MN+NE'$的和最小，等于线段$D'E'$的长度。
4. 确定所求点：连接$D'E'$，与$AB$的交点即为所求点$M$，与$AC$的交点即为所求点$N$，此时四边形MNED的周长最小。
【答案】
提示:作点 D 关于AB 对称点 D',作点 E 关于AC 对称点 E',连接 D'E'交AB,AC 于点M,N,则点 M,N为所求.
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的典型变式题，核心解题思路是通过轴对称变换把折线段的和转化为两点之间的线段长度，利用线段公理求解，掌握对称转化的思想是解决这类最短路径问题的关键。
【难度系数】
0.6
练习3.在图10中，A，B，C，D，P，Q为格点，在CD，BC上分别作点M，N使四边形PMNQ周长最小。
答案
作点P关于CD的对称点，作点Q关于BC的对称点，连接两个对称点，与CD、BC的交点即为所求的M、N，此时四边形PMNQ周长最小。
解析
【分析】
要使四边形PMNQ的周长最小，首先观察周长组成：周长=PM+MN+NQ+PQ，其中P、Q为定点，因此PQ是固定值，只需保证PM+MN+NQ的和最小即可。结合最短路径问题的常用解法，可利用轴对称的性质，将PM、NQ转化为对称轴另一侧的等长线段，把三条线段的和转化为两点之间的路径，再根据“两点之间线段最短”找到最短路径，即可确定M、N的位置。
【解析】
1. 分析周长的定值部分：四边形PMNQ的周长为$PM+MN+NQ+PQ$，由于P、Q是固定格点，因此PQ的长度为定值，要使周长最小，只需使$PM+MN+NQ$的和最小。
2. 作对称点转化线段：根据轴对称的性质，作点P关于直线CD的对称点$P'$，此时对CD上任意一点M，都有$PM=P'M$；作点Q关于直线BC的对称点$Q'$，此时对BC上任意一点N，都有$NQ=NQ'$。
3. 确定最短路径：因此$PM+MN+NQ=P'M+MN+NQ'$，根据“两点之间线段最短”，当M、N恰好落在$P'Q'$的连线上时，$P'M+MN+NQ'$的和最小，最小值为线段$P'Q'$的长度。
4. 确定所求点：连接$P'Q'$，$P'Q'$与CD的交点即为点M，与BC的交点即为点N，此时四边形PMNQ的周长最小。
【答案】
作点P关于CD的对称点，作点Q关于BC的对称点，连接两个对称点，与CD、BC的交点即为所求的M、N，此时四边形PMNQ周长最小。
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的经典应用题型，解题核心是通过轴对称将分散的折线段转化为共线的线段，将折线和的最小值问题转化为两点之间线段最短的问题，有助于培养学生的转化思想和几何作图能力。
【难度系数】
0.7
要使四边形PMNQ的周长最小，首先观察周长组成：周长=PM+MN+NQ+PQ，其中P、Q为定点，因此PQ是固定值，只需保证PM+MN+NQ的和最小即可。结合最短路径问题的常用解法，可利用轴对称的性质，将PM、NQ转化为对称轴另一侧的等长线段，把三条线段的和转化为两点之间的路径，再根据“两点之间线段最短”找到最短路径，即可确定M、N的位置。
【解析】
1. 分析周长的定值部分：四边形PMNQ的周长为$PM+MN+NQ+PQ$，由于P、Q是固定格点，因此PQ的长度为定值，要使周长最小，只需使$PM+MN+NQ$的和最小。
2. 作对称点转化线段：根据轴对称的性质，作点P关于直线CD的对称点$P'$，此时对CD上任意一点M，都有$PM=P'M$；作点Q关于直线BC的对称点$Q'$，此时对BC上任意一点N，都有$NQ=NQ'$。
3. 确定最短路径：因此$PM+MN+NQ=P'M+MN+NQ'$，根据“两点之间线段最短”，当M、N恰好落在$P'Q'$的连线上时，$P'M+MN+NQ'$的和最小，最小值为线段$P'Q'$的长度。
4. 确定所求点：连接$P'Q'$，$P'Q'$与CD的交点即为点M，与BC的交点即为点N，此时四边形PMNQ的周长最小。
【答案】
作点P关于CD的对称点，作点Q关于BC的对称点，连接两个对称点，与CD、BC的交点即为所求的M、N，此时四边形PMNQ周长最小。
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的经典应用题型，解题核心是通过轴对称将分散的折线段转化为共线的线段，将折线和的最小值问题转化为两点之间线段最短的问题，有助于培养学生的转化思想和几何作图能力。
【难度系数】
0.7
【例4】(教材P96任务1变式)如图11，直线$ l_1 // l_2 $，A，B为两定点，M，N分别在直线$ l_1 $，$ l_2 $上，且$ MN ⊥ l_2 $，请确定M，N的位置，使$ AM + MN + BN $最小。
答案
将点A沿垂直于$l_1$的方向向下平移MN的长度得到点$A_1$，连接$A_1B$，交$l_2$于点N，过点N作$NM⊥ l_2$，交$l_1$于点M，则M、N即为所求，此时$AM+MN+BN$最小。
解析
【分析】
要使$AM + MN + BN$最小，首先观察到$l_1 // l_2$且$MN ⊥ l_2$，因此$MN$的长度是两平行线间的固定距离，问题可转化为求$AM+BN$的最小值。接下来通过平移变换转化线段：将点A沿垂直于$l_1$向下的方向平移$MN$的长度得到点$A_1$，由平移性质可得$AM=A_1N$，此时$AM+BN$转化为$A_1N+BN$，根据两点之间线段最短，当$A_1$、$N$、$B$三点共线时$A_1N+BN$最小，即可确定N的位置，再作垂线得到M点。
【解析】
1. 确定定值：因为$l_1 // l_2$，$MN ⊥ l_2$，所以$MN$的长度等于$l_1$与$l_2$的间距，是固定值，因此求$AM+MN+BN$的最小值等价于求$AM+BN$的最小值。
2. 平移转化线段：将点A沿垂直于$l_1$向下的方向平移$MN$的长度，得到点$A_1$，根据平移的性质，四边形$AMNA_1$为平行四边形，因此$AM=A_1N$，即$AM+BN=A_1N+BN$。
3. 确定点的位置：根据两点之间线段最短，连接$A_1B$，$A_1B$与$l_2$的交点即为N点；过N作$NM ⊥ l_2$，交$l_1$于M点，此时M、N即为所求位置。
【答案】
将点A沿垂直于$l_1$的方向向下平移MN的长度得到点$A_1$，连接$A_1B$，交$l_2$于点N，过点N作$NM⊥ l_2$，交$l_1$于点M，则M、N即为所求，此时$AM+MN+BN$最小。
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是带定长线段的最短路径典型题，解题核心是先排除定长线段的干扰，通过平移将两条分散的动线段转化为共端点的线段，再利用两点之间线段最短的原理求解，平移转化的思路在这类夹平行线的最短路径问题中适用性很强。
【难度系数】
0.6
要使$AM + MN + BN$最小，首先观察到$l_1 // l_2$且$MN ⊥ l_2$，因此$MN$的长度是两平行线间的固定距离，问题可转化为求$AM+BN$的最小值。接下来通过平移变换转化线段：将点A沿垂直于$l_1$向下的方向平移$MN$的长度得到点$A_1$，由平移性质可得$AM=A_1N$，此时$AM+BN$转化为$A_1N+BN$，根据两点之间线段最短，当$A_1$、$N$、$B$三点共线时$A_1N+BN$最小，即可确定N的位置，再作垂线得到M点。
【解析】
1. 确定定值：因为$l_1 // l_2$，$MN ⊥ l_2$，所以$MN$的长度等于$l_1$与$l_2$的间距，是固定值，因此求$AM+MN+BN$的最小值等价于求$AM+BN$的最小值。
2. 平移转化线段：将点A沿垂直于$l_1$向下的方向平移$MN$的长度，得到点$A_1$，根据平移的性质，四边形$AMNA_1$为平行四边形，因此$AM=A_1N$，即$AM+BN=A_1N+BN$。
3. 确定点的位置：根据两点之间线段最短，连接$A_1B$，$A_1B$与$l_2$的交点即为N点；过N作$NM ⊥ l_2$，交$l_1$于M点，此时M、N即为所求位置。
【答案】
将点A沿垂直于$l_1$的方向向下平移MN的长度得到点$A_1$，连接$A_1B$，交$l_2$于点N，过点N作$NM⊥ l_2$，交$l_1$于点M，则M、N即为所求，此时$AM+MN+BN$最小。
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是带定长线段的最短路径典型题，解题核心是先排除定长线段的干扰，通过平移将两条分散的动线段转化为共端点的线段，再利用两点之间线段最短的原理求解，平移转化的思路在这类夹平行线的最短路径问题中适用性很强。
【难度系数】
0.6
练习.如图12,A,B为格点,M,N在直线l上,MN=2,在l上作点M,N,使AM+MN+BN值最小.
答案
将点A向右平移2个单位长度，作点B关于直线l的对称点B'，连接平移后的点与B'，交直线l于点N，在l上取MN=2得到点M，此时AM+MN+BN最小。
解析
【分析】
要解决AM+MN+BN最小的问题，首先观察到MN是长度为2的定值，因此只需保证AM+BN的和最小即可。接下来我们可以利用平移的性质，将点A沿直线l的方向（与MN同向）平移2个单位长度，此时AM的长度就等于平移后得到的点到点N的长度，将AM+BN转化为两条共端点N的线段之和。再结合轴对称的性质，作点B关于直线l的对称点B'，把BN转化为B'N，此时问题就转化为求平移后的点到B'的最短路径，根据“两点之间线段最短”，连接两点与直线l的交点即为N点，再根据MN=2确定M点的位置即可。
【解析】
1. 由于MN=2是固定长度，因此要使AM+MN+BN最小，仅需使AM+BN的和最小；
2. 将点A向右平移2个单位长度，得到点A₁，由平移的性质可知四边形AMNA₁是平行四边形，因此AM=A₁N；
3. 作点B关于直线l的对称点B'，根据轴对称的性质可得BN=B'N；
4. 此时AM+BN = A₁N + B'N，根据两点之间线段最短，连接A₁B'，与直线l的交点即为所求的点N；
5. 在直线l上点N的左侧截取MN=2，即可得到点M，此时AM+MN+BN的值最小。
【答案】
将点A向右平移2个单位长度，作点B关于直线l的对称点B'，连接平移后的点与B'，交直线l于点N，在l上取MN=2得到点M，此时AM+MN+BN最小。
【知识点】
最短路径问题，平移的性质，轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径问题的常见变形，核心思路是先剥离固定长度的线段，再通过平移、轴对称的性质将分散的动态线段转化为共端点的线段和，最终利用“两点之间线段最短”求解，解题时需注意平移的方向、长度要与定长线段保持一致。
【难度系数】
0.6
要解决AM+MN+BN最小的问题，首先观察到MN是长度为2的定值，因此只需保证AM+BN的和最小即可。接下来我们可以利用平移的性质，将点A沿直线l的方向（与MN同向）平移2个单位长度，此时AM的长度就等于平移后得到的点到点N的长度，将AM+BN转化为两条共端点N的线段之和。再结合轴对称的性质，作点B关于直线l的对称点B'，把BN转化为B'N，此时问题就转化为求平移后的点到B'的最短路径，根据“两点之间线段最短”，连接两点与直线l的交点即为N点，再根据MN=2确定M点的位置即可。
【解析】
1. 由于MN=2是固定长度，因此要使AM+MN+BN最小，仅需使AM+BN的和最小；
2. 将点A向右平移2个单位长度，得到点A₁，由平移的性质可知四边形AMNA₁是平行四边形，因此AM=A₁N；
3. 作点B关于直线l的对称点B'，根据轴对称的性质可得BN=B'N；
4. 此时AM+BN = A₁N + B'N，根据两点之间线段最短，连接A₁B'，与直线l的交点即为所求的点N；
5. 在直线l上点N的左侧截取MN=2，即可得到点M，此时AM+MN+BN的值最小。
【答案】
将点A向右平移2个单位长度，作点B关于直线l的对称点B'，连接平移后的点与B'，交直线l于点N，在l上取MN=2得到点M，此时AM+MN+BN最小。
【知识点】
最短路径问题，平移的性质，轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径问题的常见变形，核心思路是先剥离固定长度的线段，再通过平移、轴对称的性质将分散的动态线段转化为共端点的线段和，最终利用“两点之间线段最短”求解，解题时需注意平移的方向、长度要与定长线段保持一致。
【难度系数】
0.6
【例5】(教材P95任务2变式)如图13，牧马从草地A处出发，先到河边P处饮水，再回到草地，牧马最后回到马棚B处，请画出最短路径图。
答案
提示:作点 B 关于AC 对称点 B',作点 A 关于HQ 对称点 A',连接 B'A'交草地与河边于点 Q,P,则点 Q,P为所求.
解析
【分析】
我们需要找到从A出发，先到河边HQ上的点P饮水，再到草地边界上的点Q，最终到B的最短路径，即要让$AP+PQ+QB$的总长度最小。根据轴对称的性质，对称点到直线上任意一点的距离相等，因此可以通过作对称点，将$AP$转化为A关于HQ的对称点$A'$到P的距离$A'P$，将$QB$转化为B关于AC的对称点$B'$到Q的距离$QB'$，此时总路径长度等价于$A'P+PQ+QB'$。根据“两点之间线段最短”，当$A'$、P、Q、$B'$四点共线时，总长度最小，因此连接两个对称点，与两条边界的交点就是所求的P、Q点。
【解析】
1. 作点A关于河边所在直线$HQ$的对称点$A'$；
2. 作点B关于草地边缘所在直线$AC$的对称点$B'$；
3. 连接$A'B'$，线段$A'B'$与直线$HQ$交于点P，与直线$AC$交于点Q；
4. 依次连接A、P、Q、B，所得路径$A\to P\to Q\to B$即为最短路径。
【答案】
提示:作点 B 关于AC 对称点 B',作点 A 关于HQ 对称点 A',连接 B'A'交草地与河边于点 Q,P,则点 Q,P为所求.
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，最短路径作图
【点评】
本题是最短路径的典型变式题，将单边界将军饮马问题拓展为双边界场景，解题核心是通过轴对称变换把折线路径“拉直”，结合线段最短公理得到最优解，熟练掌握对称点的作图方法是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.6
我们需要找到从A出发，先到河边HQ上的点P饮水，再到草地边界上的点Q，最终到B的最短路径，即要让$AP+PQ+QB$的总长度最小。根据轴对称的性质，对称点到直线上任意一点的距离相等，因此可以通过作对称点，将$AP$转化为A关于HQ的对称点$A'$到P的距离$A'P$，将$QB$转化为B关于AC的对称点$B'$到Q的距离$QB'$，此时总路径长度等价于$A'P+PQ+QB'$。根据“两点之间线段最短”，当$A'$、P、Q、$B'$四点共线时，总长度最小，因此连接两个对称点，与两条边界的交点就是所求的P、Q点。
【解析】
1. 作点A关于河边所在直线$HQ$的对称点$A'$；
2. 作点B关于草地边缘所在直线$AC$的对称点$B'$；
3. 连接$A'B'$，线段$A'B'$与直线$HQ$交于点P，与直线$AC$交于点Q；
4. 依次连接A、P、Q、B，所得路径$A\to P\to Q\to B$即为最短路径。
【答案】
提示:作点 B 关于AC 对称点 B',作点 A 关于HQ 对称点 A',连接 B'A'交草地与河边于点 Q,P,则点 Q,P为所求.
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，最短路径作图
【点评】
本题是最短路径的典型变式题，将单边界将军饮马问题拓展为双边界场景，解题核心是通过轴对称变换把折线路径“拉直”，结合线段最短公理得到最优解，熟练掌握对称点的作图方法是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.6
练习.(教材 P95 任务 3)如图14，牧民每天从生活区的边沿A处出发，先到草地B地牧马，再到河边C处饮马，然后回到A处，确定A，B，C位置，使路程最短，画出线路图。
答案
提示:点 A 在 NP 上作点 A 关于 MN 对称点 A'，
作点 A 关于 MP 对称点 A''，
连接 A'A''交 MN 与 MP 于 B,C，
$AB+BC+AC=A'A''$，
$\because ∠ A'MA''=2∠ NMP$，
且 $MA=MA'=MA''$，
故要使 A'A''最小,只需 A'M 最小即可,即 MA 最小即可，
由垂线段最短,得当 $MA⊥ NP$ 时最小.
解析
【分析】
本题属于含多个动点的最短路径问题，解题思路可分两步梳理：①先明确对于任意固定的点A，要使AB+BC+AC最短，需用轴对称变换将折线路径转化为直线段：因为点B在MN上、点C在MP上，作A关于MN的对称点A'，可得AB=A'B；作A关于MP的对称点A''，可得AC=A''C，因此总路程AB+BC+AC可转化为A'B+BC+A''C，根据两点之间线段最短，当B、C落在A'A''连线上时，该和最小，等于A'A''的长度。②再确定点A的位置：由轴对称性质可知MA=MA'=MA''，且∠A'MA''=2∠NMP为定值，因此△A'MA''是顶角固定的等腰三角形，腰长越短底边A'A''越短，要让A'A''最短则需MA最短，根据垂线段最短，过M作NP的垂线，垂足就是使MA最短的点A。
【解析】
步骤1：确定点A的位置：过点M作NP的垂线，垂足即为点A，根据垂线段最短，此时MA的长度最小。
步骤2：作对称点：分别作点A关于直线MN的对称点A'，关于直线MP的对称点A''，由轴对称的性质可得：AB=A'B，AC=A''C，且MA=MA'=MA''，∠A'MA''=2∠NMP。
步骤3：确定B、C的位置：连接A'A''，分别交MN于点B、交MP于点C，此时总路程AB+BC+AC=A'B+BC+A''C=A'A''，根据两点之间线段最短，此时总路程取最小值。
步骤4：连接AB、AC，得到的路径A→B→C→A即为最短路径。
【答案】
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；垂线段最短
【点评】
本题是最短路径的典型实际应用题，解题核心是通过轴对称变换将折线路径转化为可直接判断长短的直线段，再结合垂线段最短确定起点位置，充分体现了数学中的转化思想，能有效考查学生对几何基本性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.4
本题属于含多个动点的最短路径问题，解题思路可分两步梳理：①先明确对于任意固定的点A，要使AB+BC+AC最短，需用轴对称变换将折线路径转化为直线段：因为点B在MN上、点C在MP上，作A关于MN的对称点A'，可得AB=A'B；作A关于MP的对称点A''，可得AC=A''C，因此总路程AB+BC+AC可转化为A'B+BC+A''C，根据两点之间线段最短，当B、C落在A'A''连线上时，该和最小，等于A'A''的长度。②再确定点A的位置：由轴对称性质可知MA=MA'=MA''，且∠A'MA''=2∠NMP为定值，因此△A'MA''是顶角固定的等腰三角形，腰长越短底边A'A''越短，要让A'A''最短则需MA最短，根据垂线段最短，过M作NP的垂线，垂足就是使MA最短的点A。
【解析】
步骤1：确定点A的位置：过点M作NP的垂线，垂足即为点A，根据垂线段最短，此时MA的长度最小。
步骤2：作对称点：分别作点A关于直线MN的对称点A'，关于直线MP的对称点A''，由轴对称的性质可得：AB=A'B，AC=A''C，且MA=MA'=MA''，∠A'MA''=2∠NMP。
步骤3：确定B、C的位置：连接A'A''，分别交MN于点B、交MP于点C，此时总路程AB+BC+AC=A'B+BC+A''C=A'A''，根据两点之间线段最短，此时总路程取最小值。
步骤4：连接AB、AC，得到的路径A→B→C→A即为最短路径。
【答案】
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；垂线段最短
【点评】
本题是最短路径的典型实际应用题，解题核心是通过轴对称变换将折线路径转化为可直接判断长短的直线段，再结合垂线段最短确定起点位置，充分体现了数学中的转化思想，能有效考查学生对几何基本性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.4
