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【典例1】如图，在等边$△ ABC$中，点$D$为$BC$边的中点，点$E$在$AB$的延长线上，$AD=DE$，$ED$的延长线交$AC$于点$F$，求$\frac{CF}{AC}$的值。
答案
在△ABC 中，
∵CD=BD,
∴∠DAB=30°,
又
∵AD=DE,
∴∠E=30°,
而∠DBA=60°,
∴∠CDF=∠BDE=30°,
∴DF⊥CF,
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{4}$AC,
即$\frac{CF}{AC}=\frac{1}{4}$.
∵CD=BD,
∴∠DAB=30°,
又
∵AD=DE,
∴∠E=30°,
而∠DBA=60°,
∴∠CDF=∠BDE=30°,
∴DF⊥CF,
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{4}$AC,
即$\frac{CF}{AC}=\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
解题时先从已知的等边三角形和中点条件入手，利用等边三角形“三线合一”的性质得出∠DAB的度数；再结合AD=DE的等腰三角形条件，由等边对等角得到∠E的度数；随后通过三角形外角性质、对顶角相等推导得出△CDF中∠CDF的度数，进而判断△CDF是含30°角的直角三角形；最后利用30°角所对直角边是斜边一半的性质，逐步推导CF和AC的长度关系，即可求出比值。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°，
∵D为BC边的中点，根据等边三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
又
∵AD=DE，即△ADE为等腰三角形，
∴∠E=∠DAB=30°，
∵∠ABC是△BDE的外角，
∴∠ABC=∠E+∠BDE，代入数值得60°=30°+∠BDE，解得∠BDE=30°，
∵∠CDF与∠BDE是对顶角，
∴∠CDF=∠BDE=30°，
在△CDF中，∠C=60°，∠CDF=30°，
∴∠CFD=180°-∠C-∠CDF=90°，即△CDF为直角三角形，
在Rt△CDF中，∠CDF=30°，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD，
又
∵D是BC中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AC，
∴CF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{4}$AC，
∴$\frac{CF}{AC}$=$\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查特殊三角形的性质应用，解题的核心是通过角度推导构造出含30°角的直角三角形，进而得到线段间的比例关系，熟练掌握特殊三角形的角度、边长性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等边三角形和中点条件入手，利用等边三角形“三线合一”的性质得出∠DAB的度数；再结合AD=DE的等腰三角形条件，由等边对等角得到∠E的度数；随后通过三角形外角性质、对顶角相等推导得出△CDF中∠CDF的度数，进而判断△CDF是含30°角的直角三角形；最后利用30°角所对直角边是斜边一半的性质，逐步推导CF和AC的长度关系，即可求出比值。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°，
∵D为BC边的中点，根据等边三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
又
∵AD=DE，即△ADE为等腰三角形，
∴∠E=∠DAB=30°，
∵∠ABC是△BDE的外角，
∴∠ABC=∠E+∠BDE，代入数值得60°=30°+∠BDE，解得∠BDE=30°，
∵∠CDF与∠BDE是对顶角，
∴∠CDF=∠BDE=30°，
在△CDF中，∠C=60°，∠CDF=30°，
∴∠CFD=180°-∠C-∠CDF=90°，即△CDF为直角三角形，
在Rt△CDF中，∠CDF=30°，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD，
又
∵D是BC中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AC，
∴CF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{4}$AC，
∴$\frac{CF}{AC}$=$\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查特殊三角形的性质应用，解题的核心是通过角度推导构造出含30°角的直角三角形，进而得到线段间的比例关系，熟练掌握特殊三角形的角度、边长性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
【典例2】如图，四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长。
答案
延长 AD,BC 交于 E,构造 30°的直角△ABE，
∵∠A=30°,
∴∠E=60°,
∴△CDE 为等边三角形，
设CD=x，
∴CE=x,BE=x+1,
在△ABE 中，
$x+1=\frac{1}{2}(x+4)$,
∴x=2,
∴CD=2.
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，已知∠A=30°、∠B为直角，可联想含30°角的直角三角形的特殊性质，但现有图形不存在符合要求的直角三角形，因此考虑通过作辅助线构造特殊三角形：延长AD、BC交于点E，即可得到Rt△ABE。接着结合已知∠ADC=120°，可推导出△CDE为等边三角形，将CD转化为CE、DE，再设未知数，利用30°直角三角形的边长关系列方程即可求解CD的长度。
【解析】
解：延长AD，BC交于E，构造含30°角的直角△ABE，
∵在Rt△ABE中，∠A=30°，∠B=90°，
∴∠E=90°-∠A=60°，
∵∠ADC=120°，
∴∠CDE=180°-∠ADC=60°，
∴△CDE中，∠E=∠CDE=60°，即△CDE为等边三角形，
∴CD=CE=DE，
设CD=x，则CE=DE=x，
∴AE=AD+DE=4+x，BE=BC+CE=1+x，
在Rt△ABE中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即$BE=\frac{1}{2}AE$，
代入得：$x+1=\frac{1}{2}(x+4)$，
解得：x=2，
∴CD=2。
【答案】
CD的长为2。
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形性质
2. 等边三角形的判定
3. 几何辅助线构造
【点评】
本题是利用特殊角度构造三角形求解线段长度的典型题目，核心是运用转化思想，通过延长边将不规则四边形的问题转化为特殊三角形的问题，结合方程思想即可快速求解，熟练掌握特殊三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察已知条件，已知∠A=30°、∠B为直角，可联想含30°角的直角三角形的特殊性质，但现有图形不存在符合要求的直角三角形，因此考虑通过作辅助线构造特殊三角形：延长AD、BC交于点E，即可得到Rt△ABE。接着结合已知∠ADC=120°，可推导出△CDE为等边三角形，将CD转化为CE、DE，再设未知数，利用30°直角三角形的边长关系列方程即可求解CD的长度。
【解析】
解：延长AD，BC交于E，构造含30°角的直角△ABE，
∵在Rt△ABE中，∠A=30°，∠B=90°，
∴∠E=90°-∠A=60°，
∵∠ADC=120°，
∴∠CDE=180°-∠ADC=60°，
∴△CDE中，∠E=∠CDE=60°，即△CDE为等边三角形，
∴CD=CE=DE，
设CD=x，则CE=DE=x，
∴AE=AD+DE=4+x，BE=BC+CE=1+x，
在Rt△ABE中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即$BE=\frac{1}{2}AE$，
代入得：$x+1=\frac{1}{2}(x+4)$，
解得：x=2，
∴CD=2。
【答案】
CD的长为2。
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形性质
2. 等边三角形的判定
3. 几何辅助线构造
【点评】
本题是利用特殊角度构造三角形求解线段长度的典型题目，核心是运用转化思想，通过延长边将不规则四边形的问题转化为特殊三角形的问题，结合方程思想即可快速求解，熟练掌握特殊三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
变式.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°,若BE=6,DE=2,求BC的长.
答案
延长 AD 交 BC 于 H,延长 ED 交 BC 于 F，
∴△BEF 为等边三角形，
∴BF=6,DF=4,HF=2,
又
∵AD 平分∠BAC,AB=AC,
∴BH=CH=4,
∴BC=8.
解析
【分析】
解题时首先观察到已知∠EBC=∠E=60°，联想到有两个角为60°的三角形是等边三角形，因此考虑延长ED交BC于F，构造等边△BEF；再结合AB=AC，AD平分∠BAC，根据等腰三角形三线合一的性质，延长AD交BC于H，可得AH⊥BC且BH=CH；接下来利用等边三角形的边长求出DF的长度，再在Rt△DHF中利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出HF的长度，进而求出BH的长度，最终得到BC的长度。
【解析】
解：延长AD交BC于H，延长ED交BC于F，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴BF=EF=BE=6，
∵DE=2，
∴DF=EF-DE=6-2=4，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，BH=CH（等腰三角形三线合一），即∠DHF=90°，
在Rt△DHF中，∠DFH=60°，
∴∠HDF=90°-60°=30°，
∴HF=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴BH=BF-HF=6-2=4，
∴BC=2BH=2×4=8。
【答案】
BC的长为8。
【知识点】
等边三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何计算类典型题，解题的核心是通过合理构造辅助线，将已知角度和边长条件转化到特殊三角形中求解，既考查了特殊三角形的性质应用，也锻炼了几何辅助线的构造思维。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察到已知∠EBC=∠E=60°，联想到有两个角为60°的三角形是等边三角形，因此考虑延长ED交BC于F，构造等边△BEF；再结合AB=AC，AD平分∠BAC，根据等腰三角形三线合一的性质，延长AD交BC于H，可得AH⊥BC且BH=CH；接下来利用等边三角形的边长求出DF的长度，再在Rt△DHF中利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出HF的长度，进而求出BH的长度，最终得到BC的长度。
【解析】
解：延长AD交BC于H，延长ED交BC于F，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴BF=EF=BE=6，
∵DE=2，
∴DF=EF-DE=6-2=4，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，BH=CH（等腰三角形三线合一），即∠DHF=90°，
在Rt△DHF中，∠DFH=60°，
∴∠HDF=90°-60°=30°，
∴HF=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴BH=BF-HF=6-2=4，
∴BC=2BH=2×4=8。
【答案】
BC的长为8。
【知识点】
等边三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何计算类典型题，解题的核心是通过合理构造辅助线，将已知角度和边长条件转化到特殊三角形中求解，既考查了特殊三角形的性质应用，也锻炼了几何辅助线的构造思维。
【难度系数】
0.6
【典例3】如图，$△ ABC$中，$BD$是$AC$边上的中线，$BD⊥ BC$，$∠ ABD=30°$，求证：$AB=2BC$.
答案
过点 A 作 AM⊥BD 交 BD 的延长线于点 M，
在△ADM 和△CDB 中，
$\begin{cases}∠AMD=∠CBD,\\∠ADM=∠CDB,\\AD=CD,\end{cases}$
∴△ADM≌△CDB(AAS),
∴AM=BC,
在Rt△ABM 中，
∠ABD=30°,
AB=2AM=2BC.
解析
【分析】
要证明AB=2BC，结合已知∠ABD=30°，可联想到直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，因此需要构造包含AB的含30°角的直角三角形，同时将BC和该直角三角形的直角边建立关联。已知BD是AC的中线，即AD=CD，可过A作AM垂直BD的延长线，先证△ADM与△CDB全等，将BC转化为AM，再利用30°角的性质即可推导出AB和BC的数量关系。
【解析】
过点A作AM⊥BD，交BD的延长线于点M，
∵BD⊥BC，AM⊥BD，
∴∠AMD=∠CBD=90°，
∵BD是AC边上的中线，
∴AD=CD，
在△ADM和△CDB中：
$\begin{cases}∠AMD=∠CBD \\∠ADM=∠CDB（对顶角相等） \\AD=CD\end{cases}$
∴△ADM≌△CDB（AAS），可得AM=BC，
在Rt△ABM中，∠ABD=30°，
∴AB=2AM，代入AM=BC即可得AB=2BC。
【答案】
过点 A 作 AM⊥BD 交 BD 的延长线于点 M，
在△ADM 和△CDB 中，
$\begin{cases}∠AMD=∠CBD,\\∠ADM=∠CDB,\\AD=CD,\end{cases}$
∴△ADM≌△CDB(AAS),
∴AM=BC,
在Rt△ABM 中，
∠ABD=30°,
AB=2AM=2BC.
【知识点】
全等三角形判定与性质，直角三角形30°角性质，中线的定义
【点评】
本题是线段倍分关系证明的典型题型，解题核心是通过构造辅助线得到全等三角形，将分散的待证线段转化到同一个含30°角的直角三角形中，对辅助线构造的思维能力有一定锻炼意义。
【难度系数】
0.6
要证明AB=2BC，结合已知∠ABD=30°，可联想到直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，因此需要构造包含AB的含30°角的直角三角形，同时将BC和该直角三角形的直角边建立关联。已知BD是AC的中线，即AD=CD，可过A作AM垂直BD的延长线，先证△ADM与△CDB全等，将BC转化为AM，再利用30°角的性质即可推导出AB和BC的数量关系。
【解析】
过点A作AM⊥BD，交BD的延长线于点M，
∵BD⊥BC，AM⊥BD，
∴∠AMD=∠CBD=90°，
∵BD是AC边上的中线，
∴AD=CD，
在△ADM和△CDB中：
$\begin{cases}∠AMD=∠CBD \\∠ADM=∠CDB（对顶角相等） \\AD=CD\end{cases}$
∴△ADM≌△CDB（AAS），可得AM=BC，
在Rt△ABM中，∠ABD=30°，
∴AB=2AM，代入AM=BC即可得AB=2BC。
【答案】
过点 A 作 AM⊥BD 交 BD 的延长线于点 M，
在△ADM 和△CDB 中，
$\begin{cases}∠AMD=∠CBD,\\∠ADM=∠CDB,\\AD=CD,\end{cases}$
∴△ADM≌△CDB(AAS),
∴AM=BC,
在Rt△ABM 中，
∠ABD=30°,
AB=2AM=2BC.
【知识点】
全等三角形判定与性质，直角三角形30°角性质，中线的定义
【点评】
本题是线段倍分关系证明的典型题型，解题核心是通过构造辅助线得到全等三角形，将分散的待证线段转化到同一个含30°角的直角三角形中，对辅助线构造的思维能力有一定锻炼意义。
【难度系数】
0.6
变式.如图,在四边形 ABCD 中,∠B=90°,∠CAB=∠CAD=60°,点 E 在 AB 上,AE=3,BE=2,ED=EC,则 AD 的长度为
7
. 答案
过点 E 分别作 EM⊥AD,EN⊥AC,交直线 DA,AC 于点 M,N，
∵∠EAM=∠EAN=60°,
∴EM=EN,
∴AM=AN=1.5,
AC=2AB=10,
在Rt△EDM 和Rt△ECN 中，
$\begin{cases}ED=EC,\\EM=EN,\end{cases}$
∴Rt△EDM≌Rt△ECN(HL),
∴DM=CN=8.5,
∴AD=DM-AM=7.
解析
【分析】
本题首先观察到∠CAB=∠CAD=60°，可联想到角平分线的性质，因此考虑过点E向∠BAD的两边作垂线，得到两条相等的垂线段；再结合ED=EC的已知条件，可证明两个直角三角形全等，得到对应边相等；另外结合∠B=90°、∠CAB=60°的条件，可利用含30°角的直角三角形的性质求出AC的长度，再逐步计算各相关线段的长度，最终求出AD的长。
【解析】
过点E分别作EM⊥AD，EN⊥AC，交直线DA、AC于点M、N，
∵∠CAB=∠CAD=60°，即AE平分∠MAN，且EM⊥AD，EN⊥AC，
∴根据角平分线的性质得EM=EN。
在Rt△AEM中，∠EAM=60°，则∠AEM=30°，因此AM=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$×3=1.5，同理可得AN=1.5。
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=60°，则∠ACB=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得AC=2AB。
∵AB=AE+BE=3+2=5，
∴AC=2×5=10，因此CN=AC-AN=10-1.5=8.5。
在Rt△EDM和Rt△ECN中：
$\begin{cases}ED=EC\\EM=EN\end{cases}$
∴Rt△EDM≌Rt△ECN（HL），
∴DM=CN=8.5，
∴AD=DM-AM=8.5-1.5=7。
【答案】
7
【知识点】
角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，直角三角形全等的判定
【点评】
本题综合考查了多个几何基础性质的应用，解题的关键是结合已知条件合理构造辅助线，通过构造全等三角形和含特殊角的直角三角形，将已知线段和所求线段建立关联，有效锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
本题首先观察到∠CAB=∠CAD=60°，可联想到角平分线的性质，因此考虑过点E向∠BAD的两边作垂线，得到两条相等的垂线段；再结合ED=EC的已知条件，可证明两个直角三角形全等，得到对应边相等；另外结合∠B=90°、∠CAB=60°的条件，可利用含30°角的直角三角形的性质求出AC的长度，再逐步计算各相关线段的长度，最终求出AD的长。
【解析】
过点E分别作EM⊥AD，EN⊥AC，交直线DA、AC于点M、N，
∵∠CAB=∠CAD=60°，即AE平分∠MAN，且EM⊥AD，EN⊥AC，
∴根据角平分线的性质得EM=EN。
在Rt△AEM中，∠EAM=60°，则∠AEM=30°，因此AM=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$×3=1.5，同理可得AN=1.5。
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=60°，则∠ACB=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得AC=2AB。
∵AB=AE+BE=3+2=5，
∴AC=2×5=10，因此CN=AC-AN=10-1.5=8.5。
在Rt△EDM和Rt△ECN中：
$\begin{cases}ED=EC\\EM=EN\end{cases}$
∴Rt△EDM≌Rt△ECN（HL），
∴DM=CN=8.5，
∴AD=DM-AM=8.5-1.5=7。
【答案】
7
【知识点】
角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，直角三角形全等的判定
【点评】
本题综合考查了多个几何基础性质的应用，解题的关键是结合已知条件合理构造辅助线，通过构造全等三角形和含特殊角的直角三角形，将已知线段和所求线段建立关联，有效锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
