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21.如图,在矩形$ABCD$中,对角线$AC$与$BD$交于点$O$,点$E$在边$AD$上,且$AE=\frac{1}{3}ED$.若$AB=8,BC=10$,求$OE$的长.
答案
解:作OM⊥AD于点M(图略),
则∠OME=90°.
∵四边形ABCD是矩形,对角线AC与BD交于点O,AB=8,BC=10,
∴AD=BC=10,$OA=OC=\frac{1}{2}AC$,
$OB=OD=\frac{1}{2}BD$,
∴OA=OD,
∴$AM=DM=\frac{1}{2}AD=5$,
∴$OM=\frac{1}{2}AB=4$.
∵$AE=\frac{1}{3}ED=\frac{1}{3}(AD-AE)$,
∴$AE=\frac{1}{4}AD=\frac{1}{4}×10=\frac{5}{2}$,
∴$EM=AM-AE=5-\frac{5}{2}=\frac{5}{2}$,
∴$OE=\sqrt{OM^2+EM^2}=\sqrt{4^2+(\frac{5}{2})^2}=\frac{\sqrt{89}}{2}$,
∴OE的长是$\frac{\sqrt{89}}{2}$.
则∠OME=90°.
∵四边形ABCD是矩形,对角线AC与BD交于点O,AB=8,BC=10,
∴AD=BC=10,$OA=OC=\frac{1}{2}AC$,
$OB=OD=\frac{1}{2}BD$,
∴OA=OD,
∴$AM=DM=\frac{1}{2}AD=5$,
∴$OM=\frac{1}{2}AB=4$.
∵$AE=\frac{1}{3}ED=\frac{1}{3}(AD-AE)$,
∴$AE=\frac{1}{4}AD=\frac{1}{4}×10=\frac{5}{2}$,
∴$EM=AM-AE=5-\frac{5}{2}=\frac{5}{2}$,
∴$OE=\sqrt{OM^2+EM^2}=\sqrt{4^2+(\frac{5}{2})^2}=\frac{\sqrt{89}}{2}$,
∴OE的长是$\frac{\sqrt{89}}{2}$.
解析
【分析】
要求OE的长度，需构造直角三角形利用勾股定理求解。首先结合矩形对角线互相平分且相等的性质，过O作AD的垂线，可得垂足为AD中点，即可求出垂线段OM的长度和AM的长度；再根据AE与ED的比例关系求出AE的长度，进而得到EM的长度；最后在直角三角形OME中运用勾股定理就能求出OE的长。
【解析】
作$OM⊥ AD$于点M，则$∠ OME=90°$。
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD交于点O，$AB=8$，$BC=10$，
∴$AD=BC=10$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，且矩形对角线$AC=BD$，
∴$OA=OD$，即$△ OAD$是等腰三角形，
∴$AM=DM=\frac{1}{2}AD=5$，且$OM=\frac{1}{2}AB=4$。
∵$AE=\frac{1}{3}ED$，即$ED=3AE$，$AD=AE+ED=4AE$，
∴$AE=\frac{1}{4}AD=\frac{1}{4}×10=\frac{5}{2}$，
∴$EM=AM-AE=5-\frac{5}{2}=\frac{5}{2}$，
在$Rt△ OME$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OM^2+EM^2}=\sqrt{4^2+(\frac{5}{2})^2}=\sqrt{16+\frac{25}{4}}=\sqrt{\frac{89}{4}}=\frac{\sqrt{89}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{89}}{2}$
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，线段比例计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，将所求线段转化为直角三角形的边求解，需要熟练掌握矩形对角线的性质，能根据线段比例关系准确计算相关线段长度。
【难度系数】
0.7
要求OE的长度，需构造直角三角形利用勾股定理求解。首先结合矩形对角线互相平分且相等的性质，过O作AD的垂线，可得垂足为AD中点，即可求出垂线段OM的长度和AM的长度；再根据AE与ED的比例关系求出AE的长度，进而得到EM的长度；最后在直角三角形OME中运用勾股定理就能求出OE的长。
【解析】
作$OM⊥ AD$于点M，则$∠ OME=90°$。
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD交于点O，$AB=8$，$BC=10$，
∴$AD=BC=10$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，且矩形对角线$AC=BD$，
∴$OA=OD$，即$△ OAD$是等腰三角形，
∴$AM=DM=\frac{1}{2}AD=5$，且$OM=\frac{1}{2}AB=4$。
∵$AE=\frac{1}{3}ED$，即$ED=3AE$，$AD=AE+ED=4AE$，
∴$AE=\frac{1}{4}AD=\frac{1}{4}×10=\frac{5}{2}$，
∴$EM=AM-AE=5-\frac{5}{2}=\frac{5}{2}$，
在$Rt△ OME$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OM^2+EM^2}=\sqrt{4^2+(\frac{5}{2})^2}=\sqrt{16+\frac{25}{4}}=\sqrt{\frac{89}{4}}=\frac{\sqrt{89}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{89}}{2}$
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，线段比例计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，将所求线段转化为直角三角形的边求解，需要熟练掌握矩形对角线的性质，能根据线段比例关系准确计算相关线段长度。
【难度系数】
0.7
22.如图,在$□ ABCD$中,$AF=CE$,$FG⊥ AD$于$G$,$EH⊥ BC$于点$H$,求证:$GH$与$EF$互相平分.
答案
证明:如图,连接GE,FH.
∵在□ABCD中,AD//BC,
∴∠GAF=∠HCE.
在△AFG与△CEH中,
$\begin{cases}∠AGF=∠CHE=90°,\\∠GAF=∠HCE,\\AF=CE.\end{cases}$
∴△AFG≌△CHE(AAS),
∴∠AFG=∠CEH,FG=EH,
∴∠GFE=∠FEH,
∴FG//EH,
∴四边形GFHE是平行四边形,
∴GH与EF互相平分.
解析
【分析】
要证明GH与EF互相平分，可联想到平行四边形对角线互相平分的性质，因此只需证明GH、EF作为对角线的四边形GFHE是平行四边形即可。解题思路如下：首先作辅助线连接GE、FH，确定待证的平行四边形；再利用平行四边形AD//BC的性质得到对应角相等，结合已知的垂直条件、AF=CE的条件，用AAS证明△AFG≌△CEH，得到FG=EH；最后由全等得到的角相等推导FG与EH平行，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形GFHE是平行四边形，即可得到结论。
【解析】
证明:如图,连接GE,FH.
∵在$□ABCD$中,$AD//BC$,
∴$∠GAF=∠HCE$.
在$△ AFG$与$△ CEH$中,
$\begin{cases}∠AGF=∠CHE=90°,\\∠GAF=∠HCE,\\AF=CE.\end{cases}$
∴$△ AFG≌△ CHE(\mathrm{AAS})$,
∴$∠AFG=∠CEH$,$FG=EH$,
∴$∠GFE=∠FEH$,
∴$FG//EH$,
∴四边形$GFHE$是平行四边形,
∴$GH$与$EF$互相平分.
【答案】
证明:如图,连接GE,FH.
∵在$□ABCD$中,$AD//BC$,
∴$∠GAF=∠HCE$.
在$△ AFG$与$△ CEH$中,
$\begin{cases}∠AGF=∠CHE=90°,\\∠GAF=∠HCE,\\AF=CE.\end{cases}$
∴$△ AFG≌△ CHE(\mathrm{AAS})$,
∴$∠AFG=∠CEH$,$FG=EH$,
∴$∠GFE=∠FEH$,
∴$FG//EH$,
∴四边形$GFHE$是平行四边形,
∴$GH$与$EF$互相平分.
【知识点】
平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）、平行线的判定
【点评】
本题是平行四边形相关的典型证明题，核心解题思路是将“证明两条线段互相平分”转化为“证明两条线段为对角线的四边形是平行四边形”，既考察了基础的全等三角形证明，也考察了平行四边形性质和判定的灵活应用，掌握这类转化思路能有效提升几何证明题的解题效率。
【难度系数】
0.7
要证明GH与EF互相平分，可联想到平行四边形对角线互相平分的性质，因此只需证明GH、EF作为对角线的四边形GFHE是平行四边形即可。解题思路如下：首先作辅助线连接GE、FH，确定待证的平行四边形；再利用平行四边形AD//BC的性质得到对应角相等，结合已知的垂直条件、AF=CE的条件，用AAS证明△AFG≌△CEH，得到FG=EH；最后由全等得到的角相等推导FG与EH平行，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形GFHE是平行四边形，即可得到结论。
【解析】
证明:如图,连接GE,FH.
∵在$□ABCD$中,$AD//BC$,
∴$∠GAF=∠HCE$.
在$△ AFG$与$△ CEH$中,
$\begin{cases}∠AGF=∠CHE=90°,\\∠GAF=∠HCE,\\AF=CE.\end{cases}$
∴$△ AFG≌△ CHE(\mathrm{AAS})$,
∴$∠AFG=∠CEH$,$FG=EH$,
∴$∠GFE=∠FEH$,
∴$FG//EH$,
∴四边形$GFHE$是平行四边形,
∴$GH$与$EF$互相平分.
【答案】
证明:如图,连接GE,FH.
∵在$□ABCD$中,$AD//BC$,
∴$∠GAF=∠HCE$.
在$△ AFG$与$△ CEH$中,
$\begin{cases}∠AGF=∠CHE=90°,\\∠GAF=∠HCE,\\AF=CE.\end{cases}$
∴$△ AFG≌△ CHE(\mathrm{AAS})$,
∴$∠AFG=∠CEH$,$FG=EH$,
∴$∠GFE=∠FEH$,
∴$FG//EH$,
∴四边形$GFHE$是平行四边形,
∴$GH$与$EF$互相平分.
【知识点】
平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）、平行线的判定
【点评】
本题是平行四边形相关的典型证明题，核心解题思路是将“证明两条线段互相平分”转化为“证明两条线段为对角线的四边形是平行四边形”，既考察了基础的全等三角形证明，也考察了平行四边形性质和判定的灵活应用，掌握这类转化思路能有效提升几何证明题的解题效率。
【难度系数】
0.7
