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23.如图,在$△ ABC$中,AD是$△ ABC$的角平分线,AD的垂直平分线分别交AB,AD,AC于点E,O,F,连接DE,DF.
(1)求证:四边形AEDF是菱形.
(2)若$∠ BAC=30°$,$∠ C=45°$,$DE=12$,求CF的长.
(1)求证:四边形AEDF是菱形.
(2)若$∠ BAC=30°$,$∠ C=45°$,$DE=12$,求CF的长.
答案
(1)证明:
∵EF垂直平分线段AD,
∴AE=DE,AF=DF,
∴∠EAD=∠EDA.
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠DAC,
∴∠EDA=∠DAC,
∴DE//AC,
同理可得,DF//AE,
∴四边形AEDF是平行四边形.
∵AE=DE,
∴四边形AEDF是菱形.
(2)解:过点D作DH⊥CF于点H.
∵四边形AEDF是菱形,
∴DF=DE=12,DF//AB,
∴∠DFC=∠BAC=30°,
∴$DH=\frac{1}{2}DF=6$,$FH=\frac{\sqrt{3}}{2}DF=6\sqrt{3}$.
∵∠C=45°,
∴∠HDC=90°-45°=45°=∠C,
∴DH=CH=6,
∴$CF=FH+CH=6\sqrt{3}+6$.
解析
【分析】
(1) 证明菱形可先证平行四边形再证邻边相等：首先利用垂直平分线的性质得到AE=DE、AF=DF，结合角平分线的性质推出内错角相等，进而得到两组对边分别平行，判定四边形为平行四边形，再结合邻边相等即可得证菱形。
(2) 求CF长度可构造直角三角形求解：过D作DH⊥AC，先根据菱形性质得到DF的长度及DF与AB的平行关系，推出∠DFC的度数，利用30°直角三角形的性质求出DH和FH的长度，再结合∠C=45°得到△DHC为等腰直角三角形，求出CH的长度，将FH与CH相加即可得到CF的长。
【解析】
(1)证明:
∵EF垂直平分线段AD,
∴AE=DE,AF=DF,
∴∠EAD=∠EDA.
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠DAC,
∴∠EDA=∠DAC,
∴DE//AC,
同理可得,DF//AE,
∴四边形AEDF是平行四边形.
∵AE=DE,
∴四边形AEDF是菱形.
(2)解:过点D作DH⊥CF于点H.
∵四边形AEDF是菱形,
∴DF=DE=12,DF//AB,
∴∠DFC=∠BAC=30°,
∴$DH=\frac{1}{2}DF=6$,$FH=\frac{\sqrt{3}}{2}DF=6\sqrt{3}$.
∵∠C=45°,
∴∠HDC=90°-45°=45°=∠C,
∴DH=CH=6,
∴$CF=FH+CH=6\sqrt{3}+6$.
【答案】
(1) 四边形AEDF是菱形，证明如上；
(2) CF的长为$6\sqrt{3}+6$，辅助线图：
【知识点】
菱形的判定与性质；垂直平分线的性质；特殊直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合类基础题，第一问侧重考查逻辑推理能力，需要结合多种线段、角的性质推导平行关系；第二问考查辅助线构造和特殊直角三角形的边长计算，是初中几何的常见考查形式，能有效检验对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 证明菱形可先证平行四边形再证邻边相等：首先利用垂直平分线的性质得到AE=DE、AF=DF，结合角平分线的性质推出内错角相等，进而得到两组对边分别平行，判定四边形为平行四边形，再结合邻边相等即可得证菱形。
(2) 求CF长度可构造直角三角形求解：过D作DH⊥AC，先根据菱形性质得到DF的长度及DF与AB的平行关系，推出∠DFC的度数，利用30°直角三角形的性质求出DH和FH的长度，再结合∠C=45°得到△DHC为等腰直角三角形，求出CH的长度，将FH与CH相加即可得到CF的长。
【解析】
(1)证明:
∵EF垂直平分线段AD,
∴AE=DE,AF=DF,
∴∠EAD=∠EDA.
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠DAC,
∴∠EDA=∠DAC,
∴DE//AC,
同理可得,DF//AE,
∴四边形AEDF是平行四边形.
∵AE=DE,
∴四边形AEDF是菱形.
(2)解:过点D作DH⊥CF于点H.
∵四边形AEDF是菱形,
∴DF=DE=12,DF//AB,
∴∠DFC=∠BAC=30°,
∴$DH=\frac{1}{2}DF=6$,$FH=\frac{\sqrt{3}}{2}DF=6\sqrt{3}$.
∵∠C=45°,
∴∠HDC=90°-45°=45°=∠C,
∴DH=CH=6,
∴$CF=FH+CH=6\sqrt{3}+6$.
【答案】
(1) 四边形AEDF是菱形，证明如上；
(2) CF的长为$6\sqrt{3}+6$，辅助线图：
【知识点】
菱形的判定与性质；垂直平分线的性质；特殊直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合类基础题，第一问侧重考查逻辑推理能力，需要结合多种线段、角的性质推导平行关系；第二问考查辅助线构造和特殊直角三角形的边长计算，是初中几何的常见考查形式，能有效检验对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
24. 如图，把矩形ABCD沿AE折叠后，点D恰与BC边上的点F重合.若AB=8，BC=10，求EC的长. 
答案
解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=90°,AD=BC=10,CD=AB=8.
∵△ADE折叠后得到△AFE,
∴AD=AF=10,DE=EF.
设EC=x,
则DE=EF=CD-EC=8-x.
∵在Rt△ABF中,$AB^2+BF^2=AF^2$,
∴$8^2+BF^2=10^2$,
∴BF=6,
∴FC=BC-BF=4,
∵在Rt△EFC中,$EC^2+CF^2=EF^2$,
∴$x^2+4^2=(8-x)^2$.
解得x=3,
∴EC的长为3.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=90°,AD=BC=10,CD=AB=8.
∵△ADE折叠后得到△AFE,
∴AD=AF=10,DE=EF.
设EC=x,
则DE=EF=CD-EC=8-x.
∵在Rt△ABF中,$AB^2+BF^2=AF^2$,
∴$8^2+BF^2=10^2$,
∴BF=6,
∴FC=BC-BF=4,
∵在Rt△EFC中,$EC^2+CF^2=EF^2$,
∴$x^2+4^2=(8-x)^2$.
解得x=3,
∴EC的长为3.
解析
【分析】
这是矩形折叠类的几何计算题，解题思路可按以下步骤梳理：首先利用矩形的性质得到边的长度和内角为直角的条件；再根据折叠的性质，明确折叠前后对应边相等，即AF=AD、EF=DE；接下来先在Rt△ABF中用勾股定理算出BF的长度，进一步得到FC的长度；最后设EC的长为未知数，用含未知数的式子表示EF的长度，在Rt△EFC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=90°,AD=BC=10,CD=AB=8.
∵△ADE沿AE折叠后得到△AFE,
∴AD=AF=10,DE=EF.
设EC=x,
则DE=EF=CD-EC=8-x.
∵在Rt△ABF中，$AB^2+BF^2=AF^2$,
∴$8^2+BF^2=10^2$,
解得BF=6,
∴FC=BC-BF=10-6=4,
∵在Rt△EFC中，$EC^2+CF^2=EF^2$,
∴$x^2+4^2=(8-x)^2$,
解得x=3.
【答案】
EC的长为3
【知识点】
矩形的性质、折叠的性质、勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，核心是利用折叠前后图形对应边相等的性质，结合勾股定理构造方程求解线段长度，是初中几何的高频考点，掌握几何性质结合方程思想的解题思路即可举一反三。
【难度系数】
0.7
这是矩形折叠类的几何计算题，解题思路可按以下步骤梳理：首先利用矩形的性质得到边的长度和内角为直角的条件；再根据折叠的性质，明确折叠前后对应边相等，即AF=AD、EF=DE；接下来先在Rt△ABF中用勾股定理算出BF的长度，进一步得到FC的长度；最后设EC的长为未知数，用含未知数的式子表示EF的长度，在Rt△EFC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=90°,AD=BC=10,CD=AB=8.
∵△ADE沿AE折叠后得到△AFE,
∴AD=AF=10,DE=EF.
设EC=x,
则DE=EF=CD-EC=8-x.
∵在Rt△ABF中，$AB^2+BF^2=AF^2$,
∴$8^2+BF^2=10^2$,
解得BF=6,
∴FC=BC-BF=10-6=4,
∵在Rt△EFC中，$EC^2+CF^2=EF^2$,
∴$x^2+4^2=(8-x)^2$,
解得x=3.
【答案】
EC的长为3
【知识点】
矩形的性质、折叠的性质、勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，核心是利用折叠前后图形对应边相等的性质，结合勾股定理构造方程求解线段长度，是初中几何的高频考点，掌握几何性质结合方程思想的解题思路即可举一反三。
【难度系数】
0.7
