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19. 【阅读材料】
“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的思想方法.如图①，数轴上的点A表示的数为a，点B表示的数为b，且$(a+4)^2 + |b - 8| = 0$，C是线段AB的中点.
(1)点C表示的数是
(2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达点A时，P、Q两动点同时停止运动，设运动的时间为t秒.
①点P、Q表示的数分别为
②在P、Q两点运动的过程中，若$PC=2QC$，求运动时间t的值；
【类比迁移】
(3)我们发现角的很多运算方法和线段运算方法一样，如图②，已知$∠ AOB = 120°$，OC平分$∠ AOB$，射线OP从OA出发，以每秒$1°$的速度顺时针旋转，射线OQ从OB出发，以每秒$2°$的速度逆时针旋转，射线OP、OQ同时旋转，当射线OQ到达OA时，射线OP、OQ同时停止旋转.设旋转时间为t秒，在旋转过程中，存在某一时刻，使得$∠ POC = 2∠ QOC$，求旋转时间t的值.
“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的思想方法.如图①，数轴上的点A表示的数为a，点B表示的数为b，且$(a+4)^2 + |b - 8| = 0$，C是线段AB的中点.
(1)点C表示的数是
2
；(2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达点A时，P、Q两动点同时停止运动，设运动的时间为t秒.
①点P、Q表示的数分别为
$-4+t$
，$8-2t$
（用含t的代数式表示）；②在P、Q两点运动的过程中，若$PC=2QC$，求运动时间t的值；
【类比迁移】
(3)我们发现角的很多运算方法和线段运算方法一样，如图②，已知$∠ AOB = 120°$，OC平分$∠ AOB$，射线OP从OA出发，以每秒$1°$的速度顺时针旋转，射线OQ从OB出发，以每秒$2°$的速度逆时针旋转，射线OP、OQ同时旋转，当射线OQ到达OA时，射线OP、OQ同时停止旋转.设旋转时间为t秒，在旋转过程中，存在某一时刻，使得$∠ POC = 2∠ QOC$，求旋转时间t的值.
答案
19. (1)2
(2)①$-4+t$ $8-2t$
②$t=2$ 或 $t=\dfrac{18}{5}$
(3)由条件可知$∠ AOC = ∠ BOC = \dfrac{1}{2}∠ AOB=60°$，
由题意可得$∠ AOP = t°$，$∠ BOQ = 2t°$，$0≤ t≤60$
$\therefore ∠ POC = | 60° - t° |$，$∠ QOC = | 60° - 2t° |$.
当$∠ POC = 2∠ QOC$时，$| 60° - t° | = 2| 60° - 2t° |$，
当$0≤ t＜30$时，有$60-t=2(60-2t)$，解得$t=20$；
当$30≤ t≤ 60$时，有$60-t=2( 2t-60 )$，解得$t=36$.
(2)①$-4+t$ $8-2t$
②$t=2$ 或 $t=\dfrac{18}{5}$
(3)由条件可知$∠ AOC = ∠ BOC = \dfrac{1}{2}∠ AOB=60°$，
由题意可得$∠ AOP = t°$，$∠ BOQ = 2t°$，$0≤ t≤60$
$\therefore ∠ POC = | 60° - t° |$，$∠ QOC = | 60° - 2t° |$.
当$∠ POC = 2∠ QOC$时，$| 60° - t° | = 2| 60° - 2t° |$，
当$0≤ t＜30$时，有$60-t=2(60-2t)$，解得$t=20$；
当$30≤ t≤ 60$时，有$60-t=2( 2t-60 )$，解得$t=36$.
解析
【分析】
(1) 先利用平方和绝对值的非负性，两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，求出a、b的值，再根据线段中点对应的数是两端点对应数的平均数，即可算出点C表示的数。
(2) ① 数轴上向右运动的点对应的数=起点对应数+速度×时间，向左运动的点对应的数=起点对应数-速度×时间，据此写出P、Q对应的数；② 先根据数轴上两点距离为两点对应数差的绝对值，表示出PC和QC的长度，再结合PC=2QC列绝对值方程，结合运动时间的取值范围分类去绝对值求解即可。
(3) 类比线段的计算逻辑，先根据角平分线定义求出∠AOC、∠BOC的度数，用含t的式子表示出∠POC和∠QOC，再根据等量关系列绝对值方程，分类讨论求解即可。
【解析】
(1) $\because (a+4)^2≥0$，$|b-8|≥0$，且$(a+4)^2 + |b - 8| = 0$
$\therefore a+4=0$，$b-8=0$，解得$a=-4$，$b=8$
$\because$ C是线段AB的中点，$\therefore$ 点C表示的数为$\frac{-4+8}{2}=2$。
(2) ① 点P从表示-4的A点向右运动，速度为1单位/秒，运动t秒后表示的数为$-4+t$；
点Q从表示8的B点向左运动，速度为2单位/秒，运动t秒后表示的数为$8-2t$。
② 点C表示的数为2，$\therefore PC=|(-4+t)-2|=|t-6|$，$QC=|(8-2t)-2|=|6-2t|$
Q从B到A的总时长为$\frac{8-(-4)}{2}=6$秒，故$0≤ t≤6$。
由$PC=2QC$得$|t-6|=2|6-2t|$：
当$0≤ t＜3$时，方程化为$6-t=2(6-2t)$，解得$t=2$，符合取值范围；
当$3≤ t≤6$时，方程化为$6-t=2(2t-6)$，解得$t=\frac{18}{5}$，符合取值范围。
(3) $\because$ OC平分$∠ AOB$，$∠ AOB=120°$
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}×120°=60°$
OQ从OB到OA的总时长为$\frac{120°}{2°/秒}=60$秒，故$0≤ t≤60$。
由题意得$∠ AOP=t°$，$∠ BOQ=2t°$，则$∠ POC=|60° - t°|$，$∠ QOC=|60° - 2t°|$
由$∠ POC=2∠ QOC$得$|60 - t|=2|60 - 2t|$：
当$0≤ t＜30$时，方程化为$60-t=2(60-2t)$，解得$t=20$，符合取值范围；
当$30≤ t≤60$时，方程化为$60-t=2(2t-60)$，解得$t=36$，符合取值范围。
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) ① $\boxed{-4+t}$，$\boxed{8-2t}$；② $\boxed{t=2}$或$\boxed{t=\dfrac{18}{5}}$
(3) $\boxed{t=20}$或$\boxed{t=36}$
【知识点】
非负数的性质，数轴动点问题，角的动态计算
【点评】
本题考查数形结合和类比思想的应用，将线段动态问题与角的动态问题结合考查，解题核心是掌握绝对值方程的分类讨论方法，注意结合运动的取值范围验证解的合理性，避免漏解或出现增根。
【难度系数】
0.6
(1) 先利用平方和绝对值的非负性，两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，求出a、b的值，再根据线段中点对应的数是两端点对应数的平均数，即可算出点C表示的数。
(2) ① 数轴上向右运动的点对应的数=起点对应数+速度×时间，向左运动的点对应的数=起点对应数-速度×时间，据此写出P、Q对应的数；② 先根据数轴上两点距离为两点对应数差的绝对值，表示出PC和QC的长度，再结合PC=2QC列绝对值方程，结合运动时间的取值范围分类去绝对值求解即可。
(3) 类比线段的计算逻辑，先根据角平分线定义求出∠AOC、∠BOC的度数，用含t的式子表示出∠POC和∠QOC，再根据等量关系列绝对值方程，分类讨论求解即可。
【解析】
(1) $\because (a+4)^2≥0$，$|b-8|≥0$，且$(a+4)^2 + |b - 8| = 0$
$\therefore a+4=0$，$b-8=0$，解得$a=-4$，$b=8$
$\because$ C是线段AB的中点，$\therefore$ 点C表示的数为$\frac{-4+8}{2}=2$。
(2) ① 点P从表示-4的A点向右运动，速度为1单位/秒，运动t秒后表示的数为$-4+t$；
点Q从表示8的B点向左运动，速度为2单位/秒，运动t秒后表示的数为$8-2t$。
② 点C表示的数为2，$\therefore PC=|(-4+t)-2|=|t-6|$，$QC=|(8-2t)-2|=|6-2t|$
Q从B到A的总时长为$\frac{8-(-4)}{2}=6$秒，故$0≤ t≤6$。
由$PC=2QC$得$|t-6|=2|6-2t|$：
当$0≤ t＜3$时，方程化为$6-t=2(6-2t)$，解得$t=2$，符合取值范围；
当$3≤ t≤6$时，方程化为$6-t=2(2t-6)$，解得$t=\frac{18}{5}$，符合取值范围。
(3) $\because$ OC平分$∠ AOB$，$∠ AOB=120°$
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}×120°=60°$
OQ从OB到OA的总时长为$\frac{120°}{2°/秒}=60$秒，故$0≤ t≤60$。
由题意得$∠ AOP=t°$，$∠ BOQ=2t°$，则$∠ POC=|60° - t°|$，$∠ QOC=|60° - 2t°|$
由$∠ POC=2∠ QOC$得$|60 - t|=2|60 - 2t|$：
当$0≤ t＜30$时，方程化为$60-t=2(60-2t)$，解得$t=20$，符合取值范围；
当$30≤ t≤60$时，方程化为$60-t=2(2t-60)$，解得$t=36$，符合取值范围。
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) ① $\boxed{-4+t}$，$\boxed{8-2t}$；② $\boxed{t=2}$或$\boxed{t=\dfrac{18}{5}}$
(3) $\boxed{t=20}$或$\boxed{t=36}$
【知识点】
非负数的性质，数轴动点问题，角的动态计算
【点评】
本题考查数形结合和类比思想的应用，将线段动态问题与角的动态问题结合考查，解题核心是掌握绝对值方程的分类讨论方法，注意结合运动的取值范围验证解的合理性，避免漏解或出现增根。
【难度系数】
0.6
