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17. 阅读下列材料：关于$x$的方程$x^3+x=1^3+1$的解是$x=1$；
$x^3+x=2^3+2$的解是$x=2$；
$x^3+x=(-2)^3+(-2)$的解是$x=-2$.
根据以上材料，解答下列问题.
（1）观察上述方程以及解的特征，请你直接写出关于$x$的方程$x^3+x=4^3+4$的解为
（2）比较关于$x$的方程$x^3+x=a^3+a$与上面各方程的关系，猜想它的解是
（3）请验证第（2）问猜想的结论.
$x^3+x=2^3+2$的解是$x=2$；
$x^3+x=(-2)^3+(-2)$的解是$x=-2$.
根据以上材料，解答下列问题.
（1）观察上述方程以及解的特征，请你直接写出关于$x$的方程$x^3+x=4^3+4$的解为
$x=4$
；（2）比较关于$x$的方程$x^3+x=a^3+a$与上面各方程的关系，猜想它的解是
$x=a$
；（3）请验证第（2）问猜想的结论.
答案
17. (1)$x=4$
(2)$x=a$
(3)证明略
(2)$x=a$
(3)证明略
解析
【分析】
解题时首先观察已知的3组方程与对应解的特征：所有方程左侧均为$x^3+x$，右侧均为某个数的三次方与这个数的和，方程的解恰好就是右侧的这个数。按照这个规律可直接写出前两问的结果；第三问验证猜想时，根据方程的解的定义，将猜想的解代入方程左右两边，若两边相等则猜想成立即可。
【解析】
（1）根据已知规律：当方程为$x^3+x=n^3+n$时，解为$x=n$，因此当$n=4$时，方程$x^3+x=4^3+4$的解为$x=4$；
（2）类比上述规律，当方程右侧为$a^3+a$时，可猜想方程$x^3+x=a^3+a$的解为$x=a$；
（3）验证：把$x=a$代入方程左边，得左边$=a^3+a$，和方程右边$a^3+a$相等，因此$x=a$是该方程的解，猜想成立。
【答案】
(1)$x=4$
(2)$x=a$
(3)证明略
【知识点】
规律探究；方程的解；代数式求值
【点评】
本题侧重考查观察归纳能力，只要能发现方程左右两边的结构共性，就能快速得到规律，再结合方程的解的定义完成验证即可，整体解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知的3组方程与对应解的特征：所有方程左侧均为$x^3+x$，右侧均为某个数的三次方与这个数的和，方程的解恰好就是右侧的这个数。按照这个规律可直接写出前两问的结果；第三问验证猜想时，根据方程的解的定义，将猜想的解代入方程左右两边，若两边相等则猜想成立即可。
【解析】
（1）根据已知规律：当方程为$x^3+x=n^3+n$时，解为$x=n$，因此当$n=4$时，方程$x^3+x=4^3+4$的解为$x=4$；
（2）类比上述规律，当方程右侧为$a^3+a$时，可猜想方程$x^3+x=a^3+a$的解为$x=a$；
（3）验证：把$x=a$代入方程左边，得左边$=a^3+a$，和方程右边$a^3+a$相等，因此$x=a$是该方程的解，猜想成立。
【答案】
(1)$x=4$
(2)$x=a$
(3)证明略
【知识点】
规律探究；方程的解；代数式求值
【点评】
本题侧重考查观察归纳能力，只要能发现方程左右两边的结构共性，就能快速得到规律，再结合方程的解的定义完成验证即可，整体解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
18. 关于$x$的方程$ax+b=ab(a＞b,a≠0)$的解为$x=c$，在数轴上，点A，点B，点C分别表示的数为$a$、$b$、$c$，若点C在点B左侧，则称C为线段AB的“左特征点”；若点C在点B右侧，则称C为线段AB的“右特征点”；若点C恰好在点B上，则称C为线段AB的“完美特征点”。
(1)当$a=2$，$b=1$时，C为线段AB的
(2)已知$a=0.5$，若线段AB的“右特征点”恰好是线段AB的中点，求此时$c$的值；
(3)B点所代表的数是数组$N$：$-10$、$-1$、$0$、$1$、$2$、$3$、$4$、$5$、$6$、$7$中的数，C点为线段AB的“右特征点”，若$a$的倒数是$c$的2倍，求此时A点所表示的数。
(1)当$a=2$，$b=1$时，C为线段AB的
左
特征点(填“左”“右”或“完美”)；对于所有的非零数$a$，C都是线段AB的“完美特征点”，则$b=$ 0
；(2)已知$a=0.5$，若线段AB的“右特征点”恰好是线段AB的中点，求此时$c$的值；
(3)B点所代表的数是数组$N$：$-10$、$-1$、$0$、$1$、$2$、$3$、$4$、$5$、$6$、$7$中的数，C点为线段AB的“右特征点”，若$a$的倒数是$c$的2倍，求此时A点所表示的数。
答案
18. (1)左 0
(2)$c=\dfrac{1}{6}$
(3)$a=0.95$或$0.5$.
(2)$c=\dfrac{1}{6}$
(3)$a=0.95$或$0.5$.
解析
【分析】
解题核心是先求解方程$ax+b=ab(a≠0)$，得到解$c$的表达式：$c=b-\frac{b}{a}$，再结合各小问的条件逐步推导：
(1) 第一空代入$a=2、b=1$算出$c$，和$b$比较大小即可判断特征点类型；第二空根据“完美特征点”要求$c=b$，代入表达式求解$b$。
(2) 右特征点要求$c＞b$，且C是AB中点，结合数轴中点公式$c=\frac{a+b}{2}$，联立$c$的表达式和$a=0.5$求解即可。
(3) 先根据“$a$的倒数是$c$的2倍”得到$c=\frac{1}{2a}$，联立$c$的表达式得到$a$和$b$的关系，再结合右特征点$c＞b$的要求，对给定数组中的$b$分类讨论，筛选符合条件的$a$。
【解析】
先解方程$ax+b=ab(a≠0)$：
移项得$ax=ab-b$，系数化为1得$x=\frac{ab-b}{a}=b-\frac{b}{a}$，即$c=b-\frac{b}{a}$。
(1)
当$a=2、b=1$时，$c=1-\frac{1}{2}=0.5$，
因为$0.5＜1$即$c＜b$，点C在B左侧，所以是左特征点。
若C是完美特征点，则$c=b$，代入得$b-\frac{b}{a}=b$，化简得$-\frac{b}{a}=0$，
因为$a≠0$，所以$b=0$。
(2)
已知$a=0.5$，C是AB中点，则$c=\frac{a+b}{2}=\frac{0.5+b}{2}$，
又$c=b-\frac{b}{a}=b-\frac{b}{0.5}=b-2b=-b$，
联立得$-b=\frac{0.5+b}{2}$，
两边乘2得：$-2b=0.5+b$，
移项得$-3b=0.5$，解得$b=-\frac{1}{6}$，
所以$c=-b=\frac{1}{6}$。
(3)
由题意得$\frac{1}{a}=2c$，即$c=\frac{1}{2a}$，
联立$c=b-\frac{b}{a}$得：$\frac{1}{2a}=b-\frac{b}{a}$，
两边同乘$2a(a≠0)$得：$1=2ab-2b$，整理得$a=\frac{1}{2b}+1$（$b≠0$，若$b=0$等式左边为0，不成立）。
因为C是右特征点，所以$c＞b$即$\frac{1}{2a}＞b$，结合$b$在数组$\{-10、-1、0、1、2、3、4、5、6、7\}$中：
① 当$b$为负数时：
$b=-10$时，$a=\frac{1}{2×(-10)}+1=0.95$，此时$c=\frac{1}{2×0.95}≈0.526＞-10$，且$a=0.95＞b=-10$，符合要求；
$b=-1$时，$a=\frac{1}{2×(-1)}+1=0.5$，此时$c=\frac{1}{2×0.5}=1＞-1$，且$a=0.5＞b=-1$，符合要求；
② 当$b$为正整数时，$a=\frac{1}{2b}+1＞1$，则$c=\frac{1}{2a}＜\frac{1}{2}＜b$，不符合$c＞b$的要求，全部舍去。
综上，$a$的值为$0.95$或$0.5$。
【答案】
(1)左；$\boldsymbol{0}$
(2)$\boldsymbol{c=\dfrac{1}{6}}$
(3)$\boldsymbol{a=0.95}$或$\boldsymbol{0.5}$
【知识点】
新定义问题，一元一次方程求解，数轴的应用
【点评】
本题结合新定义综合考查一元一次方程的解法、数轴性质及分类讨论思想，解题关键是先推导得到$c$的通用表达式，再将题干中的位置关系、数量关系转化为代数等式求解，注意最终要验证结果是否符合所有限制条件。
【难度系数】
0.6
解题核心是先求解方程$ax+b=ab(a≠0)$，得到解$c$的表达式：$c=b-\frac{b}{a}$，再结合各小问的条件逐步推导：
(1) 第一空代入$a=2、b=1$算出$c$，和$b$比较大小即可判断特征点类型；第二空根据“完美特征点”要求$c=b$，代入表达式求解$b$。
(2) 右特征点要求$c＞b$，且C是AB中点，结合数轴中点公式$c=\frac{a+b}{2}$，联立$c$的表达式和$a=0.5$求解即可。
(3) 先根据“$a$的倒数是$c$的2倍”得到$c=\frac{1}{2a}$，联立$c$的表达式得到$a$和$b$的关系，再结合右特征点$c＞b$的要求，对给定数组中的$b$分类讨论，筛选符合条件的$a$。
【解析】
先解方程$ax+b=ab(a≠0)$：
移项得$ax=ab-b$，系数化为1得$x=\frac{ab-b}{a}=b-\frac{b}{a}$，即$c=b-\frac{b}{a}$。
(1)
当$a=2、b=1$时，$c=1-\frac{1}{2}=0.5$，
因为$0.5＜1$即$c＜b$，点C在B左侧，所以是左特征点。
若C是完美特征点，则$c=b$，代入得$b-\frac{b}{a}=b$，化简得$-\frac{b}{a}=0$，
因为$a≠0$，所以$b=0$。
(2)
已知$a=0.5$，C是AB中点，则$c=\frac{a+b}{2}=\frac{0.5+b}{2}$，
又$c=b-\frac{b}{a}=b-\frac{b}{0.5}=b-2b=-b$，
联立得$-b=\frac{0.5+b}{2}$，
两边乘2得：$-2b=0.5+b$，
移项得$-3b=0.5$，解得$b=-\frac{1}{6}$，
所以$c=-b=\frac{1}{6}$。
(3)
由题意得$\frac{1}{a}=2c$，即$c=\frac{1}{2a}$，
联立$c=b-\frac{b}{a}$得：$\frac{1}{2a}=b-\frac{b}{a}$，
两边同乘$2a(a≠0)$得：$1=2ab-2b$，整理得$a=\frac{1}{2b}+1$（$b≠0$，若$b=0$等式左边为0，不成立）。
因为C是右特征点，所以$c＞b$即$\frac{1}{2a}＞b$，结合$b$在数组$\{-10、-1、0、1、2、3、4、5、6、7\}$中：
① 当$b$为负数时：
$b=-10$时，$a=\frac{1}{2×(-10)}+1=0.95$，此时$c=\frac{1}{2×0.95}≈0.526＞-10$，且$a=0.95＞b=-10$，符合要求；
$b=-1$时，$a=\frac{1}{2×(-1)}+1=0.5$，此时$c=\frac{1}{2×0.5}=1＞-1$，且$a=0.5＞b=-1$，符合要求；
② 当$b$为正整数时，$a=\frac{1}{2b}+1＞1$，则$c=\frac{1}{2a}＜\frac{1}{2}＜b$，不符合$c＞b$的要求，全部舍去。
综上，$a$的值为$0.95$或$0.5$。
【答案】
(1)左；$\boldsymbol{0}$
(2)$\boldsymbol{c=\dfrac{1}{6}}$
(3)$\boldsymbol{a=0.95}$或$\boldsymbol{0.5}$
【知识点】
新定义问题，一元一次方程求解，数轴的应用
【点评】
本题结合新定义综合考查一元一次方程的解法、数轴性质及分类讨论思想，解题关键是先推导得到$c$的通用表达式，再将题干中的位置关系、数量关系转化为代数等式求解，注意最终要验证结果是否符合所有限制条件。
【难度系数】
0.6
