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三、解答题
如右图，直线$y = kx + b$经过点$A(-5,0),B(-1,4)$。
(1)求点$D$的坐标；
(2)求直线$CE:y = -2x -4$与直线$AB$及$y$轴围成图形的面积。
如右图，直线$y = kx + b$经过点$A(-5,0),B(-1,4)$。
(1)求点$D$的坐标；
(2)求直线$CE:y = -2x -4$与直线$AB$及$y$轴围成图形的面积。
答案
(1)(0,5)。(2)$\frac{27}{2}$。
解析
【分析】
(1)点D是直线AB与y轴的交点，首先需要用待定系数法求出直线AB的解析式，再令x=0即可得到D点的纵坐标，进而得到D的坐标。
(2)求两条直线与y轴围成图形的面积，首先要找到三个关键点：两条直线的交点C、直线AB与y轴的交点D、直线CE与y轴的交点E；先联立两个直线解析式求出交点C的坐标，再求出E点坐标，以DE的长度为三角形的底，C点横坐标的绝对值为三角形的高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 将点$A(-5,0)$、$B(-1,4)$代入直线解析式$y=kx+b$，得到方程组：
$\begin{cases}0=-5k+b\\4=-k+b\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$4=4k$，解得$k=1$，
将$k=1$代入$4=-k+b$，得$4=-1+b$，解得$b=5$，
因此直线AB的解析式为$y=x+5$，
点D是直线AB与y轴的交点，令$x=0$，得$y=5$，故D点坐标为$(0,5)$。
(2) 联立直线AB与直线CE的解析式：
$\begin{cases}y=x+5\\y=-2x-4\end{cases}$
可得$x+5=-2x-4$，解得$x=-3$，将$x=-3$代入$y=x+5$，得$y=2$，即交点C的坐标为$(-3,2)$，
直线$CE:y=-2x-4$与y轴交点E，令$x=0$，得$y=-4$，故E点坐标为$(0,-4)$，
线段DE的长度为$|5 - (-4)|=9$，交点C到y轴的距离为$|-3|=3$，
因此围成的三角形的面积为$\frac{1}{2} × 9 × 3 = \frac{27}{2}$。
【答案】
(1)$(0,5)$；(2)$\frac{27}{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点问题，一次函数面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，能通过联立解析式求直线交点，同时要学会利用坐标转换为线段长度，进而计算几何图形的面积。
【难度系数】
0.7
(1)点D是直线AB与y轴的交点，首先需要用待定系数法求出直线AB的解析式，再令x=0即可得到D点的纵坐标，进而得到D的坐标。
(2)求两条直线与y轴围成图形的面积，首先要找到三个关键点：两条直线的交点C、直线AB与y轴的交点D、直线CE与y轴的交点E；先联立两个直线解析式求出交点C的坐标，再求出E点坐标，以DE的长度为三角形的底，C点横坐标的绝对值为三角形的高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 将点$A(-5,0)$、$B(-1,4)$代入直线解析式$y=kx+b$，得到方程组：
$\begin{cases}0=-5k+b\\4=-k+b\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$4=4k$，解得$k=1$，
将$k=1$代入$4=-k+b$，得$4=-1+b$，解得$b=5$，
因此直线AB的解析式为$y=x+5$，
点D是直线AB与y轴的交点，令$x=0$，得$y=5$，故D点坐标为$(0,5)$。
(2) 联立直线AB与直线CE的解析式：
$\begin{cases}y=x+5\\y=-2x-4\end{cases}$
可得$x+5=-2x-4$，解得$x=-3$，将$x=-3$代入$y=x+5$，得$y=2$，即交点C的坐标为$(-3,2)$，
直线$CE:y=-2x-4$与y轴交点E，令$x=0$，得$y=-4$，故E点坐标为$(0,-4)$，
线段DE的长度为$|5 - (-4)|=9$，交点C到y轴的距离为$|-3|=3$，
因此围成的三角形的面积为$\frac{1}{2} × 9 × 3 = \frac{27}{2}$。
【答案】
(1)$(0,5)$；(2)$\frac{27}{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点问题，一次函数面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，能通过联立解析式求直线交点，同时要学会利用坐标转换为线段长度，进而计算几何图形的面积。
【难度系数】
0.7
四、综合实践活动
甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为$ x $ h，甲、乙两人距出发点的路程$ s_甲 $、$ s_乙 $关于$ x $的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差$ y $(km)关于$ x $的函数图象如图2所示，请你解决以下问题：
(1)甲的速度是
(2)分别求出$ s_甲 $、$ s_乙 $与$ x $的函数关系式；
(3)对比图1、图2可知：$ a = $
(4)乙出发多少小时，甲、乙两人相距10 km？（直接写出$ x $的值）
甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为$ x $ h，甲、乙两人距出发点的路程$ s_甲 $、$ s_乙 $关于$ x $的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差$ y $(km)关于$ x $的函数图象如图2所示，请你解决以下问题：
(1)甲的速度是
30
km/h，乙的速度是12
km/h；(2)分别求出$ s_甲 $、$ s_乙 $与$ x $的函数关系式；
(3)对比图1、图2可知：$ a = $
12
，$ b = $ $\frac{5}{3}$
，$ c = $ 24
；(4)乙出发多少小时，甲、乙两人相距10 km？（直接写出$ x $的值）
答案
(1)30 12
(2)$s_{甲} = 30x - 30(1 ≤ x ≤ 3)$，$s_{乙} = 12x(0 ≤ x ≤ 5)$。
(3)12 $\frac{5}{3}$ 24
(4)$\frac{5}{6} h$或$\frac{10}{9} h$或$\frac{20}{9} h$或$\frac{25}{6} h$。
(2)$s_{甲} = 30x - 30(1 ≤ x ≤ 3)$，$s_{乙} = 12x(0 ≤ x ≤ 5)$。
(3)12 $\frac{5}{3}$ 24
(4)$\frac{5}{6} h$或$\frac{10}{9} h$或$\frac{20}{9} h$或$\frac{25}{6} h$。
解析
【分析】
1. 求速度：结合图1的s-t图象，甲从出发到到达终点用时3-1=2h，总路程60km，路程除以时间即为甲的速度；乙总用时5h走完全程60km，同理可得乙的速度。
2. 求函数关系式：$s_乙$是过原点的正比例函数，用待定系数法代入点坐标求解即可；$s_甲$是一次函数，代入图象经过的(1,0)和(3,60)两点即可求出解析式，注意标注自变量的取值范围。
3. 求a、b、c：a对应x=1h时两人的路程差，此时甲刚出发路程为0，乙的路程即为a的值；b是两人路程差为0即相遇的时刻，令$s_甲=s_乙$解方程即可得到b；c对应x=3h时的路程差，此时甲到达终点，总路程减去乙的路程即为c的值。
4. 求相距10km的时间：分四种情况讨论：①甲未出发时，乙的路程为10km；②甲出发后还没追上乙时，乙比甲多走10km；③甲追上乙后还没到终点时，甲比乙多走10km；④甲到达终点后，乙距离终点10km，分别解方程取符合对应区间的解即可。
【解析】
(1) 甲的速度：$v_甲=60÷(3-1)=30\mathrm{km/h}$，乙的速度：$v_乙=60÷5=12\mathrm{km/h}$。
(2) 设$s_乙=k_1x$，将$(5,60)$代入得$60=5k_1$，解得$k_1=12$，故$s_乙=12x(0≤ x≤5)$。
设$s_甲=k_2x+b$，将$(1,0)$、$(3,60)$代入得：
$\begin{cases}k_2 + b=0\\3k_2 + b=60\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=30\\b=-30\end{cases}$，故$s_甲=30x-30(1≤ x≤3)$。
(3) 当$x=1$时，$s_乙=12×1=12\mathrm{km}$，$s_甲=0$，故$a=12-0=12$；
相遇时$s_甲=s_乙$，即$30x-30=12x$，解得$x=\frac{5}{3}$，故$b=\frac{5}{3}$；
当$x=3$时，$s_甲=60\mathrm{km}$，$s_乙=12×3=36\mathrm{km}$，故$c=60-36=24$。
(4) 分情况讨论：
① $0≤ x≤1$时：$12x=10$，解得$x=\frac{5}{6}$；
② $1＜x≤\frac{5}{3}$时：$12x-(30x-30)=10$，解得$x=\frac{10}{9}$；
③ $\frac{5}{3}＜x≤3$时：$30x-30-12x=10$，解得$x=\frac{20}{9}$；
④ $3＜x≤5$时：$60-12x=10$，解得$x=\frac{25}{6}$。
【答案】
(1)30；12
(2)$s_{甲} = 30x - 30(1 ≤ x ≤ 3)$，$s_{乙} = 12x(0 ≤ x ≤ 5)$
(3)12；$\frac{5}{3}$；24
(4)$\frac{5}{6} h$或$\frac{10}{9} h$或$\frac{20}{9} h$或$\frac{25}{6} h$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；行程问题
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的图象与性质，需要学生能读懂函数图象的实际意义，结合分类讨论思想求解不同阶段的问题，对读图能力和逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
1. 求速度：结合图1的s-t图象，甲从出发到到达终点用时3-1=2h，总路程60km，路程除以时间即为甲的速度；乙总用时5h走完全程60km，同理可得乙的速度。
2. 求函数关系式：$s_乙$是过原点的正比例函数，用待定系数法代入点坐标求解即可；$s_甲$是一次函数，代入图象经过的(1,0)和(3,60)两点即可求出解析式，注意标注自变量的取值范围。
3. 求a、b、c：a对应x=1h时两人的路程差，此时甲刚出发路程为0，乙的路程即为a的值；b是两人路程差为0即相遇的时刻，令$s_甲=s_乙$解方程即可得到b；c对应x=3h时的路程差，此时甲到达终点，总路程减去乙的路程即为c的值。
4. 求相距10km的时间：分四种情况讨论：①甲未出发时，乙的路程为10km；②甲出发后还没追上乙时，乙比甲多走10km；③甲追上乙后还没到终点时，甲比乙多走10km；④甲到达终点后，乙距离终点10km，分别解方程取符合对应区间的解即可。
【解析】
(1) 甲的速度：$v_甲=60÷(3-1)=30\mathrm{km/h}$，乙的速度：$v_乙=60÷5=12\mathrm{km/h}$。
(2) 设$s_乙=k_1x$，将$(5,60)$代入得$60=5k_1$，解得$k_1=12$，故$s_乙=12x(0≤ x≤5)$。
设$s_甲=k_2x+b$，将$(1,0)$、$(3,60)$代入得：
$\begin{cases}k_2 + b=0\\3k_2 + b=60\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=30\\b=-30\end{cases}$，故$s_甲=30x-30(1≤ x≤3)$。
(3) 当$x=1$时，$s_乙=12×1=12\mathrm{km}$，$s_甲=0$，故$a=12-0=12$；
相遇时$s_甲=s_乙$，即$30x-30=12x$，解得$x=\frac{5}{3}$，故$b=\frac{5}{3}$；
当$x=3$时，$s_甲=60\mathrm{km}$，$s_乙=12×3=36\mathrm{km}$，故$c=60-36=24$。
(4) 分情况讨论：
① $0≤ x≤1$时：$12x=10$，解得$x=\frac{5}{6}$；
② $1＜x≤\frac{5}{3}$时：$12x-(30x-30)=10$，解得$x=\frac{10}{9}$；
③ $\frac{5}{3}＜x≤3$时：$30x-30-12x=10$，解得$x=\frac{20}{9}$；
④ $3＜x≤5$时：$60-12x=10$，解得$x=\frac{25}{6}$。
【答案】
(1)30；12
(2)$s_{甲} = 30x - 30(1 ≤ x ≤ 3)$，$s_{乙} = 12x(0 ≤ x ≤ 5)$
(3)12；$\frac{5}{3}$；24
(4)$\frac{5}{6} h$或$\frac{10}{9} h$或$\frac{20}{9} h$或$\frac{25}{6} h$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；行程问题
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的图象与性质，需要学生能读懂函数图象的实际意义，结合分类讨论思想求解不同阶段的问题，对读图能力和逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
