1.如右图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AC长为5 km,BC长为12 km,则M,C两点间的距离为()。

A.5 km
B.6 km
C.6.5 km
D.7.5 km

1.C

【分析】
首先由题可知AC与BC互相垂直，因此△ABC是直角三角形，已知两条直角边AC、BC的长度，我们可以先通过勾股定理计算出斜边AB的长度；又因为M是AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，斜边的中线长度等于斜边长度的一半，即可求出M、C两点的距离。
【解析】
解：
∵ AC⊥BC，
∴ ∠ACB=90°，△ABC是直角三角形。
在Rt△ABC中，AC=5km，BC=12km，根据勾股定理：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\ \mathrm{km}$
∵ M是AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴ $CM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×13 = 6.5\ \mathrm{km}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的关键是先判断三角形为直角三角形，再依次运用勾股定理和直角三角形斜边中线的性质计算结果，计算时注意数值运算准确即可。
【难度系数】
0.8

2.矩形具有而菱形不具有的性质是()。

A.对角线互相垂直
B.两组对角分别相等
C.两组对边分别平行
D.对角线相等

2.D

【分析】
解题时首先要明确矩形和菱形均属于特殊的平行四边形，先梳理二者共有的平行四边形基础性质，再分别回忆矩形、菱形各自独有的特殊性质，最后逐一比对选项，排除掉二者共有的、以及仅属于菱形的性质，剩下的就是符合题意的答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：对角线互相垂直是菱形的特有性质，普通矩形的对角线不互相垂直，因此是菱形具有而矩形不具有的性质，不符合题意；
2. 选项B：两组对角分别相等是所有平行四边形共有的性质，矩形和菱形都属于平行四边形，二者都具备该性质，不符合题意；
3. 选项C：两组对边分别平行也是所有平行四边形共有的性质，矩形和菱形都具备该性质，不符合题意；
4. 选项D：对角线相等是矩形的特有性质，普通菱形的对角线不相等，因此是矩形具有而菱形不具有的性质，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质、菱形的性质、特殊平行四边形性质辨析
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查矩形与菱形的性质区分，解题的关键是熟练掌握二者的共性和独有特性，通过排除法可以快速锁定正确答案，学习时要注意区分不同特殊平行四边形的特殊性质，避免混淆。
【难度系数】
0.8

3.如右图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(4,4)，以点B(0,0)为原点，以OP的长为半径画弧，交x轴的正半轴于点A，则点A的横坐标在()。

A.6和7之间
B.5和6之间
C.4和5之间
D.3和4之间

3.B

【分析】
要确定点A的横坐标范围，首先明确OA和OP是同圆的半径，二者长度相等；接下来结合点P的坐标，用勾股定理计算OP的长度；最后对得到的无理数进行大小估算，即可得到OA的长度范围，也就是点A横坐标的取值范围。
【解析】
解：
∵点P的坐标为$(4,4)$，
∴根据勾股定理可得OP的长度为：
$OP=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}$
∵OA、OP都是所作圆弧的半径，
∴$OA=OP=\sqrt{32}$
∵$5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜32＜36$
∴$\sqrt{25}＜\sqrt{32}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{32}＜6$
∵点A在x轴正半轴，其横坐标等于OA的长度，
∴点A的横坐标在5和6之间。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；无理数的估算；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是先利用同圆半径相等建立OA和OP的等量关系，再结合勾股定理、无理数估算的知识求解，考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

1. 已知$ x = \sqrt{2} + 1 $，则代数式$ x^2 - 2x + 1 $的值为。

1.2

【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现$x^2-2x+1$符合完全平方差公式的展开形式，为了简化计算，避免直接代入$x$的数值计算高次幂出错，我们可以先利用因式分解将代数式变形为$(x-1)^2$，再将已知的$x$值代入变形后的式子计算，即可快速得到结果。
【解析】
解：根据完全平方差公式，对代数式因式分解可得：
$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$
将$x = \sqrt{2} + 1$代入上式：
原式$= (\sqrt{2} + 1 - 1)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$
【答案】
2
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，二次根式运算
【点评】
本题是代数式求值类基础题，解题关键是先观察代数式特征，利用因式分解化简后再代入求值，能有效降低计算量，减少出错概率，是代数计算中常用的技巧。
【难度系数】
0.9

2.如右图,在△ABC中,∠ACB = 90°,AB = 10 ,BC = 8 ,D为BC边上一点,将△ABD沿AD折叠,若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处,则CD的长为。

2.3

【分析】
解决本题首先要利用折叠的核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。第一步先在Rt△ABC中，结合已知的AB、BC长度，用勾股定理计算出AC的长度；第二步根据折叠性质得到AE=AB，进而求出CE的长度；第三步设CD的长为未知数，用含未知数的式子表示DE的长度，最后在Rt△CDE中利用勾股定理列方程求解即可得到CD的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
根据折叠的性质可得：$AE=AB=10$，$DE=BD$，
因此$CE=AE-AC=10-6=4$。
设$CD=x$，则$DE=BD=BC-CD=8-x$，
∵$∠ ECD=180°-∠ ACB=90°$，
∴$△ ECD$是直角三角形，
在Rt△ECD中，由勾股定理得：$CD^2+CE^2=DE^2$，
代入得：$x^2+4^2=(8-x)^2$，
展开整理得：$16x=48$，
解得$x=3$。
【答案】
3
【知识点】
1.折叠的性质 2.勾股定理
【点评】
本题是折叠变换与勾股定理结合的典型习题，解题关键是抓住折叠前后对应线段相等的性质，将未知线段和已知线段转化到同一个直角三角形中，通过列方程求解未知线段长度。
【难度系数】
0.7

3. 如右图所示,已知在 Rt △ABC 中, ∠ACB = 90°, AB = 4 ,分别以 AC , BC 为直径作半圆,面积分别记为 $ S_1 $ , $ S_2 $ ,则 $ S_1 + S_2 $ 的值等于。
(结果保留 π)

3.2π

【分析】
解答这道题先分别写出两个半圆面积$S_1$、$S_2$关于直角边$AC$、$BC$的表达式，再将两个面积相加，结合直角三角形的勾股定理，把$AC^2+BC^2$替换为$AB^2$，最后代入$AB$的数值即可求出结果，不需要单独计算$AC$、$BC$的长度。
【解析】
解：根据半圆面积公式可得：
$S_1 = \frac{1}{2}π · (\frac{AC}{2})^2 = \frac{π AC^2}{8}$
$S_2 = \frac{1}{2}π · (\frac{BC}{2})^2 = \frac{π BC^2}{8}$
因此$S_1 + S_2 = \frac{π}{8}(AC^2 + BC^2)$
∵在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理得$AC^2 + BC^2 = AB^2$
已知$AB=4$，则$AB^2=16$，代入上式得：
$S_1 + S_2 = \frac{π}{8} × 16 = 2π$
【答案】
$2π$
【知识点】
勾股定理；半圆的面积计算
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是将两个半圆的面积和与勾股定理结合，通过整体代换的方式计算，避免了分别求解两条直角边长度的复杂步骤，体现了整体思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7