三、解答题
在正方形ABCD中,动点E、F分别从D、C两点同时出发,以相同的速度在直线DC、CB上移动。
(1)如图1,当点E自D向C移动,点F自C向B移动时,连接AE和DF、AE、DF交于点P,请写出AE与DF之间的关系,并说明理由；

(2)如图2,当点E、F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,则第(1)问中的结论还成立吗?(请直接回答“成立”或“不成立”,无须证明)

(1) $AE = DF,AE ⊥ DF$
(2) 成立

【分析】
要判断AE与DF的关系，需从数量关系和位置关系两方面分析：①首先根据正方形的性质可得AD=DC，∠ADC=∠C=90°；再结合动点E、F速度相同、同时出发，可得相同时间内移动的路程相等，即DE=CF，即可通过SAS证明△ADE≌△DCF，得到对应边相等，推出数量关系。②再利用全等三角形对应角相等，结合直角的互余关系，可推出两线段的夹角为90°，得到位置关系。第(2)问同理，即使点在延长线上，仍可通过证明全等得到相同结论。
【解析】
(1) $AE=DF$且$AE⊥ DF$，理由如下：
∵ 四边形ABCD是正方形
∴ $AD=DC$，$∠ ADC=∠ C=90°$
∵ 动点E、F同时出发，速度相同
∴ $DE=CF$
在$△ ADE$和$△ DCF$中：
$\begin{cases}AD=DC \\∠ ADC=∠ C \\DE=CF\end{cases}$
∴ $△ ADE≌△ DCF(\mathrm{SAS})$
∴ $AE=DF$，$∠ DAE=∠ CDF$
∵ $∠ CDF+∠ ADF=90°$
∴ $∠ DAE+∠ ADF=90°$
∴ $∠ APD=180°-(∠ DAE+∠ ADF)=90°$
∴ $AE⊥ DF$
(2) 成立
【答案】
(1) $AE = DF$，$AE ⊥ DF$；(2) 成立
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；垂直的判定
【点评】
本题属于正方形背景下的动态几何基础题，解题的核心是抓住动点运动的路程相等得到等线段，结合正方形的边、角性质构造全等三角形，即可快速得到线段的数量与位置关系。
【难度系数】
0.8

四、综合实践活动
某地举办中小学智能机器人技能提升活动，来自全省的600多名选手在这里展开比拼。在这次活动中，踢足球的机器人可谓独占鳌头。如右图，$∠ AOB = 90°$，$OA = 45\ \mathrm{cm}$，$OB = 15\ \mathrm{cm}$，一机器人在点$B$处看见一个小球从点$A$出发沿着$AO$方向匀速向点$O$滚动，机器人立即从点$B$出发，沿直线匀速前进截球，并在点$C$处截住了小球。如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，求机器人行走的路程（$BC$的长）。

25 cm

【分析】
解题时首先抓住“小球滚动速度与机器人行走速度相等，且运动时间相同”这一条件，可得两者行驶路程相等，即$BC=AC$。我们可以通过设未知数的方式，将$\mathrm{Rt}△ OBC$的三条边用含未知数的式子表示，再结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设机器人行走的路程$BC$的长为$x\ \mathrm{cm}$。
∵ 小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，二者运动时间相同，
∴ 小球滚动的路程$AC=BC=x\ \mathrm{cm}$，
∴ $OC=OA-AC=(45-x)\ \mathrm{cm}$。
∵ $∠ AOB=90°$，即$△ OBC$是直角三角形，
根据勾股定理可得：$OB^2+OC^2=BC^2$，
代入已知数值$OB=15\ \mathrm{cm}$，得：
$15^2+(45-x)^2=x^2$
展开计算：
$225+2025-90x+x^2=x^2$
消去$x^2$后整理得：
$90x=2250$
解得：$x=25$
【答案】
$\boxed{25\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程的应用；路程速度关系
【点评】
本题将几何知识与实际场景结合，解题的核心是根据速度、时间、路程的关系得到$BC=AC$的等量关系，再结合直角三角形的勾股定理列方程求解，能很好地锻炼学生将数学知识应用到实际问题中的能力。
【难度系数】
0.7