在同一平面内,由n条线段依次首尾连结而成的封闭图形叫作n边形(包括凹多边形,以下同),这些线段的端点叫作顶点。奥地利数学家皮克发现了一个计算正方形网格纸中多边形面积的公式:在边长为1的小正方形组成的方格纸中,若多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交点)上,这样的多边形称为格点多边形。记格点多边形内的格点数为a,边界上的格点数为b,则格点多边形的面积可表示为$S=ma+nb-1$,其中$m,n$是常数。


(1) 观察图①、图②并填表。
| | $a$ | $b$ | $S$ |
| --- | --- | --- | --- |
| 图① | | | |
| 图② | | | |
(2) 由上表求$m,n$的值,并写出这个公式。
(3) 若多边形的顶点都在格点上,且面积为6,请画出这样两个形状不同的多边形(多边形的边数≥6),并写出相应的$a,b$值,分别画在图③、图④中。
图③对应的空：$a=$; $b=$。
图④对应的空：$a=$; $b=$。

(1) 表格填写：图①行依次为$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{6}$，$\boldsymbol{3}$；图②行依次为$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{6}$，$\boldsymbol{4}$
(2) $m=1$，$n=\frac{1}{2}$，公式为$\boldsymbol{S=a+\frac{1}{2}b-1}$
(3) 示例答案（不唯一）：图③$a=\boldsymbol{4}$，$b=\boldsymbol{6}$；图④$a=\boldsymbol{3}$，$b=\boldsymbol{8}$

(1) 通过直接计数多边形内部格点、边界格点，再用割补法计算多边形面积，可得：
图①的内部格点数$a=1$，边界格点数$b=6$，面积$S=3$；
图②的内部格点数$a=2$，边界格点数$b=6$，面积$S=4$。
(2) 将图①、图②的对应值代入公式$S=ma+nb-1$，得到二元一次方程组：
$\begin{cases} m + 6n -1 = 3 \\ 2m + 6n -1 = 4 \end{cases}$
两式相减消去$n$，得$m=1$，将$m=1$代入第一个方程，解得$n=\frac{1}{2}$，因此所求公式为$S=a+\frac{1}{2}b-1$。
(3) 把$S=6$代入公式$S=a+\frac{1}{2}b-1$，整理得$2a+b=14$，只需绘制边数≥6的格点多边形满足该等式即可，答案不唯一，取符合要求的数值即可。