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三、解答题
13 在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”号将这些数按由小到大的顺序连接起来。
$+5,-3.5,\frac{1}{2},-1\frac{1}{2},-4,0,2.5.$
13 在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”号将这些数按由小到大的顺序连接起来。
$+5,-3.5,\frac{1}{2},-1\frac{1}{2},-4,0,2.5.$
答案
如图所示 $-4＜-3.5＜-1\dfrac{1}{2}＜0＜\dfrac{1}{2}＜2.5＜+5$
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆数轴比较数大小的规则：数轴上表示的数，右侧的数总比左侧的数大。解题时第一步先把题中所有数对应到数轴上的点：先将分数、带分数转化为小数方便定位，负数在原点0的左侧，正数在原点右侧，0在原点处，依次找到各数的对应位置；第二步按照各点从左到右的顺序，用“＜”号连接即可得到从小到大的排列结果。
【解析】
1. 先将分数、带分数转化为小数，方便确定位置：$-1\frac{1}{2}=-1.5$，$\frac{1}{2}=0.5$。
2. 在数轴上标记各数的对应点：-4对应刻度-4的点，-3.5在-4和-3的中点，-1.5在-2和-1的中点，0对应原点，0.5在0和1的中点，2.5在2和3的中点，+5对应刻度5的点，标记结果如图所示。
3. 根据数轴上“右边的数大于左边的数”的规律，将各数按从左到右的顺序用“＜”连接，得到最终排序。
【答案】
如图所示 $-4＜-3.5＜-1\dfrac{1}{2}＜0＜\dfrac{1}{2}＜2.5＜+5$
【知识点】
数轴的特征、有理数大小比较、分数与小数互化
【点评】
本题是基础题型，主要考查利用数轴比较有理数大小的方法，解题的核心是准确找到各数在数轴上的对应位置，牢记数轴上数的大小规律即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先回忆数轴比较数大小的规则：数轴上表示的数，右侧的数总比左侧的数大。解题时第一步先把题中所有数对应到数轴上的点：先将分数、带分数转化为小数方便定位，负数在原点0的左侧，正数在原点右侧，0在原点处，依次找到各数的对应位置；第二步按照各点从左到右的顺序，用“＜”号连接即可得到从小到大的排列结果。
【解析】
1. 先将分数、带分数转化为小数，方便确定位置：$-1\frac{1}{2}=-1.5$，$\frac{1}{2}=0.5$。
2. 在数轴上标记各数的对应点：-4对应刻度-4的点，-3.5在-4和-3的中点，-1.5在-2和-1的中点，0对应原点，0.5在0和1的中点，2.5在2和3的中点，+5对应刻度5的点，标记结果如图所示。
3. 根据数轴上“右边的数大于左边的数”的规律，将各数按从左到右的顺序用“＜”连接，得到最终排序。
【答案】
如图所示 $-4＜-3.5＜-1\dfrac{1}{2}＜0＜\dfrac{1}{2}＜2.5＜+5$
【知识点】
数轴的特征、有理数大小比较、分数与小数互化
【点评】
本题是基础题型，主要考查利用数轴比较有理数大小的方法，解题的核心是准确找到各数在数轴上的对应位置，牢记数轴上数的大小规律即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
14 计算：
(1) $(-3.9)+(-5.4)+(-1.1)+(+5.4)$；
(2) $-99\dfrac{81}{82}÷\dfrac{1}{41}$；
(3) $(-\dfrac{1}{24})÷(\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{2}{3})$；
(4) $-7÷\dfrac{7}{22}+26×(-\dfrac{22}{7})-2×3\dfrac{1}{7}$。
(1) $(-3.9)+(-5.4)+(-1.1)+(+5.4)$；
(2) $-99\dfrac{81}{82}÷\dfrac{1}{41}$；
(3) $(-\dfrac{1}{24})÷(\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{2}{3})$；
(4) $-7÷\dfrac{7}{22}+26×(-\dfrac{22}{7})-2×3\dfrac{1}{7}$。
答案
(1) $-5$ (2) $-4\ 099\dfrac{1}{2}$ (3) $-\dfrac{1}{14}$ (4) $-110$
解析
【分析】
本题是有理数混合运算类题目，解题核心是结合算式特点合理运用运算律简化计算：
(1) 观察算式发现有互为相反数的+5.4和-5.4，还有可凑整的-3.9和-1.1，用加法交换律、结合律分组计算即可；
(2) 带分数接近整百，可将带分数拆成整百数加减一个小分数的形式，再用乘法分配律简化计算；
(3) 按照运算顺序，先计算括号内的分数加减，再计算括号外的除法即可；
(4) 先将除法转化为乘法，统一形式后发现各项均含公因数$\frac{22}{7}$，提取公因数后再计算可简化运算。
【解析】
(1) $\begin{aligned}&(-3.9)+(-5.4)+(-1.1)+(+5.4)\\=&[(-3.9)+(-1.1)]+[(-5.4)+(+5.4)]\\=&-5 + 0\\=&-5\end{aligned}$
(2) $\begin{aligned}&-99\dfrac{81}{82}÷\dfrac{1}{41}\\=&(-100 + \dfrac{1}{82})×41\\=&-100×41 + \dfrac{1}{82}×41\\=&-4100 + \dfrac{1}{2}\\=&-4099\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
(3) $\begin{aligned}&(-\dfrac{1}{24})÷(\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{2}{3})\\=&(-\dfrac{1}{24})÷(\dfrac{18}{24}-\dfrac{20}{24}+\dfrac{16}{24})\\=&(-\dfrac{1}{24})÷\dfrac{14}{24}\\=&(-\dfrac{1}{24})×\dfrac{24}{14}\\=&-\dfrac{1}{14}\end{aligned}$
(4) $\begin{aligned}&-7÷\dfrac{7}{22}+26×(-\dfrac{22}{7})-2×3\dfrac{1}{7}\\=&-7×\dfrac{22}{7} -26×\dfrac{22}{7} -2×\dfrac{22}{7}\\=&\dfrac{22}{7}×(-7 -26 -2)\\=&\dfrac{22}{7}×(-35)\\=&-110\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$；(2) $\boldsymbol{-4099\dfrac{1}{2}}$；(3) $\boldsymbol{-\dfrac{1}{14}}$；(4) $\boldsymbol{-110}$
【知识点】
有理数加减运算，有理数乘除运算，运算律简便计算
【点评】
本题重点考察有理数混合运算的运算顺序和运算律的灵活运用，解题时先观察算式特征，优先用简便方法计算，能有效降低计算量、减少出错概率。
【难度系数】
0.7
本题是有理数混合运算类题目，解题核心是结合算式特点合理运用运算律简化计算：
(1) 观察算式发现有互为相反数的+5.4和-5.4，还有可凑整的-3.9和-1.1，用加法交换律、结合律分组计算即可；
(2) 带分数接近整百，可将带分数拆成整百数加减一个小分数的形式，再用乘法分配律简化计算；
(3) 按照运算顺序，先计算括号内的分数加减，再计算括号外的除法即可；
(4) 先将除法转化为乘法，统一形式后发现各项均含公因数$\frac{22}{7}$，提取公因数后再计算可简化运算。
【解析】
(1) $\begin{aligned}&(-3.9)+(-5.4)+(-1.1)+(+5.4)\\=&[(-3.9)+(-1.1)]+[(-5.4)+(+5.4)]\\=&-5 + 0\\=&-5\end{aligned}$
(2) $\begin{aligned}&-99\dfrac{81}{82}÷\dfrac{1}{41}\\=&(-100 + \dfrac{1}{82})×41\\=&-100×41 + \dfrac{1}{82}×41\\=&-4100 + \dfrac{1}{2}\\=&-4099\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
(3) $\begin{aligned}&(-\dfrac{1}{24})÷(\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{2}{3})\\=&(-\dfrac{1}{24})÷(\dfrac{18}{24}-\dfrac{20}{24}+\dfrac{16}{24})\\=&(-\dfrac{1}{24})÷\dfrac{14}{24}\\=&(-\dfrac{1}{24})×\dfrac{24}{14}\\=&-\dfrac{1}{14}\end{aligned}$
(4) $\begin{aligned}&-7÷\dfrac{7}{22}+26×(-\dfrac{22}{7})-2×3\dfrac{1}{7}\\=&-7×\dfrac{22}{7} -26×\dfrac{22}{7} -2×\dfrac{22}{7}\\=&\dfrac{22}{7}×(-7 -26 -2)\\=&\dfrac{22}{7}×(-35)\\=&-110\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$；(2) $\boldsymbol{-4099\dfrac{1}{2}}$；(3) $\boldsymbol{-\dfrac{1}{14}}$；(4) $\boldsymbol{-110}$
【知识点】
有理数加减运算，有理数乘除运算，运算律简便计算
【点评】
本题重点考察有理数混合运算的运算顺序和运算律的灵活运用，解题时先观察算式特征，优先用简便方法计算，能有效降低计算量、减少出错概率。
【难度系数】
0.7
15 若在如图所示的各个圆圈内填上适当的数,使每个圆圈内的数都等于与它相邻的两个数的和,求$a+b+c+d$的值.
答案
由题意,知$a+(-2)=-1,-1+d=-2$,所以$a=1,d=-1$.所以$c+(-2)=-1,-1+b=1$.所以$c=1,b=2$.所以$a+b+c+d=1+2+1+(-1)=3$
解析
【分析】
解题时首先紧扣“每个圆圈内的数都等于与它相邻的两个数的和”的规则，从已知数值的-1、-2两个圆圈入手，先列等式求出和已知数直接相邻的未知数a、d，再依次推导c、b的值，最后代入计算四个字母的和即可。
【解析】
解：根据题意，每个圆圈内的数等于相邻两个数的和，逐步计算：
1. 数-1的相邻数为a和-2，因此$a+(-2)=-1$，解得$a=-1-(-2)=1$
2. 数-2的相邻数为-1和d，因此$-1+d=-2$，解得$d=-2-(-1)=-1$
3. 数d=-1的相邻数为-2和c，因此$c+(-2)=-1$，解得$c=-1-(-2)=1$
4. 数a=1的相邻数为b和-1，因此$-1+b=1$，解得$b=1+1=2$
将所得值代入求和：
$a+b+c+d=1+2+1+(-1)=3$
【答案】
3
【知识点】
有理数加减运算；代数式求值
【点评】
本题的解题关键是找准每个数对应的相邻数，从已知量出发逐步推导未知量，计算时注意有理数加减的符号规则，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先紧扣“每个圆圈内的数都等于与它相邻的两个数的和”的规则，从已知数值的-1、-2两个圆圈入手，先列等式求出和已知数直接相邻的未知数a、d，再依次推导c、b的值，最后代入计算四个字母的和即可。
【解析】
解：根据题意，每个圆圈内的数等于相邻两个数的和，逐步计算：
1. 数-1的相邻数为a和-2，因此$a+(-2)=-1$，解得$a=-1-(-2)=1$
2. 数-2的相邻数为-1和d，因此$-1+d=-2$，解得$d=-2-(-1)=-1$
3. 数d=-1的相邻数为-2和c，因此$c+(-2)=-1$，解得$c=-1-(-2)=1$
4. 数a=1的相邻数为b和-1，因此$-1+b=1$，解得$b=1+1=2$
将所得值代入求和：
$a+b+c+d=1+2+1+(-1)=3$
【答案】
3
【知识点】
有理数加减运算；代数式求值
【点评】
本题的解题关键是找准每个数对应的相邻数，从已知量出发逐步推导未知量，计算时注意有理数加减的符号规则，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
16 小华在课外书中看到这样一道题：
计算$\frac{1}{36}÷(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})÷\frac{1}{36}$.
他发现这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利地解答了这道题.
（1）前后两部分之间存在着什么关系？
（2）先计算哪部分比较简便？请计算比较简便的那部分.
（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果.
（4）根据以上分析，求出原式的结果.
计算$\frac{1}{36}÷(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})÷\frac{1}{36}$.
他发现这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利地解答了这道题.
（1）前后两部分之间存在着什么关系？
（2）先计算哪部分比较简便？请计算比较简便的那部分.
（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果.
（4）根据以上分析，求出原式的结果.
答案
(1) 前后两部分互为倒数 (2) 先计算后一部分比较简便
$(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}-\dfrac{7}{18}-\dfrac{1}{36})÷ \dfrac{1}{36}=(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}-\dfrac{7}{18}-\dfrac{1}{36})× 36=9+3-14-1=-3$ (3) 因为前后两部分互为倒数,所以$\dfrac{1}{36}÷ (\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}-\dfrac{7}{18}-\dfrac{1}{36})=-\dfrac{1}{3}$ (4) 原式$=-\dfrac{1}{3}+(-3)=-3\dfrac{1}{3}$
$(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}-\dfrac{7}{18}-\dfrac{1}{36})÷ \dfrac{1}{36}=(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}-\dfrac{7}{18}-\dfrac{1}{36})× 36=9+3-14-1=-3$ (3) 因为前后两部分互为倒数,所以$\dfrac{1}{36}÷ (\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}-\dfrac{7}{18}-\dfrac{1}{36})=-\dfrac{1}{3}$ (4) 原式$=-\dfrac{1}{3}+(-3)=-3\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
首先观察算式结构，发现前后两部分的被除数和除数正好互换位置，结合倒数的定义可判断二者关系；再对比两部分的运算，后一部分是分数和除以$\frac{1}{36}$，可转化为乘36，用乘法分配律计算更简便，因此先计算后一部分；再根据倒数关系直接得到前一部分的结果，最后将两部分结果相加即可求出原式的值。
【解析】
(1) 令$A=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36}$，则前部分为$\frac{1}{36}÷A$，后部分为$A÷\frac{1}{36}$，二者被除数和除数互换，因此前后两部分互为倒数。
(2) 后一部分计算更简便，计算过程如下：
$(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})÷\frac{1}{36}$
$=(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})×36$
$=\frac{1}{4}×36+\frac{1}{12}×36-\frac{7}{18}×36-\frac{1}{36}×36$
$=9+3-14-1=-3$
(3) 因为互为倒数的两个数乘积为1，所以前部分的结果是$-3$的倒数，即$\frac{1}{36}÷(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})=-\frac{1}{3}$。
(4) 将两部分结果相加：原式$=-\frac{1}{3}+(-3)=-3\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 前后两部分互为倒数
(2) 先计算后一部分比较简便，结果为$-3$
(3) 另一部分的结果为$-\frac{1}{3}$
(4) 原式的结果为$-3\frac{1}{3}$
【知识点】
倒数的概念；有理数除法运算；乘法分配律
【点评】
本题通过引导观察算式特征，利用倒数关系和乘法分配律简化运算，避免了复杂的分数通分，能有效锻炼学生观察式子结构、灵活选用简便方法的运算能力。
【难度系数】
0.7
首先观察算式结构，发现前后两部分的被除数和除数正好互换位置，结合倒数的定义可判断二者关系；再对比两部分的运算，后一部分是分数和除以$\frac{1}{36}$，可转化为乘36，用乘法分配律计算更简便，因此先计算后一部分；再根据倒数关系直接得到前一部分的结果，最后将两部分结果相加即可求出原式的值。
【解析】
(1) 令$A=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36}$，则前部分为$\frac{1}{36}÷A$，后部分为$A÷\frac{1}{36}$，二者被除数和除数互换，因此前后两部分互为倒数。
(2) 后一部分计算更简便，计算过程如下：
$(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})÷\frac{1}{36}$
$=(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})×36$
$=\frac{1}{4}×36+\frac{1}{12}×36-\frac{7}{18}×36-\frac{1}{36}×36$
$=9+3-14-1=-3$
(3) 因为互为倒数的两个数乘积为1，所以前部分的结果是$-3$的倒数，即$\frac{1}{36}÷(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36})=-\frac{1}{3}$。
(4) 将两部分结果相加：原式$=-\frac{1}{3}+(-3)=-3\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 前后两部分互为倒数
(2) 先计算后一部分比较简便，结果为$-3$
(3) 另一部分的结果为$-\frac{1}{3}$
(4) 原式的结果为$-3\frac{1}{3}$
【知识点】
倒数的概念；有理数除法运算；乘法分配律
【点评】
本题通过引导观察算式特征，利用倒数关系和乘法分配律简化运算，避免了复杂的分数通分，能有效锻炼学生观察式子结构、灵活选用简便方法的运算能力。
【难度系数】
0.7
