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9. 如图,在平面直角坐标系中,$△ ABC$的顶点$A$在第一象限,点$B,C$的坐标分别为$(2,1),(6,1)$,$∠ BAC = 90°$,$AB = AC$,直线$AB$交$y$轴于点$P$.若$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于点$P$成中心对称,则点$A'$的坐标为______.
答案
$(-4,-5)$
10. 若点 A 的坐标是$(a,b)$，且 $a,b$ 满足$\sqrt{a-3}+b^2+4b+4=0$，求点 A 关于原点 O 的对称点$A'$的坐标.
$A'$
第9题
$A'$
第9题
答案
解：因为$\sqrt{a - 3}+b^{2}+4b + 4 = 0，$将$b^{2}+4b + 4$变形为$(b + 2)^{2}，$则$\sqrt{a - 3}+(b + 2)^{2}=0。$ 因为$\sqrt{a - 3}\geq0，$$(b + 2)^{2}\geq0，$要使$\sqrt{a - 3}+(b + 2)^{2}=0$成立，则$\begin{cases}a - 3 = 0\\b + 2 = 0\end{cases}，$ 解得$\begin{cases}a = 3\\b = - 2\end{cases}，$所以点$A$的坐标为$(3,-2)。$ 根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标都互为相反数，所以点$A$关于原点$O$的对称点$A'$的坐标为$(-3,2)。$
11. 在由边长为1个单位长度的正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，$△ ABC$ 的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）作出$△ ABC$ 向左平移4个单位长度后得到的$△ A_{1}B_{1}C_{1}$，并写出点$C_{1}$的坐标；
（2）作出$△ ABC$ 关于原点$O$对称的$△ A_{2}B_{2}C_{2}$，并写出点$C_{2}$的坐标；
（3）已知$△ ABC$ 关于直线$l$对称的$△ A_{3}B_{3}C_{3}$的顶点$A_{3}$的坐标为$(-4,-2)$，请直接写出直线$l$对应的函数解析式。
（1）作出$△ ABC$ 向左平移4个单位长度后得到的$△ A_{1}B_{1}C_{1}$，并写出点$C_{1}$的坐标；
（2）作出$△ ABC$ 关于原点$O$对称的$△ A_{2}B_{2}C_{2}$，并写出点$C_{2}$的坐标；
（3）已知$△ ABC$ 关于直线$l$对称的$△ A_{3}B_{3}C_{3}$的顶点$A_{3}$的坐标为$(-4,-2)$，请直接写出直线$l$对应的函数解析式。
答案
解: （1）点$C_1$的坐标为$(-1,2)。$ （2）点$C_2$的坐标为$(-3,-2)。$ （3）直线$l$对应的函数解析式为$y=-x。$ ;
12. 如图,在平面直角坐标系中,点$A,B,C$的坐标分别为$(1,0),(0,1),(-1,0)$.一个电动玩具从坐标原点$O$出发,第一次跳跃到点$P_1$,使得点$P_1$与点$O$关于点$A$成中心对称;第二次跳跃到点$P_2$,使得点$P_2$与点$P_1$关于点$B$成中心对称;第三次跳跃到点$P_3$,使得点$P_3$与点$P_2$关于点$C$成中心对称;第四次跳跃到点$P_4$,使得点$P_4$与点$P_3$关于点$A$成中心对称;第五次跳跃到点$P_5$,使得点$P_5$与点$P_4$关于点$B$成中心对称……照此规律重复下去,试求点$P_7,P_{2025}$的坐标.
答案
解：根据题意，
因为点$A(1,0)，$点$O(0,0)，$点$P_1$与点$O$关于点$A$成中心对称，设$P_1(x_1,y_1)，$根据中点坐标公式$\frac{0 + x_1}{2}=1，$$\frac{0 + y_1}{2}=0，$解得$x_1 = 2，$$y_1 = 0，$所以$P_1(2,0)；$ 因为点$B(0,1)，$点$P_2$与点$P_1$关于点$B$成中心对称，设$P_2(x_2,y_2)，$则$\frac{2 + x_2}{2}=0，$$\frac{0 + y_2}{2}=1，$解得$x_2=-2，$$y_2 = 2，$所以$P_2(-2,2)；$ 因为点$C(-1,0)，$点$P_3$与点$P_2$关于点$C$成中心对称，设$P_3(x_3,y_3)，$则$\frac{-2 + x_3}{2}=-1，$$\frac{2 + y_3}{2}=0，$解得$x_3 = 0，$$y_3=-2，$所以$P_3(0,-2)；$ 因为点$A(1,0)，$点$P_4$与点$P_3$关于点$A$成中心对称，设$P_4(x_4,y_4)，$则$\frac{0 + x_4}{2}=1，$$\frac{-2 + y_4}{2}=0，$解得$x_4 = 2，$$y_4 = 2，$所以$P_4(2,2)；$ 因为点$B(0,1)，$点$P_5$与点$P_4$关于点$B$成中心对称，设$P_5(x_5,y_5)，$则$\frac{2 + x_5}{2}=0，$$\frac{2 + y_5}{2}=1，$解得$x_5=-2，$$y_5 = 0，$所以$P_5(-2,0)；$ 因为点$C(-1,0)，$点$P_6$与点$P_5$关于点$C$成中心对称，设$P_6(x_6,y_6)，$则$\frac{-2 + x_6}{2}=-1，$$\frac{0 + y_6}{2}=0，$解得$x_6 = 0，$$y_6 = 0，$所以$P_6(0,0)。$ 由此可得每$6$个点循环一次。 因为$7\div6 = 1\cdots\cdots1，$所以点$P_7$的坐标与$P_1$的坐标相同，为$(2,0)。$ 因为$2025\div6 = 337\cdots\cdots3，$所以点$P_{2025}$的坐标与点$P_3$的坐标一致，即点$P_{2025}$的坐标为$(0,-2)。$
因为点$A(1,0)，$点$O(0,0)，$点$P_1$与点$O$关于点$A$成中心对称，设$P_1(x_1,y_1)，$根据中点坐标公式$\frac{0 + x_1}{2}=1，$$\frac{0 + y_1}{2}=0，$解得$x_1 = 2，$$y_1 = 0，$所以$P_1(2,0)；$ 因为点$B(0,1)，$点$P_2$与点$P_1$关于点$B$成中心对称，设$P_2(x_2,y_2)，$则$\frac{2 + x_2}{2}=0，$$\frac{0 + y_2}{2}=1，$解得$x_2=-2，$$y_2 = 2，$所以$P_2(-2,2)；$ 因为点$C(-1,0)，$点$P_3$与点$P_2$关于点$C$成中心对称，设$P_3(x_3,y_3)，$则$\frac{-2 + x_3}{2}=-1，$$\frac{2 + y_3}{2}=0，$解得$x_3 = 0，$$y_3=-2，$所以$P_3(0,-2)；$ 因为点$A(1,0)，$点$P_4$与点$P_3$关于点$A$成中心对称，设$P_4(x_4,y_4)，$则$\frac{0 + x_4}{2}=1，$$\frac{-2 + y_4}{2}=0，$解得$x_4 = 2，$$y_4 = 2，$所以$P_4(2,2)；$ 因为点$B(0,1)，$点$P_5$与点$P_4$关于点$B$成中心对称，设$P_5(x_5,y_5)，$则$\frac{2 + x_5}{2}=0，$$\frac{2 + y_5}{2}=1，$解得$x_5=-2，$$y_5 = 0，$所以$P_5(-2,0)；$ 因为点$C(-1,0)，$点$P_6$与点$P_5$关于点$C$成中心对称，设$P_6(x_6,y_6)，$则$\frac{-2 + x_6}{2}=-1，$$\frac{0 + y_6}{2}=0，$解得$x_6 = 0，$$y_6 = 0，$所以$P_6(0,0)。$ 由此可得每$6$个点循环一次。 因为$7\div6 = 1\cdots\cdots1，$所以点$P_7$的坐标与$P_1$的坐标相同，为$(2,0)。$ 因为$2025\div6 = 337\cdots\cdots3，$所以点$P_{2025}$的坐标与点$P_3$的坐标一致，即点$P_{2025}$的坐标为$(0,-2)。$
