1. 下列函数:①$y=2x-1$;②$y=-2x^2-1$;③$y=3x^3-2x^2$;④$y=2(x+3)^2-2x^2$;⑤$y=ax^2+bx+c$;⑥$y=x^2+\frac{1}{x}+$
5. 其中是二次函数的有(填序号).

解：
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，且$a≠0$）的函数为二次函数，逐一判断：
①$y=2x-1$是一次函数，不符合二次函数定义；
②$y=-2x^2-1$符合二次函数定义，是二次函数；
③$y=3x^3-2x^2$自变量的最高次数为3，不是二次函数；
④化简$y=2(x+3)^2-2x^2$，得$y=12x+18$，属于一次函数，不符合二次函数定义；
⑤$y=ax^2+bx+c$未明确说明$a≠0$，不一定是二次函数；
⑥$y=x^2+\frac{1}{x}+5$含有分式$\frac{1}{x}$，不是整式函数，不符合二次函数定义。
综上，是二次函数的为②。

2.若$y=(m-1)x^{m^2 +1}+1$是关于$x$的二次函数，则$m$的值是.

解：
由二次函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2 + 1 = 2 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 + 1 = 2$，得$m^2=1$，即$m=\pm1$。
由$m - 1 ≠ 0$得$m ≠ 1$。
综上，$m=-1$。

3.二次函数$y=ax^2$中，当$x=1$时，$y=2$，则$a=$。

$\boldsymbol{2}$

解：
将$x=1$，$y=2$代入二次函数$y=ax^2$，得
$2 = a · 1^2$
解得$a=2$。
最终

4.填表：

解：
1. 对于$y=(2x-1)(x+3)$：
展开得$y=2x^2+6x-x-3=2x^2+5x-3$
一般形式：$y=2x^2+5x-3$，二次项系数：$2$，一次项系数：$5$，常数项：$-3$
2. 对于$y=x^2+(x+1)^2$：
展开得$y=x^2+x^2+2x+1=2x^2+2x+1$
一般形式：$y=2x^2+2x+1$，二次项系数：$2$，一次项系数：$2$，常数项：$1$
3. 对于$y=(3-x)(3+x)$：
展开得$y=9-x^2=-x^2+9$
一般形式：$y=-x^2+9$，二次项系数：$-1$，一次项系数：$0$，常数项：$9$
填表结果：
|二次函数|一般形式|二次项系数|一次项系数|常数项|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|$y=(2x-1)(x+3)$|$y=2x^2+5x-3$|$2$|$5$|$-3$|
|$y=x^2+(x+1)^2$|$y=2x^2+2x+1$|$2$|$2$|$1$|
|$y=(3-x)(3+x)$|$y=-x^2+9$|$-1$|$0$|$9$|

5.如图,有长为 24 m 的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为 10 m)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃.设花圃垂直于墙的一边 AB 的长为 x m,花圃的面积为 y m².
(1)写出 y 关于 x 的函数解析式,并指出这是一个什么函数;
(2)直接写出自变量 x 的取值范围:;
(3)如果要围成面积为 45 m² 的花圃,那么 AB 的长应该为多少米?

解：
(1) 由题意得，花圃平行于墙的一边长为$(24 - 3x)\ \mathrm{m}$，
则 $y = x(24 - 3x) = -3x^2 + 24x$，
该函数是二次函数。
(2) $\boldsymbol{\frac{14}{3} ≤ x ＜ 8}$
(3) 令$y=45$，得方程：
$-3x^2 + 24x = 45$
整理得：$x^2 - 8x + 15 = 0$
因式分解得：$(x - 3)(x - 5) = 0$
解得：$x_1=3$，$x_2=5$
由$\frac{14}{3} ≤ x ＜ 8$可知，$x=3$不符合题意，舍去，
因此$x=5$。
答：AB的长应该为5米。

6. 提升题 如图，E,F分别是正方形ABCD的边BC,CD上的两点，且$CE=CF$，$AB=4$，分别连接AE,EF,AF.
(1)设$CE=x$，$△ AEF$的面积为$y$，求$y$关于$x$的函数解析式及$x$的取值范围；
(2)若$△ AEF$的面积为$3.5$，求此时$CE$的长.

解：
(1) ∵ 四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴ 正方形ABCD的面积为$4×4=16$，$BC=CD=4$，$∠ B=∠ D=∠ C=90°$。
∵ $CE=CF=x$，
∴ $BE=BC-CE=4-x$，$DF=CD-CF=4-x$。
∴ $S_{△ ABE}=\frac{1}{2}· AB· BE=\frac{1}{2}×4×(4-x)=8-2x$，
$S_{△ ADF}=\frac{1}{2}· AD· DF=\frac{1}{2}×4×(4-x)=8-2x$，
$S_{△ ECF}=\frac{1}{2}· CE· CF=\frac{1}{2}x^2$。
∴ $△ AEF$的面积：
$\begin{aligned}y&=S_{\mathrm{正方形}ABCD}-S_{△ ABE}-S_{△ ADF}-S_{△ ECF}\\&=16-(8-2x)-(8-2x)-\frac{1}{2}x^2\\&=-\frac{1}{2}x^2+4x\end{aligned}$
由题意可知E、F在边BC、CD上且$△ AEF$存在，因此$x$的取值范围是$0＜x≤4$。
(2) 把$y=3.5$代入$y=-\frac{1}{2}x^2+4x$，得：
$-\frac{1}{2}x^2+4x=3.5$
整理得：$x^2-8x+7=0$，
解得：$x_1=1$，$x_2=7$。
∵ $0＜x≤4$，
∴ $x=7$不符合题意，舍去，即$x=1$。
答：此时CE的长为1。