1.已知二次函数$y=x^2+2x-3$，分别求出在下列条件下函数的最值：
(1)$-2≤ x≤2$；
(2)$0≤ x≤2$；
(3)$-4≤ x≤-3$。

解：先将二次函数解析式配方得：
$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$
该函数图象开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$。
(1) 当$-2≤ x≤ 2$时，对称轴$x=-1$在取值范围内：
当$x=-1$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}}=-4$；
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=(-2+1)^2-4=-3$；
当$x=2$时，$y=(2+1)^2-4=5$；
比较得$y_{\mathrm{max}}=5$。
(2) 当$0≤ x≤ 2$时，对称轴$x=-1$在取值范围左侧，函数在该区间内$y$随$x$的增大而增大：
当$x=0$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}}=0^2+2×0-3=-3$；
当$x=2$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{max}}=2^2+2×2-3=5$。
(3) 当$-4≤ x≤ -3$时，对称轴$x=-1$在取值范围右侧，函数在该区间内$y$随$x$的增大而减小：
当$x=-4$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{max}}=(-4)^2+2×(-4)-3=5$；
当$x=-3$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}}=(-3)^2+2×(-3)-3=0$。
综上：
(1) 最小值为$-4$，最大值为$5$；
(2) 最小值为$-3$，最大值为$5$；
(3) 最小值为$0$，最大值为$5$。

【分析】
解决定区间内二次函数的最值问题，首先需要将二次函数解析式配方，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标；再判断对称轴和给定x取值区间的位置关系：若对称轴在区间内，开口向上时最小值在顶点处取得，最大值需要比较区间两个端点的函数值；若对称轴在区间的左侧或右侧，函数在区间上具备单调性，最值直接在区间的两个端点处取得，最后代入计算即可得到对应最值。
【解析】
先将二次函数解析式配方得：
$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$
该函数图象开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$。
(1) 当$-2≤ x≤ 2$时，对称轴$x=-1$在取值范围内：
开口向上，顶点处函数值最小，当$x=-1$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}}=-4$；
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=(-2+1)^2-4=-3$；
当$x=2$时，$y=(2+1)^2-4=5$；
比较得$y_{\mathrm{max}}=5$。
(2) 当$0≤ x≤ 2$时，对称轴$x=-1$在取值范围左侧，区间在对称轴右侧，函数在该区间内$y$随$x$的增大而增大：
当$x=0$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}}=0^2+2×0-3=-3$；
当$x=2$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{max}}=2^2+2×2-3=5$。
(3) 当$-4≤ x≤ -3$时，对称轴$x=-1$在取值范围右侧，区间在对称轴左侧，函数在该区间内$y$随$x$的增大而减小：
当$x=-4$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{max}}=(-4)^2+2×(-4)-3=5$；
当$x=-3$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}}=(-3)^2+2×(-3)-3=0$。
【答案】
(1) 最小值为$-4$，最大值为$5$；
(2) 最小值为$-3$，最大值为$5$；
(3) 最小值为$0$，最大值为$5$。
【知识点】
二次函数配方；二次函数图象性质；定区间二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数最值的基础典型题，解题核心是判断对称轴与给定区间的位置关系，结合函数单调性比较顶点、区间端点的函数值即可得到结果，掌握该方法可快速解决同类定区间二次函数最值问题。
【难度系数】
0.7

2. 已知抛物线$y=(x+m)^2+b$经过$A(-1,0)$，$B(3,0)$两点.
(1)求抛物线对应的函数表达式和顶点坐标；
(2)当$0＜x＜3$时，求$y$的取值范围.

(1)抛物线对应的函数表达式为$y=(x-1)^2-4$,其顶点坐标为$(1,-4)$.
(2)$-4≤y＜0$

【分析】
(1) 已知抛物线的顶点式表达式且经过两个已知点，解题时可先将两点坐标分别代入抛物线解析式，得到关于参数m、b的二元一次方程组，解方程组求出m、b的值即可确定函数表达式；再根据顶点式的特征直接得出顶点坐标。
(2) 求指定区间内y的取值范围，先根据二次项系数判断抛物线开口方向，再结合对称轴分析函数在区间内的增减性，找到区间内的最小值和最大值边界，即可确定y的取值范围。
【解析】
(1) 把$A(-1,0)$、$B(3,0)$分别代入$y=(x+m)^2+b$，可得方程组：
$\begin{cases}(-1+m)^2 + b = 0 \\(3+m)^2 + b = 0\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得：
$(3+m)^2 - (-1+m)^2 = 0$
展开计算：$9+6m+m^2 - (1-2m+m^2) = 0$
化简得：$8+8m=0$，解得$m=-1$
将$m=-1$代入$(-1+m)^2 + b = 0$，得：$(-1-1)^2 + b = 0$，解得$b=-4$
因此抛物线的函数表达式为$y=(x-1)^2-4$，根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，可得顶点坐标为$(1,-4)$。
(2) 由函数表达式可知抛物线二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
当$x=1$时，$y$取得最小值$-4$，且$x=1$在$0＜x＜3$的区间内，因此最小值可取。
再分析区间端点的函数值：当$x=3$时，$y=0$，当$x=0$时，$y=(0-1)^2-4=-3$，结合抛物线的增减性：在$0＜x＜1$时$y$随$x$增大而减小，在$1＜x＜3$时$y$随$x$增大而增大，可知区间内$y$的最大值趋近于0但取不到。
因此当$0＜x＜3$时，$y$的取值范围是$-4≤y＜0$。
【答案】
(1) 抛物线对应的函数表达式为$y=(x-1)^2-4$，其顶点坐标为$(1,-4)$；
(2) $-4≤y＜0$
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 二次函数顶点坐标
3. 二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，既考查了利用待定系数法求函数解析式的基本方法，又考查了结合开口方向、对称轴分析函数增减性，进而求解指定区间内函数值范围的核心能力，是二次函数性质应用的典型习题。
【难度系数】
0.8