1. 已知二次函数的图象经过点$(1,4),(-1,-2),(2,13)$，求该二次函数的表达式。

$y=2x^2+3x-1$

【分析】
已知二次函数图象经过三个普通点的坐标，未给出顶点、与x轴交点等特殊信息，因此选择设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$求解。解题思路为：将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于$a,b,c$的三元一次方程组，解方程组求出三个系数的值，再代回一般式即可得到二次函数表达式。
【解析】
设该二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
将点$(1,4),(-1,-2),(2,13)$分别代入表达式，可得：
$\begin{cases}a + b + c = 4&①\\a - b + c = -2&②\\4a + 2b + c = 13&③\end{cases}$
用①$-$②，得：$2b=6$，解得$b=3$。
把$b=3$代入①，得$a + c = 1$ ④；
把$b=3$代入③，得$4a + c =7$ ⑤。
用⑤$-$④，得：$3a=6$，解得$a=2$。
把$a=2$代入④，得$2 + c=1$，解得$c=-1$。
将$a=2,b=3,c=-1$代入所设一般式，得二次函数表达式为$y=2x^2+3x-1$。
【答案】
$y=2x^2+3x-1$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 三元一次方程组的解法
3. 二次函数的一般式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础常考题，核心考查待定系数法的应用，解题关键是根据已知点的特征选择合适的函数表达式形式，熟练掌握三元一次方程组的运算就能顺利求解。
【难度系数】
0.8

2. 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴的交点是$(-1,0),(3,0)$。
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的最高点到$x$轴的距离为4，求该抛物线对应的函数表达式。

(1)该抛物线的对称轴为直线 $x=\frac{-1+3}{2}=1$.
(2)$y=-x^2+2x+3$

【分析】
（1）已知抛物线与x轴的两个交点坐标，根据二次函数的轴对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴为两个交点横坐标的平均值对应的直线。
（2）求函数表达式时，已知抛物线与x轴的两个交点，可先设二次函数的交点式简化计算；由“最高点”可知抛物线开口向下，参数a＜0，最高点即顶点，在对称轴上，将对称轴x=1代入交点式可得到顶点纵坐标，结合最高点到x轴的距离为4，即可求出参数a的值，最后整理为一般式即可。
【解析】
(1)
∵ 抛物线与x轴的交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，两点关于抛物线的对称轴对称
∴ 对称轴为直线 $x=\frac{-1+3}{2}=1$
(2) 设抛物线的解析式为$y=a(x+1)(x-3)$（$a≠0$）
∵ 抛物线存在最高点，
∴ 抛物线开口向下，即$a＜0$
顶点在对称轴$x=1$上，将$x=1$代入解析式得：
$y=a(1+1)(1-3)=-4a$
∵ 最高点到x轴的距离为4，且最高点在x轴上方，
∴ 顶点纵坐标为4
即$-4a=4$，解得$a=-1$
将$a=-1$代入解析式并展开：
$y=-(x+1)(x-3)=-(x^2-2x-3)=-x^2+2x+3$
【答案】
(1) 直线$x=1$；(2) $y=-x^2+2x+3$
【知识点】
二次函数的对称性、二次函数交点式、二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础常考题，解题核心是利用抛物线与x轴交点的对称性简化运算，结合顶点的坐标特征求参数，解题时要注意“最高点”对应的开口方向，避免参数符号出错。
【难度系数】
0.8

3. 将二次函数$y=(x-4)^2+5$的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的函数图象对应的表达式是。

$y=(x-1)^2+4$

【分析】
这是一道二次函数图象平移的题目，解题核心是掌握二次函数的平移规律。我们可以从两个方向入手思考：①利用平移口诀“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对常数项）”直接对原函数解析式进行变形；②先确定原二次函数的顶点坐标，根据平移规则算出平移后的顶点坐标，再结合平移不改变二次项系数a的性质，代入顶点式得到新解析式。
【解析】
方法一：利用平移规律求解
二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规则，其中左右平移是对自变量x进行操作，上下平移是对函数整体的常数项进行操作。
原函数为$y=(x-4)^2+5$：
1. 向左平移3个单位长度：将x替换为$x+3$，得$y=(x-4+3)^2+5=(x-1)^2+5$；
2. 再向下平移1个单位长度：将整体减去1，得$y=(x-1)^2+5-1=(x-1)^2+4$。
方法二：利用顶点平移求解
原二次函数$y=(x-4)^2+5$是顶点式，顶点坐标为$(4,5)$。
向左平移3个单位长度，横坐标减3：$4-3=1$；
向下平移1个单位长度，纵坐标减1：$5-1=4$；
平移后新顶点坐标为$(1,4)$，平移不改变二次项系数$a=1$，代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$得新解析式为$y=(x-1)^2+4$。
【答案】
$y=(x-1)^2+4$
【知识点】
二次函数图象平移规律、二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查平移规律的应用，解题时要注意“左加右减”是对自变量x本身进行加减操作，避免出现将括号内整体加减的错误，熟练掌握规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4.已知二次函数$y=-x^2+3x-1$，则其图象关于x轴对称的二次函数的表达式为.

$y=x^2-3x+1$

【分析】
要解决这个问题，首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：若两点关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数。我们可以设所求函数图像上任意一点的坐标为(x,y)，找到它关于x轴对称的点的坐标，该点在原二次函数的图像上，代入原函数表达式变形后即可得到所求的函数表达式。
【解析】
设点P(x,y)是所求的关于x轴对称的二次函数图像上的任意一点，则点P关于x轴的对称点$P'(x,-y)$在原二次函数$y=-x^2+3x-1$的图像上。
将$P'(x,-y)$代入原函数表达式，得：
$-y=-x^2+3x-1$
等式两边同时乘以-1，整理得：
$y=x^2-3x+1$
【答案】
$y=x^2-3x+1$
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征，二次函数图像变换，二次函数表达式求解
【点评】
本题属于基础题型，考查二次函数的轴对称变换，解题的关键是熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，也可通过先求原函数顶点坐标、再求对称后的顶点坐标、结合开口方向变化写出表达式，两种方法可互相验证。
【难度系数】
0.8

5. 已知二次函数 $y=\frac{1}{3}x^2 -2x -4$，则其图象关于y轴对称的二次函数的表达式为。
方法总结
(1)关于x轴对称.
抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 关于x轴对称后,得到抛物线 $y=-ax^2 -bx -c$；
抛物线 $y=a(x-h)^2 +k$ 关于x轴对称后,得到抛物线 $y=-a(x-h)^2 -k$.
(2)关于y轴对称.
抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 关于y轴对称后,得到抛物线 $y=ax^2 -bx +c$；
抛物线 $y=a(x-h)^2 +k$ 关于y轴对称后,得到抛物线 $y=a(x+h)^2 +k$.

$y=\frac{1}{3}x^2+2x-4$

【分析】
本题要求已知二次函数关于y轴对称的解析式，可从两个角度思考：① 利用坐标对称的性质：关于y轴对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，因此只需将原函数解析式中的x替换为-x，化简后即可得到对称后的解析式；② 直接利用二次函数一般式关于y轴对称的变换规律：a和c不变，b变为原来的相反数，代入系数计算即可。
【解析】
方法一：利用对称点坐标特征推导
设所求对称后的二次函数图象上任意一点坐标为$(x,y)$，则该点关于y轴对称的点$(-x,y)$在原二次函数$y=\frac{1}{3}x^2 -2x -4$的图象上，将$x$替换为$-x$代入原解析式：
$y=\frac{1}{3}×(-x)^2 -2×(-x) -4$
化简得：$y=\frac{1}{3}x^2 +2x -4$
方法二：利用对称变换规律求解
原二次函数为一般式$y=ax^2+bx+c$，其中$a=\frac{1}{3}$，$b=-2$，$c=-4$。
根据二次函数关于y轴对称的变换规律：对称后解析式为$y=ax^2 -bx +c$，代入系数得：
$y=\frac{1}{3}x^2 - (-2)x + (-4)$
即$y=\frac{1}{3}x^2 +2x -4$
【答案】
$y=\frac{1}{3}x^2+2x-4$
【知识点】
二次函数的对称变换；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数图象变换的基础题型，既可以通过坐标对称的本质推导解析式，也可以通过记忆对称变换的规律快速得出结果，熟练掌握两种方法可提高解题效率。
【难度系数】
0.8

6. 二次函数$y=x^2+ax+3$顶点运动轨迹的函数表达式为。

$y=-x^2+3$

【分析】
要确定二次函数顶点的运动轨迹，需先找到顶点横、纵坐标的关系。首先利用二次函数顶点坐标公式，将顶点的横、纵坐标用含参数a的式子表示，再通过消去参数a，即可得到顶点运动轨迹的函数表达式。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+ax+3$，其中二次项系数$A=1$，一次项系数$B=a$，常数项$C=3$。
根据二次函数顶点坐标公式，顶点的横坐标为：
$x=-\frac{B}{2A}=-\frac{a}{2×1}=-\frac{a}{2}$ ①
顶点的纵坐标为：
$y=\frac{4AC-B^2}{4A}=\frac{4×1×3 - a^2}{4×1}=\frac{12 - a^2}{4}=3-\frac{a^2}{4}$ ②
由①式变形得$a=-2x$，将其代入②式：
$y=3-\frac{(-2x)^2}{4}=3-\frac{4x^2}{4}=3-x^2$
即$y=-x^2+3$。
【答案】
$y=-x^2+3$
【知识点】
二次函数顶点坐标公式、消元法求函数关系式
【点评】
本题属于二次函数的基础综合题，解题关键是熟练掌握二次函数顶点坐标的计算方法，通过参数作为中间量建立顶点横纵坐标的联系，消去参数即可得到轨迹方程。
【难度系数】
0.7

7.已知二次函数$y=-\frac{1}{4}(x-3m)^2+3-3m$（m为实数）.
（1）小明说：“当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动.”你认同他的说法吗？请说明理由.
（2）已知点$A(a-5,c)$，$B(6m+4,c)$都在该二次函数的图象上（点A，B不重合），求证：$c≤8$.

(1)认同.
理由:
∵抛物线的顶点坐标为$(3m,3-3m)$,$3m+3-3m=3$,
∴点$(3m,3-3m)$在$y=-x+3$上,
∴当$m$的值变化时,二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动.
(2)
∵$A(a-5,c),B(6m+4,c)$都在该二次函数的图象上,
∴点A,B关于直线$x=3m$对称,$\therefore \frac{a-5+6m+4}{2}=3m$,解得$a=1$,$\therefore A(-4,c)$,
$\therefore c=-\frac{1}{4}(-4-3m)^2+3-3m=-(\frac{3}{2}m+3)^2+8$,
∵$m$为实数,$\therefore c≤ 8$.

【分析】
（1）要判断顶点是否始终在一条直线上运动，首先根据二次函数顶点式写出顶点坐标，顶点的横、纵坐标均含参数m，通过消去参数m得到横、纵坐标的函数关系，即可确定顶点运动的直线轨迹。
（2）两点纵坐标相同，说明两点关于二次函数的对称轴对称，先结合对称轴公式求出a的值，得到点A的固定横坐标，再将点A代入函数解析式得到c关于m的表达式，利用二次函数的非负性即可求出c的最大值，完成证明。
【解析】
（1）认同，理由如下：
二次函数$y=-\frac{1}{4}(x-3m)^2+3-3m$为顶点式，其顶点坐标为$(3m,3-3m)$。
设顶点横坐标$x=3m$，纵坐标$y=3-3m$，将$3m=x$代入纵坐标表达式得$y=3-x$，即$y=-x+3$。
因此无论m取何值，顶点坐标均满足直线$y=-x+3$的解析式，即m变化时，二次函数图象的顶点始终在直线$y=-x+3$上运动。
（2）证明：
∵点$A(a-5,c)$、$B(6m+4,c)$纵坐标相同，
∴两点关于二次函数的对称轴对称，
该二次函数对称轴为直线$x=3m$，根据对称点横坐标的平均数等于对称轴横坐标，可得：
$\frac{(a-5)+(6m+4)}{2}=3m$
化简得：$a-5+6m+4=6m$，解得$a=1$。
∴点A的横坐标为$a-5=1-5=-4$，即$A(-4,c)$。
将$A(-4,c)$代入二次函数解析式：
$c=-\frac{1}{4}(-4-3m)^2+3-3m$
整理配方得：$c=-(\frac{3}{2}m+3)^2+8$
∵$(\frac{3}{2}m+3)^2≥0$，
∴$-(\frac{3}{2}m+3)^2≤0$，
∴$c=-(\frac{3}{2}m+3)^2+8≤8$，即$c≤8$得证。
【答案】
(1)认同，二次函数顶点始终在直线$y=-x+3$上运动；
(2)证明成立，$c≤8$。
【知识点】
1.二次函数顶点式性质
2.二次函数的对称性
3.二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的典型基础提升题，结合了顶点轨迹判断、对称点性质应用和最值证明，需要熟练掌握二次函数基本性质，同时具备一定的参数化简、配方计算能力。
【难度系数】
0.7