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(外方内圆)和
(外圆内方)中圆的直径都是10 cm，求各图形中涂色部分的面积。
(外方内圆)和(外圆内方)中圆的直径都是10 cm，求各图形中涂色部分的面积。答案
10÷2=5(cm)
图1涂色部分面积：
10×10 - 3.14×5²
=100 - 78.5
=21.5(cm²)
图2涂色部分面积：
3.14×5² - 10×(10÷2)÷2×2
=78.5 - 50
=28.5(cm²)
答：图1中涂色部分的面积是21.5cm²，图2中涂色部分的面积是28.5cm²。
图1涂色部分面积：
10×10 - 3.14×5²
=100 - 78.5
=21.5(cm²)
图2涂色部分面积：
3.14×5² - 10×(10÷2)÷2×2
=78.5 - 50
=28.5(cm²)
答：图1中涂色部分的面积是21.5cm²，图2中涂色部分的面积是28.5cm²。
解析
【分析】
这道题是求两种典型组合图形的涂色面积，解题核心是将涂色面积转化为规则图形的面积差计算。第一步先求出圆的半径：已知圆直径为10cm，半径=直径÷2。对于外方内圆的图1：涂色部分是正方形减去内部的圆，正方形的边长恰好等于圆的直径，分别算出正方形和圆的面积后作差即可。对于外圆内方的图2：涂色部分是圆减去内部的正方形，正方形的对角线恰好等于圆的直径，可将正方形拆分为两个底为直径、高为半径的三角形，先算出正方形面积，再用圆的面积减去正方形面积得到结果。
【解析】
先计算圆的半径：$10÷2=5(\mathrm{cm})$
1. 图1（外方内圆）涂色部分面积：
$\begin{aligned}&10×10 - 3.14×5^2\\=&100 - 78.5\\=&21.5(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
2. 图2（外圆内方）涂色部分面积：
$\begin{aligned}&3.14×5^2 - 10×(10÷2)÷2×2\\=&78.5 - 50\\=&28.5(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
图1中涂色部分的面积是21.5$\mathrm{cm}^2$，图2中涂色部分的面积是28.5$\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
圆的面积计算；正方形面积计算；组合图形面积求解
【点评】
本题属于组合图形面积计算的经典题型，重点考察对图形间数量关系的敏感度，只要找准圆与正方形的边长、对角线的对应关系，就能通过规则图形的面积公式快速求解。
【难度系数】
0.7
这道题是求两种典型组合图形的涂色面积，解题核心是将涂色面积转化为规则图形的面积差计算。第一步先求出圆的半径：已知圆直径为10cm，半径=直径÷2。对于外方内圆的图1：涂色部分是正方形减去内部的圆，正方形的边长恰好等于圆的直径，分别算出正方形和圆的面积后作差即可。对于外圆内方的图2：涂色部分是圆减去内部的正方形，正方形的对角线恰好等于圆的直径，可将正方形拆分为两个底为直径、高为半径的三角形，先算出正方形面积，再用圆的面积减去正方形面积得到结果。
【解析】
先计算圆的半径：$10÷2=5(\mathrm{cm})$
1. 图1（外方内圆）涂色部分面积：
$\begin{aligned}&10×10 - 3.14×5^2\\=&100 - 78.5\\=&21.5(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
2. 图2（外圆内方）涂色部分面积：
$\begin{aligned}&3.14×5^2 - 10×(10÷2)÷2×2\\=&78.5 - 50\\=&28.5(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
图1中涂色部分的面积是21.5$\mathrm{cm}^2$，图2中涂色部分的面积是28.5$\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
圆的面积计算；正方形面积计算；组合图形面积求解
【点评】
本题属于组合图形面积计算的经典题型，重点考察对图形间数量关系的敏感度，只要找准圆与正方形的边长、对角线的对应关系，就能通过规则图形的面积公式快速求解。
【难度系数】
0.7
2 在下面的长方形中画一个最大的半圆，再测量需要的数据，求出剩余部分的面积是多少。
答案
测量得长方形的长为4厘米，宽为2厘米。
$4×2=8$（平方厘米）
$\frac{1}{2}×3.14×2^2=6.28$（平方厘米）
$8-6.28=1.72$（平方厘米）
答：剩余部分的面积是1.72平方厘米。
$4×2=8$（平方厘米）
$\frac{1}{2}×3.14×2^2=6.28$（平方厘米）
$8-6.28=1.72$（平方厘米）
答：剩余部分的面积是1.72平方厘米。
解析
【分析】
要解决这道题可以按三步思考：第一步先确定长方形内最大半圆的规格：要画出最大的半圆，应让半圆的直径等于长方形的长，此时半圆的半径是长的一半，需保证半径不超过长方形的宽，半圆才不会超出长方形边界。第二步测量必要数据：需要测量长方形的长和宽，用来计算长方形面积和半圆的面积。第三步计算剩余面积：剩余部分的面积等于长方形总面积减去半圆的面积，分别代入对应公式计算再作差即可。
【解析】
经测量得长方形的长为4厘米，宽为2厘米，此时最大半圆的直径等于长方形的长4厘米，半径为2厘米，刚好等于长方形的宽，符合要求。
1. 计算长方形面积：
$\mathrm{长方形面积}=\mathrm{长}× \mathrm{宽}=4× 2=8$（平方厘米）
2. 计算半圆面积：
$\mathrm{半圆面积}=\frac{1}{2}× π {r}^{2}$，取$π =3.14$，代入得$\frac{1}{2}× 3.14× {2}^{2}=6.28$（平方厘米）
3. 计算剩余部分面积：
$\mathrm{剩余面积}=\mathrm{长方形面积}-\mathrm{半圆面积}=8-6.28=1.72$（平方厘米）
【答案】
剩余部分的面积是1.72平方厘米。
【知识点】
长方形面积计算、半圆面积计算、组合图形面积计算
【点评】
本题综合考察了动手测量能力和几何图形面积的计算能力，解题的关键是准确判断出长方形内最大半圆的直径、半径与长方形长宽的对应关系，再结合面积公式求解即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题可以按三步思考：第一步先确定长方形内最大半圆的规格：要画出最大的半圆，应让半圆的直径等于长方形的长，此时半圆的半径是长的一半，需保证半径不超过长方形的宽，半圆才不会超出长方形边界。第二步测量必要数据：需要测量长方形的长和宽，用来计算长方形面积和半圆的面积。第三步计算剩余面积：剩余部分的面积等于长方形总面积减去半圆的面积，分别代入对应公式计算再作差即可。
【解析】
经测量得长方形的长为4厘米，宽为2厘米，此时最大半圆的直径等于长方形的长4厘米，半径为2厘米，刚好等于长方形的宽，符合要求。
1. 计算长方形面积：
$\mathrm{长方形面积}=\mathrm{长}× \mathrm{宽}=4× 2=8$（平方厘米）
2. 计算半圆面积：
$\mathrm{半圆面积}=\frac{1}{2}× π {r}^{2}$，取$π =3.14$，代入得$\frac{1}{2}× 3.14× {2}^{2}=6.28$（平方厘米）
3. 计算剩余部分面积：
$\mathrm{剩余面积}=\mathrm{长方形面积}-\mathrm{半圆面积}=8-6.28=1.72$（平方厘米）
【答案】
剩余部分的面积是1.72平方厘米。
【知识点】
长方形面积计算、半圆面积计算、组合图形面积计算
【点评】
本题综合考察了动手测量能力和几何图形面积的计算能力，解题的关键是准确判断出长方形内最大半圆的直径、半径与长方形长宽的对应关系，再结合面积公式求解即可。
【难度系数】
0.7
3 如下图，最外层正方形的边长是6 dm，最里层正方形的面积是多少平方分米？
答案
6÷2=3(dm)
6×3÷2×2=18(dm²)
答：最里层正方形的面积是18平方分米。
6×3÷2×2=18(dm²)
答：最里层正方形的面积是18平方分米。
解析
【分析】
首先观察组合图形的关系：最外层正方形的边长等于内部圆的直径，而最里层正方形的对角线长度等于圆的直径，也就是等于外层正方形的边长6dm。求最里层正方形面积时，不需要计算它的边长，可将其沿对角线拆分为2个完全相同的等腰三角形，三角形的底是正方形的对角线长6dm，高是对角线的一半（即圆的半径），先算单个三角形面积，再乘2即可得到正方形的面积。
【解析】
第一步：计算圆的半径，也就是拆分后三角形的高：
$6÷2=3(\mathrm{dm})$
第二步：最里层正方形的面积等于2个底为6dm、高为3dm的三角形面积之和：
$6×3÷2×2=18(\mathrm{dm}^2)$
【答案】
18平方分米
【知识点】
外方内圆的特征；正方形面积计算；三角形面积计算
【点评】
这道题是典型的组合图形面积计算问题，解题关键是找到内层正方形对角线和外层正方形边长的关系，通过将正方形拆分为三角形的转化方法计算面积，避免了求正方形边长的复杂运算，能很好地锻炼图形转化思维。
【难度系数】
0.7
首先观察组合图形的关系：最外层正方形的边长等于内部圆的直径，而最里层正方形的对角线长度等于圆的直径，也就是等于外层正方形的边长6dm。求最里层正方形面积时，不需要计算它的边长，可将其沿对角线拆分为2个完全相同的等腰三角形，三角形的底是正方形的对角线长6dm，高是对角线的一半（即圆的半径），先算单个三角形面积，再乘2即可得到正方形的面积。
【解析】
第一步：计算圆的半径，也就是拆分后三角形的高：
$6÷2=3(\mathrm{dm})$
第二步：最里层正方形的面积等于2个底为6dm、高为3dm的三角形面积之和：
$6×3÷2×2=18(\mathrm{dm}^2)$
【答案】
18平方分米
【知识点】
外方内圆的特征；正方形面积计算；三角形面积计算
【点评】
这道题是典型的组合图形面积计算问题，解题关键是找到内层正方形对角线和外层正方形边长的关系，通过将正方形拆分为三角形的转化方法计算面积，避免了求正方形边长的复杂运算，能很好地锻炼图形转化思维。
【难度系数】
0.7
4 如右图，在一个圆内作了一个最大的正方形。已知正方形的面积是8 cm²，圆的面积是多少平方厘米？
答案
r² = 8÷2 = 4(cm²)
3.14×4 = 12.56(cm²)
答：圆的面积是12.56平方厘米。
3.14×4 = 12.56(cm²)
答：圆的面积是12.56平方厘米。
解析
【分析】
要计算圆的面积，我们需要用到圆的面积公式$S=π r^2$，所以关键是求出$r^2$的值，不需要单独算出半径$r$。首先观察图形：圆内最大正方形的对角线长度等于圆的直径$d=2r$。正方形的面积除了用“边长×边长”计算，还可以用“对角线×对角线÷2”计算，我们可以通过这个关系建立正方形面积和半径平方$r^2$的联系，进而求出圆的面积。
【解析】
1. 推导$r^2$的值：
圆内最大正方形的对角线等于圆的直径，即$d=2r$。
根据正方形面积的特殊计算方法：$S_{正}=对角线×对角线÷2$，代入对角线$2r$可得：
$S_{正}=2r×2r÷2=2r^2$
已知正方形面积是$8\mathrm{cm}^2$，所以$2r^2=8$，解得$r^2=8÷2=4(\mathrm{cm}^2)$。
2. 计算圆的面积：
代入圆的面积公式$S_{圆}=π r^2$（$π$取3.14）：
$S_{圆}=3.14×4=12.56(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
12.56平方厘米
【知识点】
圆的面积计算、正方形面积计算、圆内接正方形的特征
【点评】
本题的解题核心是灵活转化图形关系，无需直接求出圆的半径，而是通过正方形面积推导得到计算圆面积所需的$r^2$，简化了计算步骤，能有效提升对几何图形关联关系的应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算圆的面积，我们需要用到圆的面积公式$S=π r^2$，所以关键是求出$r^2$的值，不需要单独算出半径$r$。首先观察图形：圆内最大正方形的对角线长度等于圆的直径$d=2r$。正方形的面积除了用“边长×边长”计算，还可以用“对角线×对角线÷2”计算，我们可以通过这个关系建立正方形面积和半径平方$r^2$的联系，进而求出圆的面积。
【解析】
1. 推导$r^2$的值：
圆内最大正方形的对角线等于圆的直径，即$d=2r$。
根据正方形面积的特殊计算方法：$S_{正}=对角线×对角线÷2$，代入对角线$2r$可得：
$S_{正}=2r×2r÷2=2r^2$
已知正方形面积是$8\mathrm{cm}^2$，所以$2r^2=8$，解得$r^2=8÷2=4(\mathrm{cm}^2)$。
2. 计算圆的面积：
代入圆的面积公式$S_{圆}=π r^2$（$π$取3.14）：
$S_{圆}=3.14×4=12.56(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
12.56平方厘米
【知识点】
圆的面积计算、正方形面积计算、圆内接正方形的特征
【点评】
本题的解题核心是灵活转化图形关系，无需直接求出圆的半径，而是通过正方形面积推导得到计算圆面积所需的$r^2$，简化了计算步骤，能有效提升对几何图形关联关系的应用能力。
【难度系数】
0.7
斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是按照一定规律画出圆心角是$90°$的扇形圆弧。如下图，若第1步中扇形的半径是1 cm，那么第5步所画的新扇形面积是()$\mathrm{cm}^2$。
第1步 第2步 第3步 第4步 ……
第1步 第2步 第3步 第4步 ……
答案
19.625
解析
【分析】
解题时首先要观察每一步扇形半径的变化规律：后一步新扇形的半径等于前两步扇形半径之和，符合斐波那契数列的特征。先根据规律算出第5步扇形的半径，再结合圆心角为90°的扇形面积是对应圆面积的$\frac{1}{4}$，代入面积公式计算即可。
【解析】
首先推导每一步扇形的半径：
第1步扇形半径$r_1=1\mathrm{cm}$
第2步扇形半径$r_2=1\mathrm{cm}$
第3步扇形半径$r_3=r_1+r_2=1+1=2\mathrm{cm}$
第4步扇形半径$r_4=r_2+r_3=1+2=3\mathrm{cm}$
第5步扇形半径$r_5=r_3+r_4=2+3=5\mathrm{cm}$
已知扇形圆心角为90°，其面积是对应整圆面积的$\frac{1}{4}$，圆的面积公式为$S_{\mathrm{圆}}=π r^2$（$π$取3.14），则第5步扇形面积：
$S=\frac{1}{4}×π× r_5^2=\frac{1}{4}×3.14×5^2=\frac{1}{4}×3.14×25=19.625\mathrm{cm}^2$
【答案】
19.625
【知识点】
扇形面积计算；规律探究；圆的面积计算
【点评】
本题将图形规律探究和扇形面积计算结合，既需要学生观察总结半径的变化规律，又要求熟练运用扇形面积公式计算，较好地考查了学生的观察分析能力和公式应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要观察每一步扇形半径的变化规律：后一步新扇形的半径等于前两步扇形半径之和，符合斐波那契数列的特征。先根据规律算出第5步扇形的半径，再结合圆心角为90°的扇形面积是对应圆面积的$\frac{1}{4}$，代入面积公式计算即可。
【解析】
首先推导每一步扇形的半径：
第1步扇形半径$r_1=1\mathrm{cm}$
第2步扇形半径$r_2=1\mathrm{cm}$
第3步扇形半径$r_3=r_1+r_2=1+1=2\mathrm{cm}$
第4步扇形半径$r_4=r_2+r_3=1+2=3\mathrm{cm}$
第5步扇形半径$r_5=r_3+r_4=2+3=5\mathrm{cm}$
已知扇形圆心角为90°，其面积是对应整圆面积的$\frac{1}{4}$，圆的面积公式为$S_{\mathrm{圆}}=π r^2$（$π$取3.14），则第5步扇形面积：
$S=\frac{1}{4}×π× r_5^2=\frac{1}{4}×3.14×5^2=\frac{1}{4}×3.14×25=19.625\mathrm{cm}^2$
【答案】
19.625
【知识点】
扇形面积计算；规律探究；圆的面积计算
【点评】
本题将图形规律探究和扇形面积计算结合，既需要学生观察总结半径的变化规律，又要求熟练运用扇形面积公式计算，较好地考查了学生的观察分析能力和公式应用能力。
【难度系数】
0.7
