14.某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理.计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要20天，乙车队单独运完需要30天.乙车队先运了5天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾.
(1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？
(2)已知甲车队每天的租金是170元，比乙车队少30元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？

14.解:(1)设甲、乙两车队合作还需要 $x$ 天运完垃圾,
因为甲车队单独运完需要 20 天,乙车队单独运完需要 30 天.乙车队先运了 5 天,然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾,
所以$\frac{5}{30}+\frac{x}{20}+\frac{x}{30}=1$,
解得 $x=10$,
答:甲、乙两车队合作还需要 10 天运完垃圾.
(2)乙车队一共工作了 15 天,甲车队一共工作了 10 天,
$(170+30)×15+170×10=4\ 700$(元).
答:运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金 4 700 元.

【分析】
这是典型的工程类应用题，解题时先将总工作量看作单位“1”，先推导两队工作效率：甲单独20天完成，效率为$\frac{1}{20}$，乙单独30天完成，效率为$\frac{1}{30}$。
(1) 求合作天数时，可设合作天数为$x$，依据等量关系“乙单独运5天的工作量 + 甲乙合作$x$天的工作量 = 总工作量1”列一元一次方程求解即可。
(2) 计算租金时，先确定甲乙两队的总工作时长：乙的总时长是“先运的5天+合作天数”，甲的总时长就是合作天数，再结合两队每天的租金标准，分别计算租金后求和即可。
【解析】
(1) 设甲、乙两车队合作还需要$x$天运完垃圾。
根据题意列方程：
$\frac{5}{30}+\frac{x}{20}+\frac{x}{30}=1$
通分计算：两边同乘60得，$10 + 3x + 2x = 60$
整理得$5x = 50$，解得$x=10$。
答：甲、乙两车队合作还需要10天运完垃圾。
(2) 首先计算两队总工作时长：
乙车队总工作天数：$5+10=15$天，甲车队总工作天数：10天。
乙车队每天租金为$170+30=200$元。
总租金为：$200×15 + 170×10 = 3000 + 1700 = 4700$（元）
答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金4700元。
【答案】
(1) 10天；(2) 4700元
【知识点】
一元一次方程的应用、工程问题、有理数混合运算
【点评】
本题结合生活实际场景命题，核心考查工程问题中“工作总量=工作效率×工作时间”的基本关系，解题时需要注意第二问中乙队的工作时长包含前期单独工作的时间，计算租金时不要漏算，细心运算即可正确求解。
【难度系数】
0.8

15. (2024秋碑林区校级期末)年关将至，某商店就两种具有中国传统文化色彩的中国结和红灯笼开展促销活动，活动方案有如下两种：

(1)甲单位为装扮节日气氛准备购买中国结30个，红灯笼80个，选用哪种方案划算？
(2)乙单位购买中国结和红灯笼共120个，选择两种方案所付金额相同。请你计算乙单位的购买计划。

15.解:(1)选择方案一所需费用为 $50×0.6×30+20×0.9×80=2\ 340$(元);
选择方案二所需费用为 $50×0.8×30+20×0.8×80=2\ 480$(元).
因为 $2\ 340＜2\ 480$,
所以选择方案一划算.
(2)设乙单位购买 $x$ 个中国结,则购买 $(120-x)$ 个红灯笼.
由题意,得 $50×0.6x+20×0.9(120-x)=50×0.8x+20×0.8(120-x)$,
解得 $x=20$.
所以 $120-x=120-20=100$.
答:乙单位购买 20 个中国结,100 个红灯笼.

【分析】
(1) 要判断哪种方案更划算，只需分别按照两种方案的折扣规则计算购买30个中国结和80个红灯笼的总费用，再比较两个费用的大小，费用更低的方案更划算。计算时先分别求出每种商品打折后的总价，再求和得到总费用即可。
(2) 已知购买总数量为120件，超过100件，满足方案二的使用条件。设购买中国结的数量为未知数，即可表示出红灯笼的数量，再分别用含未知数的式子表示两种方案的总费用，根据“两种方案所付金额相同”的等量关系列一元一次方程，解方程即可求出两种商品的购买数量。
【解析】
(1) 计算方案一所需费用：
中国结六折优惠，30个中国结的费用为$50×0.6×30$元；红灯笼九折优惠，80个红灯笼的费用为$20×0.9×80$元。
总费用：$50×0.6×30 + 20×0.9×80 = 900 + 1440 = 2340$（元）
计算方案二所需费用：
购买总数量为$30+80=110$件，超过100件，所有商品均打八折。
总费用：$50×0.8×30 + 20×0.8×80 = 1200 + 1280 = 2480$（元）
因为$2340 ＜ 2480$，所以选择方案一更划算。
(2) 设乙单位购买$x$个中国结，则购买红灯笼的数量为$(120-x)$个。
方案一总费用为：$50×0.6x + 20×0.9(120-x)$
方案二总数量120＞100，所有商品八折，总费用为：$50×0.8x + 20×0.8(120-x)$
根据两种方案费用相等列方程：
$50×0.6x + 20×0.9(120-x) = 50×0.8x + 20×0.8(120-x)$
化简求解：
$30x + 18(120-x) = 40x + 16(120-x)$
$12x + 2160 = 24x + 1920$
$12x = 240$
解得$x=20$
则红灯笼的购买数量为$120 - 20 = 100$（个）
【答案】
(1) 选择方案一划算；
(2) 乙单位购买20个中国结，100个红灯笼。
【知识点】
折扣计算，一元一次方程应用，有理数大小比较
【点评】
本题结合生活中的促销场景命题，考查数学知识的实际应用能力，解题关键是读懂不同促销方案的规则，正确列式或建立方程求解，贴近生活的出题形式能很好地锻炼学生用数学解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7

16.《孙子算经》中有一道题,原文是:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步,问人与车各几何?译文为:今有若干人乘车,每3人共乘一车,最终剩余2辆车;若每2人共乘一车,最终剩余9人无车可乘,问共有多少人,多少辆车?设共有$x$人,可列方程为 ()

A.$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 9}{2}$
B.$\frac{x + 2}{3} = \frac{x}{2} - 9$
C.$\frac{x}{3} - 2 = \frac{x + 9}{2}$
D.$\frac{x - 2}{3} = \frac{x}{2} + 9$

16.A

【分析】
要解决这道列方程的题目，首先要找到题目中的不变量作为等量关系，本题中总车辆数是固定的，我们可以利用“总车辆数不变”来列方程。首先分别根据两种乘车场景，用含x的式子表示出总车辆数，再令两个式子相等即可得到正确方程。
第一步：分析第一种乘车情况，已知总人数为x，每3人共乘一车，剩余2辆空车。此时坐满人的车辆数为总人数除以每车乘坐的3人，即$\frac{x}{3}$辆，总车辆数等于坐满人的车辆数加上空着的2辆车。
第二步：分析第二种乘车情况，每2人共乘一车，剩余9人步行。此时坐车的人数为总人数减去步行的9人，即$x-9$人，总车辆数等于坐车的人数除以每车乘坐的2人，即$\frac{x-9}{2}$辆。
第三步：因为两种情况的总车辆数相等，所以将两个表示总车辆数的式子联立，即可得到对应的方程。
【解析】
本题的等量关系为：两种乘车方式的总车辆数相等。
1. 第一种乘车方式下，总车辆数的表示：
每3人乘坐1车，所有人都坐上车时用了$\frac{x}{3}$辆车，还剩2辆空车，因此总车辆数为 $\frac{x}{3} + 2$。
2. 第二种乘车方式下，总车辆数的表示：
每2人乘坐1车，有9人步行，即只有$x-9$人坐上车，所有车都坐满，因此总车辆数为 $\frac{x-9}{2}$。
3. 联立等式得方程：$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 9}{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用，找等量关系列方程
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查一元一次方程的实际应用，解题核心是找到题目中的不变量，再分别用未知数表示两种场景下的不变量联立即可得到方程，解题时要注意理清每种场景下数量的逻辑关系，避免混淆加减项。
【难度系数】
0.7