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8. 某同学在解关于 y 的方程$\frac{2y-1}{3}=\frac{y+a}{2}-1$，去分母时，方程右边的-1没有乘6，结果求得方程的解为$y=2$，求 a 的值及此方程正确的解。
答案
8.解:由题意,错误地去分母,得
$4y-2=3y+3a-1$.
把 $y=2$ 代入此方程,得 $6=6+3a-1$,
解得 $a=\frac{1}{3}$.
所以原方程为$\frac{2y-1}{3}=\frac{y+\frac{1}{3}}{2}-1$,
即为$\frac{2y-1}{3}=\frac{3y+1}{6}-1$.
去分母,得 $4y-2=3y+1-6$,
移项,得 $4y-3y=1-6+2$,
合并同类项,得 $y=-3$.
$4y-2=3y+3a-1$.
把 $y=2$ 代入此方程,得 $6=6+3a-1$,
解得 $a=\frac{1}{3}$.
所以原方程为$\frac{2y-1}{3}=\frac{y+\frac{1}{3}}{2}-1$,
即为$\frac{2y-1}{3}=\frac{3y+1}{6}-1$.
去分母,得 $4y-2=3y+1-6$,
移项,得 $4y-3y=1-6+2$,
合并同类项,得 $y=-3$.
解析
【分析】
解题分为两个核心步骤：第一，先根据同学的错误操作推导对应方程：去分母时方程两边同乘6，但右边的-1未乘6，因此得到错误方程$4y-2=3y+3a-1$，由于$y=2$是该错误方程的解，将$y=2$代入错误方程即可求出$a$的值；第二，把求出的$a$代入原方程，按照解一元一次方程的规范步骤（去分母、移项、合并同类项）计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
解：由题意，该同学错误去分母后得到的方程为：
$4y-2=3y+3a-1$
$\because y=2$是上述错误方程的解
$\therefore$将$y=2$代入错误方程，得：
$4×2 - 2 = 3×2 + 3a -1$
计算得：$6 = 6 + 3a -1$
解得：$a=\frac{1}{3}$
将$a=\frac{1}{3}$代入原方程，得：
$\frac{2y-1}{3}=\frac{y+\frac{1}{3}}{2}-1$
整理右侧分式得：$\frac{2y-1}{3}=\frac{3y+1}{6}-1$
正确去分母，两边同乘6得：$4y-2=3y+1-6$
移项得：$4y-3y=1-6+2$
合并同类项得：$y=-3$
【答案】
$a=\frac{1}{3}$，此方程正确的解为$y=-3$
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是典型的错解求参数题型，解题关键是明确错误的解仅满足错误操作得到的方程，先求出参数后再求解原方程，解题时要注意去分母时常数项也要乘分母的最小公倍数，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.6
解题分为两个核心步骤：第一，先根据同学的错误操作推导对应方程：去分母时方程两边同乘6，但右边的-1未乘6，因此得到错误方程$4y-2=3y+3a-1$，由于$y=2$是该错误方程的解，将$y=2$代入错误方程即可求出$a$的值；第二，把求出的$a$代入原方程，按照解一元一次方程的规范步骤（去分母、移项、合并同类项）计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
解：由题意，该同学错误去分母后得到的方程为：
$4y-2=3y+3a-1$
$\because y=2$是上述错误方程的解
$\therefore$将$y=2$代入错误方程，得：
$4×2 - 2 = 3×2 + 3a -1$
计算得：$6 = 6 + 3a -1$
解得：$a=\frac{1}{3}$
将$a=\frac{1}{3}$代入原方程，得：
$\frac{2y-1}{3}=\frac{y+\frac{1}{3}}{2}-1$
整理右侧分式得：$\frac{2y-1}{3}=\frac{3y+1}{6}-1$
正确去分母，两边同乘6得：$4y-2=3y+1-6$
移项得：$4y-3y=1-6+2$
合并同类项得：$y=-3$
【答案】
$a=\frac{1}{3}$，此方程正确的解为$y=-3$
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是典型的错解求参数题型，解题关键是明确错误的解仅满足错误操作得到的方程，先求出参数后再求解原方程，解题时要注意去分母时常数项也要乘分母的最小公倍数，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.6
9. 如果方程$4x=5(x-1)$与关于$x$的方程$\frac{ax+4}{3}=\frac{1}{2}ax -2$的解相同，求$a$的值.
答案
9.解:解方程 $4x=5(x-1)$,得 $x=5$.
把 $x=5$ 代入$\frac{ax+4}{3}=\frac{1}{2}ax-2$ 中,
得$\frac{5a+4}{3}=\frac{5a}{2}-2$.
去分母,得 $2(5a+4)=15a-12$.
去括号,得 $10a+8=15a-12$.
移项、合并同类项,得 $-5a=-20$.
系数化为 1,得 $a=4$.
把 $x=5$ 代入$\frac{ax+4}{3}=\frac{1}{2}ax-2$ 中,
得$\frac{5a+4}{3}=\frac{5a}{2}-2$.
去分母,得 $2(5a+4)=15a-12$.
去括号,得 $10a+8=15a-12$.
移项、合并同类项,得 $-5a=-20$.
系数化为 1,得 $a=4$.
解析
【分析】
两个方程解相同意味着第一个方程的解也满足第二个方程。解题思路分为两步：第一步先求解不含参数的一元一次方程$4x=5(x-1)$，得到x的取值；第二步将x的取值代入第二个含参数a的方程，此时方程仅含a一个未知数，按照一元一次方程的求解步骤计算即可得到a的值。
【解析】
1. 求解方程$4x=5(x-1)$：
去括号，得$4x=5x-5$
移项，得$4x-5x=-5$
合并同类项，得$-x=-5$
系数化为1，得$x=5$
2. 把$x=5$代入方程$\frac{ax+4}{3}=\frac{1}{2}ax -2$中，可得：
$\frac{5a+4}{3}=\frac{5a}{2}-2$
去分母（两边同乘6），得$2(5a+4)=15a-12$
去括号，得$10a+8=15a-12$
移项、合并同类项，得$-5a=-20$
系数化为1，得$a=4$
【答案】
$a=4$
【知识点】
同解方程；解一元一次方程
【点评】
本题是同解方程的常规应用题目，解题的关键是抓住“解相同”的条件，先求出确定的解再代入含参方程计算，计算时注意去分母不要漏乘方程中的常数项，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
两个方程解相同意味着第一个方程的解也满足第二个方程。解题思路分为两步：第一步先求解不含参数的一元一次方程$4x=5(x-1)$，得到x的取值；第二步将x的取值代入第二个含参数a的方程，此时方程仅含a一个未知数，按照一元一次方程的求解步骤计算即可得到a的值。
【解析】
1. 求解方程$4x=5(x-1)$：
去括号，得$4x=5x-5$
移项，得$4x-5x=-5$
合并同类项，得$-x=-5$
系数化为1，得$x=5$
2. 把$x=5$代入方程$\frac{ax+4}{3}=\frac{1}{2}ax -2$中，可得：
$\frac{5a+4}{3}=\frac{5a}{2}-2$
去分母（两边同乘6），得$2(5a+4)=15a-12$
去括号，得$10a+8=15a-12$
移项、合并同类项，得$-5a=-20$
系数化为1，得$a=4$
【答案】
$a=4$
【知识点】
同解方程；解一元一次方程
【点评】
本题是同解方程的常规应用题目，解题的关键是抓住“解相同”的条件，先求出确定的解再代入含参方程计算，计算时注意去分母不要漏乘方程中的常数项，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
10.(2024秋文昌期末)某车间有84名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知1个大齿轮和2个小齿轮配成一套.为使每天加工的大、小齿轮刚好配套，
设每天加工大齿轮的有$x$人，则下面所列方程正确的是 (
A.$2×16x=10(84-x)$
B.$16x=2×10(84-x)$
C.$2×16(84-x)=10x$
D.$16×(84-x)=2×10x$
设每天加工大齿轮的有$x$人，则下面所列方程正确的是 (
A
)A.$2×16x=10(84-x)$
B.$16x=2×10(84-x)$
C.$2×16(84-x)=10x$
D.$16×(84-x)=2×10x$
答案
10.A
解析
【分析】
这是一道一元一次方程配套类应用题，解题核心是找到配套对应的等量关系。首先明确已知条件：总人数84人，设加工大齿轮的人数为x，就能表示出加工小齿轮的人数；再分别计算出每天生产的大、小齿轮总数量；最后根据“1个大齿轮配2个小齿轮”的配套要求，可知小齿轮总数量是大齿轮总数量的2倍，据此列出方程即可匹配正确选项。
【解析】
步骤1：表示加工两类齿轮的人数
已知设每天加工大齿轮的有x人，总共有84名工人，则每天加工小齿轮的有$(84-x)$人。
步骤2：计算每天生产的大、小齿轮总数量
平均每人每天加工大齿轮16个，所以每天生产大齿轮的总数量为$16x$个；
平均每人每天加工小齿轮10个，所以每天生产小齿轮的总数量为$10(84-x)$个。
步骤3：根据配套关系列方程
因为1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，要使齿轮刚好配套，需满足：小齿轮总数量 = 2×大齿轮总数量
代入数量可得：$2×16x = 10(84-x)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的实际应用，配套问题
【点评】
本题是典型的配套类应用题，解题的关键是准确梳理配套规则对应的数量倍数关系，避免将大小齿轮的倍数关系写反，即可快速列出正确方程。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次方程配套类应用题，解题核心是找到配套对应的等量关系。首先明确已知条件：总人数84人，设加工大齿轮的人数为x，就能表示出加工小齿轮的人数；再分别计算出每天生产的大、小齿轮总数量；最后根据“1个大齿轮配2个小齿轮”的配套要求，可知小齿轮总数量是大齿轮总数量的2倍，据此列出方程即可匹配正确选项。
【解析】
步骤1：表示加工两类齿轮的人数
已知设每天加工大齿轮的有x人，总共有84名工人，则每天加工小齿轮的有$(84-x)$人。
步骤2：计算每天生产的大、小齿轮总数量
平均每人每天加工大齿轮16个，所以每天生产大齿轮的总数量为$16x$个；
平均每人每天加工小齿轮10个，所以每天生产小齿轮的总数量为$10(84-x)$个。
步骤3：根据配套关系列方程
因为1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，要使齿轮刚好配套，需满足：小齿轮总数量 = 2×大齿轮总数量
代入数量可得：$2×16x = 10(84-x)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的实际应用，配套问题
【点评】
本题是典型的配套类应用题，解题的关键是准确梳理配套规则对应的数量倍数关系，避免将大小齿轮的倍数关系写反，即可快速列出正确方程。
【难度系数】
0.7
11.某商人在一次买卖中均以210元卖出两件衣服，一件赚25%，一件赔25%，在这次交易中，该商人（
A.赔28元
B.赚28元
C.不赚不赔
D.无法确定
A
）A.赔28元
B.赚28元
C.不赚不赔
D.无法确定
答案
11.A
解析
【分析】
解题的关键是明确利润率的计算基准是商品的成本价，而非售价，不能直接用售价计算盈亏金额。具体解题思路如下：第一步，先求赚25%的衣服的成本价，根据“成本×(1+利润率)=售价”列方程计算，再算出这件衣服的盈利额；第二步，求赔25%的衣服的成本价，根据“成本×(1-亏损率)=售价”列方程计算，再算出这件衣服的亏损额；第三步，对比总盈利和总亏损的差值，即可得到最终的盈亏结果。
【解析】
解：设赚25%的衣服成本为$x$元。
这件衣服的售价是成本加价25%得到的，列方程得：
$x(1+25\%)=210$
解得：$x=168$
这件衣服的盈利金额：$210-168=42$（元）
设赔25%的衣服成本为$y$元。
这件衣服的售价是成本降价25%得到的，列方程得：
$y(1-25\%)=210$
解得：$y=280$
这件衣服的亏损金额：$280-210=70$（元）
总盈亏：$42-70=-28$（元），即商人总共赔了28元。
【答案】
A
【知识点】
百分数实际应用，利润问题计算，一元一次方程应用
【点评】
本题是利润问题的高频易错题，易错点是误将售价作为利润率的计算基准，认为赚和赔的金额相等错选C。解题核心是明确利润率对应的单位“1”是商品的成本价，先分别求出两件商品的成本，再对比总售价和总成本即可得到正确结论。
【难度系数】
0.6
解题的关键是明确利润率的计算基准是商品的成本价，而非售价，不能直接用售价计算盈亏金额。具体解题思路如下：第一步，先求赚25%的衣服的成本价，根据“成本×(1+利润率)=售价”列方程计算，再算出这件衣服的盈利额；第二步，求赔25%的衣服的成本价，根据“成本×(1-亏损率)=售价”列方程计算，再算出这件衣服的亏损额；第三步，对比总盈利和总亏损的差值，即可得到最终的盈亏结果。
【解析】
解：设赚25%的衣服成本为$x$元。
这件衣服的售价是成本加价25%得到的，列方程得：
$x(1+25\%)=210$
解得：$x=168$
这件衣服的盈利金额：$210-168=42$（元）
设赔25%的衣服成本为$y$元。
这件衣服的售价是成本降价25%得到的，列方程得：
$y(1-25\%)=210$
解得：$y=280$
这件衣服的亏损金额：$280-210=70$（元）
总盈亏：$42-70=-28$（元），即商人总共赔了28元。
【答案】
A
【知识点】
百分数实际应用，利润问题计算，一元一次方程应用
【点评】
本题是利润问题的高频易错题，易错点是误将售价作为利润率的计算基准，认为赚和赔的金额相等错选C。解题核心是明确利润率对应的单位“1”是商品的成本价，先分别求出两件商品的成本，再对比总售价和总成本即可得到正确结论。
【难度系数】
0.6
12.已知一个正方形的边长减少3 cm，它的面积减少了$27\ \mathrm{cm}^2$，原来这个正方形的面积为（
A.$25\ \mathrm{cm}^2$
B.$5\ \mathrm{cm}^2$
C.$6\ \mathrm{cm}^2$
D.$36\ \mathrm{cm}^2$
D
）A.$25\ \mathrm{cm}^2$
B.$5\ \mathrm{cm}^2$
C.$6\ \mathrm{cm}^2$
D.$36\ \mathrm{cm}^2$
答案
12.D
解析
【分析】
要求原来正方形的面积，需先求出原来的边长。本题可通过列一元一次方程求解，核心等量关系为：原正方形面积减去边长减少3cm后的正方形面积等于减少的27cm²。我们可以先设原正方形的边长为未知数，结合面积变化的等量关系列方程求出边长后，再代入正方形面积公式计算即可。
【解析】
设原来正方形的边长为$ x\ \mathrm{cm} $，则原正方形面积为$ x^2\ \mathrm{cm}^2 $，边长减少3cm后的正方形边长为$ (x-3)\ \mathrm{cm} $，面积为$ (x-3)^2\ \mathrm{cm}^2 $。
根据题意列方程：
$ x^2 - (x-3)^2 = 27 $
利用乘法分配律展开并化简：
$ x^2 - (x^2 - 6x + 9) = 27 $
$ x^2 - x^2 + 6x - 9 = 27 $
$ 6x - 9 = 27 $
移项计算得：
$ 6x = 36 $
$ x = 6 $
则原来正方形的面积为：$ 6 × 6 = 36\ \mathrm{cm}^2 $
故选D。
【知识点】
正方形面积计算；一元一次方程的应用；整式化简
【点评】
本题属于基础的几何类方程应用题，解题关键是准确抓住面积变化的等量关系建立方程，计算难度较低，注意审题明确所求为面积，不要误选边长对应的干扰选项。
【难度系数】
0.8
要求原来正方形的面积，需先求出原来的边长。本题可通过列一元一次方程求解，核心等量关系为：原正方形面积减去边长减少3cm后的正方形面积等于减少的27cm²。我们可以先设原正方形的边长为未知数，结合面积变化的等量关系列方程求出边长后，再代入正方形面积公式计算即可。
【解析】
设原来正方形的边长为$ x\ \mathrm{cm} $，则原正方形面积为$ x^2\ \mathrm{cm}^2 $，边长减少3cm后的正方形边长为$ (x-3)\ \mathrm{cm} $，面积为$ (x-3)^2\ \mathrm{cm}^2 $。
根据题意列方程：
$ x^2 - (x-3)^2 = 27 $
利用乘法分配律展开并化简：
$ x^2 - (x^2 - 6x + 9) = 27 $
$ x^2 - x^2 + 6x - 9 = 27 $
$ 6x - 9 = 27 $
移项计算得：
$ 6x = 36 $
$ x = 6 $
则原来正方形的面积为：$ 6 × 6 = 36\ \mathrm{cm}^2 $
故选D。
【知识点】
正方形面积计算；一元一次方程的应用；整式化简
【点评】
本题属于基础的几何类方程应用题，解题关键是准确抓住面积变化的等量关系建立方程，计算难度较低，注意审题明确所求为面积，不要误选边长对应的干扰选项。
【难度系数】
0.8
13.在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30 km的B地.已知甲骑行的速度是乙的1.2倍.若乙先骑行2 km，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度.
答案
13.解:设乙骑行的速度是 $x$ km/h,则甲骑行的速度是$1.2x$ km/h.
由题意,得 $0.5×1.2x=0.5x+2$,
解得 $x=20$,
则 $1.2x=24$.
答:甲骑行的速度是 24 km/h.
由题意,得 $0.5×1.2x=0.5x+2$,
解得 $x=20$,
则 $1.2x=24$.
答:甲骑行的速度是 24 km/h.
解析
【分析】
这是行程类的追及问题，解题核心是明确追及状态下的等量关系：甲出发半小时行驶的路程 = 乙在相同半小时内行驶的路程 + 乙提前骑行的2km。我们可以先设乙的速度为未知数，根据甲速度是乙的1.2倍表示出甲的速度，再代入上述等量关系列一元一次方程，求解后算出甲的速度即可。
【解析】
解：设乙骑行的速度是 $x$ km/h，则甲骑行的速度是$1.2x$ km/h。
由题意得：
$0.5×1.2x=0.5x+2$
化简得：$0.6x=0.5x+2$
移项合并同类项得：$0.1x=2$
解得 $x=20$
则甲的速度为$1.2x=1.2×20=24$（km/h）
答：甲骑行的速度是 24 km/h。
【答案】
24 km/h
【知识点】
一元一次方程的应用；行程追及问题
【点评】
本题属于基础的行程应用题，解题关键是准确抓住追及时的路程等量关系，正确设未知数列方程求解，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
这是行程类的追及问题，解题核心是明确追及状态下的等量关系：甲出发半小时行驶的路程 = 乙在相同半小时内行驶的路程 + 乙提前骑行的2km。我们可以先设乙的速度为未知数，根据甲速度是乙的1.2倍表示出甲的速度，再代入上述等量关系列一元一次方程，求解后算出甲的速度即可。
【解析】
解：设乙骑行的速度是 $x$ km/h，则甲骑行的速度是$1.2x$ km/h。
由题意得：
$0.5×1.2x=0.5x+2$
化简得：$0.6x=0.5x+2$
移项合并同类项得：$0.1x=2$
解得 $x=20$
则甲的速度为$1.2x=1.2×20=24$（km/h）
答：甲骑行的速度是 24 km/h。
【答案】
24 km/h
【知识点】
一元一次方程的应用；行程追及问题
【点评】
本题属于基础的行程应用题，解题关键是准确抓住追及时的路程等量关系，正确设未知数列方程求解，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
