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9. 如图28.1-8，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ B=60°$，$△ AB'C'$可以由$△ ABC$绕点$A$顺时针旋转$90°$得到（点$B'$与点$B$是对应点，点$C'$与点$C$是对应点），连接$CC'$，则$∠ CC'B'$的度数是
15°
。答案
9. 15°
解析
【分析】
解题时先结合旋转的性质梳理已知条件：首先在原直角三角形中根据内角和算出未知角的度数，再利用旋转前后对应边相等、旋转角为90°判断出等腰直角三角形，得到对应角的度数，最后结合旋转前后对应角相等，通过角度差计算出所求角的度数即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ B=60°$，
$\therefore ∠ ACB=180°-90°-60°=30°$，
$\because △AB'C'$由$△ABC$绕点$A$顺时针旋转$90°$得到，
$\therefore AC=AC'$，$∠ CAC'=90°$，$∠ AC'B'=∠ ACB=30°$，
$\therefore △ACC'$为等腰直角三角形，
$\therefore ∠ AC'C=45°$，
$\therefore ∠ CC'B'=∠ AC'C-∠ AC'B'=45°-30°=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质；直角三角形内角和
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心是灵活运用旋转的性质得到相等的边和角，再结合特殊三角形的角度特征计算即可，解题时要注意找准旋转前后的对应元素。
【难度系数】
0.7
解题时先结合旋转的性质梳理已知条件：首先在原直角三角形中根据内角和算出未知角的度数，再利用旋转前后对应边相等、旋转角为90°判断出等腰直角三角形，得到对应角的度数，最后结合旋转前后对应角相等，通过角度差计算出所求角的度数即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ B=60°$，
$\therefore ∠ ACB=180°-90°-60°=30°$，
$\because △AB'C'$由$△ABC$绕点$A$顺时针旋转$90°$得到，
$\therefore AC=AC'$，$∠ CAC'=90°$，$∠ AC'B'=∠ ACB=30°$，
$\therefore △ACC'$为等腰直角三角形，
$\therefore ∠ AC'C=45°$，
$\therefore ∠ CC'B'=∠ AC'C-∠ AC'B'=45°-30°=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质；直角三角形内角和
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心是灵活运用旋转的性质得到相等的边和角，再结合特殊三角形的角度特征计算即可，解题时要注意找准旋转前后的对应元素。
【难度系数】
0.7
10. 如图28.1-9，$△ ABC$是等边三角形，D是BC边上的中点，$△ ABD$经过旋转后到达$△ ACE$的位置.
（1）旋转中心是点
（2）点B，D的对应点分别是点
（3）线段AB，BD，DA的对应线段分别是线段
（4）$∠ B$的对应角是
（5）旋转角度为
（6）判断$△ ACE$的形状.
（1）旋转中心是点
A
；（2）点B，D的对应点分别是点
C，E
；（3）线段AB，BD，DA的对应线段分别是线段
AC，CE，EA
；（4）$∠ B$的对应角是
∠ACE
；（5）旋转角度为
60°
；（6）判断$△ ACE$的形状.
答案
10. 解：(1) A
(2) C, E
(3) AC, CE, EA
(4) ∠ACE
(5) 60°
(6)
∵△ABC 是等边三角形，D 是 BC 边上的中点，
∴∠ADB=90°.
∵△ABD 经过旋转到达△ACE 的位置，
∴∠AEC=∠ADB=90°.
∴△ACE 为直角三角形.
(2) C, E
(3) AC, CE, EA
(4) ∠ACE
(5) 60°
(6)
∵△ABC 是等边三角形，D 是 BC 边上的中点，
∴∠ADB=90°.
∵△ABD 经过旋转到达△ACE 的位置，
∴∠AEC=∠ADB=90°.
∴△ACE 为直角三角形.
解析
【分析】
解决本题首先要明确旋转的相关概念和性质：旋转过程中固定不动的点是旋转中心，旋转前后的两个图形全等，对应点、对应线段、对应角分别相等，旋转角是任意一组对应点与旋转中心连线的夹角。解题时先确定旋转前后的两个三角形△ABD和△ACE，再逐一匹配对应元素，最后结合等边三角形三线合一的性质和旋转全等的性质判断△ACE的形状。
【解析】
(1) 观察旋转过程，只有点A的位置始终不变，因此旋转中心是点A。
(2) 因为△ABD经过旋转后到达△ACE的位置，所以点B的对应点是点C，点D的对应点是点E。
(3) 根据旋转前后对应线段相等的性质，线段AB的对应线段是AC，BD的对应线段是CE，DA的对应线段是EA。
(4) 根据旋转前后对应角相等的性质，∠B的对应角是∠ACE。
(5) 已知△ABC是等边三角形，因此∠BAC=60°，AB的对应边是AC，对应点B、C与旋转中心A的夹角就是旋转角，即旋转角度为60°。
(6) 已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的中点，根据等边三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，即∠ADB=90°；由于△ABD旋转得到△ACE，旋转前后图形全等、对应角相等，因此∠AEC=∠ADB=90°，由此可判定△ACE的形状。
【答案】
(1) A
(2) C，E
(3) AC，CE，EA
(4) ∠ACE
(5) 60°
(6) △ACE是直角三角形
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的性质，直角三角形的判定
【点评】
本题是旋转章节的基础典型题，重点考查旋转核心概念和性质的运用，解题关键是准确找到旋转前后的对应元素，牢记旋转前后图形全等的性质，同时结合等边三角形的性质完成简单推导。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确旋转的相关概念和性质：旋转过程中固定不动的点是旋转中心，旋转前后的两个图形全等，对应点、对应线段、对应角分别相等，旋转角是任意一组对应点与旋转中心连线的夹角。解题时先确定旋转前后的两个三角形△ABD和△ACE，再逐一匹配对应元素，最后结合等边三角形三线合一的性质和旋转全等的性质判断△ACE的形状。
【解析】
(1) 观察旋转过程，只有点A的位置始终不变，因此旋转中心是点A。
(2) 因为△ABD经过旋转后到达△ACE的位置，所以点B的对应点是点C，点D的对应点是点E。
(3) 根据旋转前后对应线段相等的性质，线段AB的对应线段是AC，BD的对应线段是CE，DA的对应线段是EA。
(4) 根据旋转前后对应角相等的性质，∠B的对应角是∠ACE。
(5) 已知△ABC是等边三角形，因此∠BAC=60°，AB的对应边是AC，对应点B、C与旋转中心A的夹角就是旋转角，即旋转角度为60°。
(6) 已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的中点，根据等边三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，即∠ADB=90°；由于△ABD旋转得到△ACE，旋转前后图形全等、对应角相等，因此∠AEC=∠ADB=90°，由此可判定△ACE的形状。
【答案】
(1) A
(2) C，E
(3) AC，CE，EA
(4) ∠ACE
(5) 60°
(6) △ACE是直角三角形
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的性质，直角三角形的判定
【点评】
本题是旋转章节的基础典型题，重点考查旋转核心概念和性质的运用，解题关键是准确找到旋转前后的对应元素，牢记旋转前后图形全等的性质，同时结合等边三角形的性质完成简单推导。
【难度系数】
0.8
11. 把边长为1的正方形纸片沿对角线剪开，得到△ABC和△DEF. 然后将△DEF的顶点D置于△ABC的斜边中点处，使△DEF绕点D按顺时针方向旋转.
（1）如图28.1-10①，当△DEF旋转到DF过直角顶点C时，DF与AC的交点H与点C重合，试判断∠DGB与∠DGH的关系，并给以证明.
（2）如图28.1-10②，当△DEF继续旋转α（0°＜α＜45°）时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给以证明；若不成立，请说明理由.
（1）如图28.1-10①，当△DEF旋转到DF过直角顶点C时，DF与AC的交点H与点C重合，试判断∠DGB与∠DGH的关系，并给以证明.
（2）如图28.1-10②，当△DEF继续旋转α（0°＜α＜45°）时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给以证明；若不成立，请说明理由.
答案
11. （1）∠DGB=∠DGH. 证明如下：
∵把正方形纸片沿对角线剪开，得到△ABC和△DEF，
∴△ABC和△DEF为等腰直角三角形.
∵D是AB的中点，
∴HD⊥AB，DH=1/2 AB=DB.
∵∠FDG=45°=∠BDG，
∴DG⊥HB.
∴∠DGB=∠DGH.
（2）第（1）小题中的结论仍成立. 证明如下：
如图，连接DC，在BC上截取BI=CH，连接DI.
∵BI=CH，∠DBI=∠DCH，DB=DC，
∴△DBI≌△DCH.
∴DI=DH，∠HDC=∠IDB.
∴∠HDI=∠CDB=90°.
又∠FDE=45°=∠GDI，DG为公共边，
∴△DGH≌△DGI.
∴∠DGB=∠DGH.
解析
【分析】
（1）解决本问首先利用正方形对角线剪开的特征，得到△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，再结合D是AB中点的性质，得到DH与DB的数量和位置关系，观察到DG平分∠HDB，利用等腰三角形的性质即可判断两角的关系。
（2）判断结论是否成立，可通过构造全等三角形证明：先连接DC，利用等腰直角三角形斜边中点的性质得到DC=DB，∠DCH=∠DBI，在BC上截取BI=CH构造全等三角形，先证△DBI≌△DCH得到对应边、角相等，再推导角的关系证明△DGH≌△DGI，即可得到两角相等的结论。
【解析】
（1）∠DGB=∠DGH，证明如下：
∵把正方形纸片沿对角线剪开，得到△ABC和△DEF，
∴△ABC和△DEF为等腰直角三角形。
∵D是AB的中点，
∴HD⊥AB，DH=$\frac{1}{2}$AB=DB。
∵∠FDG=45°=∠BDG，
∴DG平分∠HDB，根据等腰三角形三线合一的性质可得DG⊥HB，
∴∠DGB=∠DGH。
（2）第（1）小题中的结论仍成立，证明如下：
如图，连接DC，在BC上截取BI=CH，连接DI。
∵BI=CH，∠DBI=∠DCH=45°，DB=DC（等腰直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴△DBI≌△DCH（SAS）。
∴DI=DH，∠HDC=∠IDB。
∴∠HDI=∠HDC+∠CDI=∠IDB+∠CDI=∠CDB=90°。
又∠FDE=45°，
∴∠GDI=∠HDI-∠FDE=45°=∠GDH，
又DG为公共边，
∴△DGH≌△DGI（SAS）。
∴∠DGB=∠DGH。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠DGB=∠DGH}$，证明见解析；
（2）（1）中的结论仍成立，证明如下：
如图，连接DC，在BC上截取BI=CH，连接DI。
∵BI=CH，∠DBI=∠DCH，DB=DC，
∴△DBI≌△DCH。
∴DI=DH，∠HDC=∠IDB。
∴∠HDI=∠CDB=90°。
又∠FDE=45°=∠GDI，DG为公共边，
∴△DGH≌△DGI。
∴∠DGB=∠DGH。
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【点评】
本题以三角形旋转为载体，综合考查等腰直角三角形和全等三角形的相关知识，解题的关键是合理利用等腰直角三角形斜边中点的性质构造全等三角形，对几何推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）解决本问首先利用正方形对角线剪开的特征，得到△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，再结合D是AB中点的性质，得到DH与DB的数量和位置关系，观察到DG平分∠HDB，利用等腰三角形的性质即可判断两角的关系。
（2）判断结论是否成立，可通过构造全等三角形证明：先连接DC，利用等腰直角三角形斜边中点的性质得到DC=DB，∠DCH=∠DBI，在BC上截取BI=CH构造全等三角形，先证△DBI≌△DCH得到对应边、角相等，再推导角的关系证明△DGH≌△DGI，即可得到两角相等的结论。
【解析】
（1）∠DGB=∠DGH，证明如下：
∵把正方形纸片沿对角线剪开，得到△ABC和△DEF，
∴△ABC和△DEF为等腰直角三角形。
∵D是AB的中点，
∴HD⊥AB，DH=$\frac{1}{2}$AB=DB。
∵∠FDG=45°=∠BDG，
∴DG平分∠HDB，根据等腰三角形三线合一的性质可得DG⊥HB，
∴∠DGB=∠DGH。
（2）第（1）小题中的结论仍成立，证明如下：
如图，连接DC，在BC上截取BI=CH，连接DI。
∵BI=CH，∠DBI=∠DCH=45°，DB=DC（等腰直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴△DBI≌△DCH（SAS）。
∴DI=DH，∠HDC=∠IDB。
∴∠HDI=∠HDC+∠CDI=∠IDB+∠CDI=∠CDB=90°。
又∠FDE=45°，
∴∠GDI=∠HDI-∠FDE=45°=∠GDH，
又DG为公共边，
∴△DGH≌△DGI（SAS）。
∴∠DGB=∠DGH。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠DGB=∠DGH}$，证明见解析；
（2）（1）中的结论仍成立，证明如下：
如图，连接DC，在BC上截取BI=CH，连接DI。
∵BI=CH，∠DBI=∠DCH，DB=DC，
∴△DBI≌△DCH。
∴DI=DH，∠HDC=∠IDB。
∴∠HDI=∠CDB=90°。
又∠FDE=45°=∠GDI，DG为公共边，
∴△DGH≌△DGI。
∴∠DGB=∠DGH。
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【点评】
本题以三角形旋转为载体，综合考查等腰直角三角形和全等三角形的相关知识，解题的关键是合理利用等腰直角三角形斜边中点的性质构造全等三角形，对几何推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
