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3. 如图28.1-2，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不等于旋转角的为（
A.$∠ BOF$
B.$∠ AOD$
C.$∠ COE$
D.$∠ COF$
图28.1-1
图28.1-2
图28.1-3
D
）.A.$∠ BOF$
B.$∠ AOD$
C.$∠ COE$
D.$∠ COF$
图28.1-1
图28.1-2
图28.1-3
答案
3. D
解析
【分析】
解决本题首先要回忆旋转角的定义：旋转过程中，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角。解题时先确定本题的旋转中心是点O，再找到两个菱形的对应顶点：原菱形ABOC的A、B、C分别对应旋转后菱形DFOE的D、F、E，最后逐一判断选项中的角是否为对应点与旋转中心的连线夹角即可。
【解析】
根据旋转角的定义可知，旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角。
已知旋转中心为点O，菱形ABOC绕O顺时针旋转得到菱形DFOE，对应点关系为：A对应D，B对应F，C对应E。
由此可得：
∠BOF是对应点B、F与旋转中心O的连线夹角，属于旋转角；
∠AOD是对应点A、D与旋转中心O的连线夹角，属于旋转角；
∠COE是对应点C、E与旋转中心O的连线夹角，属于旋转角；
∠COF是点C、F与O的连线夹角，C的对应点为E不是F，因此∠COF不属于旋转角。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
旋转角的定义，旋转的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确掌握旋转角的定义，找准旋转过程中的旋转中心和对应点，掌握概念后即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆旋转角的定义：旋转过程中，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角。解题时先确定本题的旋转中心是点O，再找到两个菱形的对应顶点：原菱形ABOC的A、B、C分别对应旋转后菱形DFOE的D、F、E，最后逐一判断选项中的角是否为对应点与旋转中心的连线夹角即可。
【解析】
根据旋转角的定义可知，旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角。
已知旋转中心为点O，菱形ABOC绕O顺时针旋转得到菱形DFOE，对应点关系为：A对应D，B对应F，C对应E。
由此可得：
∠BOF是对应点B、F与旋转中心O的连线夹角，属于旋转角；
∠AOD是对应点A、D与旋转中心O的连线夹角，属于旋转角；
∠COE是对应点C、E与旋转中心O的连线夹角，属于旋转角；
∠COF是点C、F与O的连线夹角，C的对应点为E不是F，因此∠COF不属于旋转角。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
旋转角的定义，旋转的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确掌握旋转角的定义，找准旋转过程中的旋转中心和对应点，掌握概念后即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 如图28.1-3，若正方形DCEF旋转后能与正方形ABCD重合，则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4. C
解析
【分析】
解决本题首先要明确旋转中心的核心性质：旋转过程中旋转中心保持固定不动，且旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等。我们需要结合两个正方形共边CD的特征，逐一验证公共顶点、公共边中点这类特殊点是否满足“旋转后两正方形重合”的要求，避免漏解。
【解析】
我们分三种情况验证符合要求的旋转中心：
1. 以点$C$为旋转中心：将正方形$DCEF$逆时针旋转$90°$，可使正方形$DCEF$与正方形$ABCD$完全重合，符合要求；
2. 以点$D$为旋转中心：将正方形$DCEF$顺时针旋转$90°$，可使正方形$DCEF$与正方形$ABCD$完全重合，符合要求；
3. 以线段$CD$的中点为旋转中心：将正方形$DCEF$旋转$180°$，可使正方形$DCEF$与正方形$ABCD$完全重合，符合要求。
综上，共有3个点可作为旋转中心。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质
【点评】
本题易出现的错误是仅考虑公共顶点C、D作为旋转中心，遗漏CD中点这个特殊的旋转中心，解题时要全面分析图形公共部分的所有特殊点，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确旋转中心的核心性质：旋转过程中旋转中心保持固定不动，且旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等。我们需要结合两个正方形共边CD的特征，逐一验证公共顶点、公共边中点这类特殊点是否满足“旋转后两正方形重合”的要求，避免漏解。
【解析】
我们分三种情况验证符合要求的旋转中心：
1. 以点$C$为旋转中心：将正方形$DCEF$逆时针旋转$90°$，可使正方形$DCEF$与正方形$ABCD$完全重合，符合要求；
2. 以点$D$为旋转中心：将正方形$DCEF$顺时针旋转$90°$，可使正方形$DCEF$与正方形$ABCD$完全重合，符合要求；
3. 以线段$CD$的中点为旋转中心：将正方形$DCEF$旋转$180°$，可使正方形$DCEF$与正方形$ABCD$完全重合，符合要求。
综上，共有3个点可作为旋转中心。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质
【点评】
本题易出现的错误是仅考虑公共顶点C、D作为旋转中心，遗漏CD中点这个特殊的旋转中心，解题时要全面分析图形公共部分的所有特殊点，避免漏解。
【难度系数】
0.6
5. 如图28.1-4，E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，$BE=CF$，连接CE，DF。将$△ BCE$绕着正方形两条对角线的交点O按逆时针方向旋转到$△ CDF$的位置，则旋转角是（
A.$45°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
图28.1-4
图28.1-5
图28.1-6
C
）。A.$45°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
图28.1-4
图28.1-5
图28.1-6
答案
5. C
解析
【分析】
解题时首先明确核心概念：旋转角是指旋转前后，一组对应点与旋转中心所连线段的夹角。首先结合题意确定旋转中心是正方形对角线交点O，△BCE旋转后得到△CDF，可知点B的对应点是点C。再结合正方形的性质，正方形的两条对角线互相垂直，因此只需要求出对应点B、C与O连线的夹角度数，即可得到旋转角的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，O是正方形两条对角线的交点，
∴正方形的对角线互相垂直，即$OB⊥ OC$，$∠ BOC=90°$。
∵$△ BCE$绕点O逆时针旋转得到$△ CDF$，点B的对应点为点C，
∴旋转角就是对应点B、C与旋转中心O连线的夹角$∠ BOC$，即旋转角为$90°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；旋转角的定义
【点评】
本题解题的关键是找准对应点和旋转中心，结合正方形对角线的性质即可快速得出答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确核心概念：旋转角是指旋转前后，一组对应点与旋转中心所连线段的夹角。首先结合题意确定旋转中心是正方形对角线交点O，△BCE旋转后得到△CDF，可知点B的对应点是点C。再结合正方形的性质，正方形的两条对角线互相垂直，因此只需要求出对应点B、C与O连线的夹角度数，即可得到旋转角的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，O是正方形两条对角线的交点，
∴正方形的对角线互相垂直，即$OB⊥ OC$，$∠ BOC=90°$。
∵$△ BCE$绕点O逆时针旋转得到$△ CDF$，点B的对应点为点C，
∴旋转角就是对应点B、C与旋转中心O连线的夹角$∠ BOC$，即旋转角为$90°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；旋转角的定义
【点评】
本题解题的关键是找准对应点和旋转中心，结合正方形对角线的性质即可快速得出答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
6. 如图28.1-5，在等边三角形ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED。若BC=5，BD=4.5，则△ADE的周长为（
A.8.5
B.3.5
C.9.5
D.5.5
C
）。A.8.5
B.3.5
C.9.5
D.5.5
答案
6. C
解析
【分析】
要求△ADE的周长，需先将它的三边与已知条件BC、BD建立联系。首先根据旋转的性质可得对应边相等、旋转角为60°，由此可判定△BDE为等边三角形，得到DE=BD；再通过等量代换将△ADE的周长转化为AC+BD，结合等边三角形ABC的边长即可求解。
【解析】
∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，
∴△BAE≌△BCD，∠EBD=60°，
∴AE=CD，BE=BD，
∴△BDE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ED=BD=4.5。
∵△ABC是等边三角形，BC=5，
∴AC=BC=5。
△ADE的周长 = AE + AD + ED = CD + AD + ED = AC + BD = 5 + 4.5 = 9.5。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题解题核心是利用旋转的性质实现线段的等量代换，将未知三角形的周长转化为已知线段长度的和，是几何中图形变换类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要求△ADE的周长，需先将它的三边与已知条件BC、BD建立联系。首先根据旋转的性质可得对应边相等、旋转角为60°，由此可判定△BDE为等边三角形，得到DE=BD；再通过等量代换将△ADE的周长转化为AC+BD，结合等边三角形ABC的边长即可求解。
【解析】
∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，
∴△BAE≌△BCD，∠EBD=60°，
∴AE=CD，BE=BD，
∴△BDE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ED=BD=4.5。
∵△ABC是等边三角形，BC=5，
∴AC=BC=5。
△ADE的周长 = AE + AD + ED = CD + AD + ED = AC + BD = 5 + 4.5 = 9.5。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题解题核心是利用旋转的性质实现线段的等量代换，将未知三角形的周长转化为已知线段长度的和，是几何中图形变换类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
7. 如图28.1-6，把$\mathrm{Rt}△ ABC$绕点A逆时针旋转$40°$，得到$\mathrm{Rt}△ AB'C'$，点$C'$恰好落在边AB上，连接$BB'$，则$∠ BB'C'$的度数为
$20°$
。答案
7. $20°$
解析
【分析】
遇到旋转相关的几何题，首先联想旋转的性质：旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角大小相等。本题解题思路如下：第一步，根据旋转性质确定相等的边和角，可得AB=AB'，旋转角∠BAB'=40°，且∠AC'B'=∠C=90°；第二步，由AB=AB'可知△ABB'是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，计算出底角∠ABB'的度数；第三步，观察所求的∠BB'C'在△BC'B'中，已知∠BC'B'为直角，结合三角形内角和定理即可求出∠BB'C'的度数。
【解析】
解：
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB'C'，
∴AB=AB'，∠BAB'=40°，∠AC'B'=∠C=90°，
在等腰△ABB'中，∠AB'B=∠ABB'，
∴∠ABB' = (180° - ∠BAB')÷2 = (180° - 40°)÷2 = 70°，
∵点C'在AB上，
∴∠BC'B' = 180° - ∠AC'B' = 180° - 90° = 90°，
在Rt△BC'B'中，根据三角形内角和为180°：
∠BB'C' = 180° - ∠BC'B' - ∠ABB' = 180° - 90° - 70° = 20°。
【答案】
$20°$
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，结合等腰三角形、三角形内角和的相关知识逐步推导，难度较低，侧重对基础概念和性质的考查。
【难度系数】
0.7
遇到旋转相关的几何题，首先联想旋转的性质：旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角大小相等。本题解题思路如下：第一步，根据旋转性质确定相等的边和角，可得AB=AB'，旋转角∠BAB'=40°，且∠AC'B'=∠C=90°；第二步，由AB=AB'可知△ABB'是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，计算出底角∠ABB'的度数；第三步，观察所求的∠BB'C'在△BC'B'中，已知∠BC'B'为直角，结合三角形内角和定理即可求出∠BB'C'的度数。
【解析】
解：
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB'C'，
∴AB=AB'，∠BAB'=40°，∠AC'B'=∠C=90°，
在等腰△ABB'中，∠AB'B=∠ABB'，
∴∠ABB' = (180° - ∠BAB')÷2 = (180° - 40°)÷2 = 70°，
∵点C'在AB上，
∴∠BC'B' = 180° - ∠AC'B' = 180° - 90° = 90°，
在Rt△BC'B'中，根据三角形内角和为180°：
∠BB'C' = 180° - ∠BC'B' - ∠ABB' = 180° - 90° - 70° = 20°。
【答案】
$20°$
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，结合等腰三角形、三角形内角和的相关知识逐步推导，难度较低，侧重对基础概念和性质的考查。
【难度系数】
0.7
8. 如图28.1-7，把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转$45°$得到正方形$AB'C'D'$，边BC与$D'C'$交于点O，则四边形$ABOD'$的周长是（
A.$6\sqrt{2}$
B.6
C.$3\sqrt{2}$
D.$3+3\sqrt{2}$
图28.1-7
图28.1-8
A
）。A.$6\sqrt{2}$
B.6
C.$3\sqrt{2}$
D.$3+3\sqrt{2}$
图28.1-7
图28.1-8
答案
8. A
解析
【分析】
解题时可先结合旋转和正方形的性质确定相等的边与角，通过证明直角三角形全等转化相等线段，再利用等腰直角三角形的性质求出未知线段长度，最后求和得到四边形周长。第一步：根据旋转性质得$AD'=AB$，$∠ D'=∠ ABO=90°$，连接$AO$可证$\mathrm{Rt}△ AD'O≌\mathrm{Rt}△ ABO$，得$D'O=BO$；第二步：结合正方形对角线性质算出$AC$长度，得到$B'C$的长度，由$△ OB'C$是等腰直角三角形求出$B'O$，即得到$BO$的长度；第三步：将四边形四条边长度相加即可。
【解析】
连接$AO$，
$\because$ 正方形$ABCD$绕点$A$顺时针旋转$45°$得到正方形$AB'C'D'$，
$\therefore AD'=AB=3$，$∠ D'=∠ ABC=90°$，$AB'=AB=3$，$∠ BAB'=45°$。
$\because$ 正方形$ABCD$中，$AC$为对角线，
$\therefore ∠ BAC=45°$，$AC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，即点$B'$在$AC$上，
$\therefore B'C=AC-AB'=3\sqrt{2}-3$。
$\because ∠ AB'C'=90°$，$∠ ACB=45°$，
$\therefore △ OB'C$是等腰直角三角形，$\therefore B'O=B'C=3\sqrt{2}-3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABO$和$\mathrm{Rt}△ AD'O$中，
$\begin{cases} AO=AO \\ AB=AD' \end{cases}$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABO≌\mathrm{Rt}△ AD'O(\mathrm{HL})$，$\therefore BO=D'O=B'O=3\sqrt{2}-3$。
则四边形$ABOD'$的周长为：
$AB+BO+OD'+D'A=3+(3\sqrt{2}-3)+(3\sqrt{2}-3)+3=6\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题将旋转、正方形性质与线段长度计算结合考查，解题关键是通过全等三角形转化相等线段，再结合特殊三角形的性质求出未知线段，对几何图形的性质应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时可先结合旋转和正方形的性质确定相等的边与角，通过证明直角三角形全等转化相等线段，再利用等腰直角三角形的性质求出未知线段长度，最后求和得到四边形周长。第一步：根据旋转性质得$AD'=AB$，$∠ D'=∠ ABO=90°$，连接$AO$可证$\mathrm{Rt}△ AD'O≌\mathrm{Rt}△ ABO$，得$D'O=BO$；第二步：结合正方形对角线性质算出$AC$长度，得到$B'C$的长度，由$△ OB'C$是等腰直角三角形求出$B'O$，即得到$BO$的长度；第三步：将四边形四条边长度相加即可。
【解析】
连接$AO$，
$\because$ 正方形$ABCD$绕点$A$顺时针旋转$45°$得到正方形$AB'C'D'$，
$\therefore AD'=AB=3$，$∠ D'=∠ ABC=90°$，$AB'=AB=3$，$∠ BAB'=45°$。
$\because$ 正方形$ABCD$中，$AC$为对角线，
$\therefore ∠ BAC=45°$，$AC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，即点$B'$在$AC$上，
$\therefore B'C=AC-AB'=3\sqrt{2}-3$。
$\because ∠ AB'C'=90°$，$∠ ACB=45°$，
$\therefore △ OB'C$是等腰直角三角形，$\therefore B'O=B'C=3\sqrt{2}-3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABO$和$\mathrm{Rt}△ AD'O$中，
$\begin{cases} AO=AO \\ AB=AD' \end{cases}$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABO≌\mathrm{Rt}△ AD'O(\mathrm{HL})$，$\therefore BO=D'O=B'O=3\sqrt{2}-3$。
则四边形$ABOD'$的周长为：
$AB+BO+OD'+D'A=3+(3\sqrt{2}-3)+(3\sqrt{2}-3)+3=6\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题将旋转、正方形性质与线段长度计算结合考查，解题关键是通过全等三角形转化相等线段，再结合特殊三角形的性质求出未知线段，对几何图形的性质应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
