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9.关于抛物线$y=2x^2$，$y=-\frac{1}{3}x^2$，$y=3x^2$，$y=-x^2$的共同特点，下列说法正确的是(
A.开口向上
B.都有最低点
C.对称轴是y轴
D.y随x的增大而增大
C
)A.开口向上
B.都有最低点
C.对称轴是y轴
D.y随x的增大而增大
答案
C
解析
【分析】
要判断四个抛物线的共同特点，首先明确四个函数均为形如$y=ax^2(a≠0)$的二次函数，我们可以结合$y=ax^2$的图象性质，逐一验证每个选项是否对四个函数都成立，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：开口向上。当$a＜0$时二次函数开口向下，$y=-\frac{1}{3}x^2$和$y=-x^2$的$a$为负数，开口向下，因此A错误。
2. 选项B：都有最低点。开口向下的二次函数只有最高点，没有最低点，上述两个开口向下的抛物线不符合，因此B错误。
3. 选项C：对称轴是y轴。所有形如$y=ax^2(a≠0)$的二次函数，对称轴均为$x=0$，即y轴，四个函数都符合该特点，因此C正确。
4. 选项D：y随x的增大而增大。二次函数的增减性以对称轴为界分区间讨论，不存在全区间y随x增大而增大的情况，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的对称轴；二次函数的增减性
【点评】
本题考查$y=ax^2$型二次函数的基础性质，解题的关键是熟练掌握$a$的正负对开口方向的影响，以及对称轴、增减性等核心性质，通过逐一排除法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断四个抛物线的共同特点，首先明确四个函数均为形如$y=ax^2(a≠0)$的二次函数，我们可以结合$y=ax^2$的图象性质，逐一验证每个选项是否对四个函数都成立，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：开口向上。当$a＜0$时二次函数开口向下，$y=-\frac{1}{3}x^2$和$y=-x^2$的$a$为负数，开口向下，因此A错误。
2. 选项B：都有最低点。开口向下的二次函数只有最高点，没有最低点，上述两个开口向下的抛物线不符合，因此B错误。
3. 选项C：对称轴是y轴。所有形如$y=ax^2(a≠0)$的二次函数，对称轴均为$x=0$，即y轴，四个函数都符合该特点，因此C正确。
4. 选项D：y随x的增大而增大。二次函数的增减性以对称轴为界分区间讨论，不存在全区间y随x增大而增大的情况，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的对称轴；二次函数的增减性
【点评】
本题考查$y=ax^2$型二次函数的基础性质，解题的关键是熟练掌握$a$的正负对开口方向的影响，以及对称轴、增减性等核心性质，通过逐一排除法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10.如图，四个二次函数的图象对应的函数解析式分别是①$y=ax^2$；②$y=bx^2$；③$y=cx^2$；④$y=dx^2$，则$a,b,c,d$的大小关系为（
A.$a＞b＞c＞d$
B.$a＞b＞d＞c$
C.$b＞a＞c＞d$
D.$b＞a＞d＞c$
A
）A.$a＞b＞c＞d$
B.$a＞b＞d＞c$
C.$b＞a＞c＞d$
D.$b＞a＞d＞c$
答案
A
解析
【分析】
解题时我们可以根据二次函数$y=ax^2$的性质逐步推导：第一步先看开口方向判断系数正负：开口向上的抛物线二次项系数为正，开口向下的二次项系数为负，由此先确定$a、b$是正数，$c、d$是负数，因此$a、b$都大于$c、d$。第二步比较正数$a、b$的大小：二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越窄，相同$x$取值时$y$值越大，观察图象可知①的开口更窄、相同$x$对应$y$值更大，因此$a＞b$。第三步比较负数$c、d$的大小：向下的抛物线中，$|a|$越大开口越窄，相同$x$对应的$y$值越小（更靠下），观察图象可知④开口比③更窄，对应$y$值更小，所以$d＜c$。综上即可得到四个系数的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，有如下性质：
1. 开口方向：当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。
观察图象可知：①②开口向上，故$a＞0$，$b＞0$；③④开口向下，故$c＜0$，$d＜0$，因此$a、b$均大于$c、d$。
2. 开口宽窄：$|a|$越大，抛物线开口越窄，取相同的正数$x$时，$y$的绝对值越大。
比较$a$和$b$：取$x=1$，①对应的函数值$y=a$大于②对应的函数值$y=b$，因此$a＞b$。
比较$c$和$d$：取$x=1$，③对应的函数值$y=c$大于④对应的函数值$y=d$（③在④上方），因此$c＞d$。
综上可得$a＞b＞c＞d$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次项系数对图象的影响
3. 函数值大小比较
【点评】
本题主要考查二次项系数对二次函数$y=ax^2$图象的影响，解题的核心是掌握$a$的正负决定开口方向、$|a|$的大小决定开口宽窄的规律，结合图象即可快速判断系数大小，是对基础性质应用的考查。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以根据二次函数$y=ax^2$的性质逐步推导：第一步先看开口方向判断系数正负：开口向上的抛物线二次项系数为正，开口向下的二次项系数为负，由此先确定$a、b$是正数，$c、d$是负数，因此$a、b$都大于$c、d$。第二步比较正数$a、b$的大小：二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越窄，相同$x$取值时$y$值越大，观察图象可知①的开口更窄、相同$x$对应$y$值更大，因此$a＞b$。第三步比较负数$c、d$的大小：向下的抛物线中，$|a|$越大开口越窄，相同$x$对应的$y$值越小（更靠下），观察图象可知④开口比③更窄，对应$y$值更小，所以$d＜c$。综上即可得到四个系数的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，有如下性质：
1. 开口方向：当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。
观察图象可知：①②开口向上，故$a＞0$，$b＞0$；③④开口向下，故$c＜0$，$d＜0$，因此$a、b$均大于$c、d$。
2. 开口宽窄：$|a|$越大，抛物线开口越窄，取相同的正数$x$时，$y$的绝对值越大。
比较$a$和$b$：取$x=1$，①对应的函数值$y=a$大于②对应的函数值$y=b$，因此$a＞b$。
比较$c$和$d$：取$x=1$，③对应的函数值$y=c$大于④对应的函数值$y=d$（③在④上方），因此$c＞d$。
综上可得$a＞b＞c＞d$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次项系数对图象的影响
3. 函数值大小比较
【点评】
本题主要考查二次项系数对二次函数$y=ax^2$图象的影响，解题的核心是掌握$a$的正负决定开口方向、$|a|$的大小决定开口宽窄的规律，结合图象即可快速判断系数大小，是对基础性质应用的考查。
【难度系数】
0.8
11. [2026安庆模拟]二次函数$y=ax^2$与一次函数$y=ax+b(a＞0,b＞0)$在同一平面直角坐标系中的大致图象是（
C
）答案
C
解析
【分析】
要判断两个函数在同一坐标系的图象，需结合已知参数$a＞0$、$b＞0$，分别推导两个函数的图象特征，用排除法逐步筛选正确选项：先根据二次函数的参数特征排除不符合的选项，再结合一次函数的参数特征排除剩余错误选项，最终锁定正确答案。
【解析】
1. 判断二次函数$y=ax^2$的图象：
已知$a＞0$，根据二次函数$y=ax^2$的性质，抛物线开口向上，顶点为坐标原点。因此开口向下的B、D选项不符合要求，排除B、D。
2. 判断一次函数$y=ax+b$的图象：
已知$a＞0$，$b＞0$，根据一次函数的性质：
$a＞0$时，一次函数图象从左到右上升，$y$随$x$的增大而增大；
$b＞0$时，一次函数图象与$y$轴的交点在$y$轴正半轴。
观察剩余选项：
A选项中一次函数与$y$轴交点在负半轴，不符合$b＞0$的条件，排除A；
C选项中二次函数开口向上，一次函数从左到右上升、与$y$轴交于正半轴，完全符合$a＞0,b＞0$的所有条件。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 一次函数的图象性质
3. 函数图象共存判断
【点评】
本题是函数图象类基础题，核心考查参数对函数图象的影响，解题时只要熟练掌握一次函数、二次函数的图象与参数的对应关系，结合排除法就能快速得出答案，是对函数图象基础性质的典型考查。
【难度系数】
0.8
要判断两个函数在同一坐标系的图象，需结合已知参数$a＞0$、$b＞0$，分别推导两个函数的图象特征，用排除法逐步筛选正确选项：先根据二次函数的参数特征排除不符合的选项，再结合一次函数的参数特征排除剩余错误选项，最终锁定正确答案。
【解析】
1. 判断二次函数$y=ax^2$的图象：
已知$a＞0$，根据二次函数$y=ax^2$的性质，抛物线开口向上，顶点为坐标原点。因此开口向下的B、D选项不符合要求，排除B、D。
2. 判断一次函数$y=ax+b$的图象：
已知$a＞0$，$b＞0$，根据一次函数的性质：
$a＞0$时，一次函数图象从左到右上升，$y$随$x$的增大而增大；
$b＞0$时，一次函数图象与$y$轴的交点在$y$轴正半轴。
观察剩余选项：
A选项中一次函数与$y$轴交点在负半轴，不符合$b＞0$的条件，排除A；
C选项中二次函数开口向上，一次函数从左到右上升、与$y$轴交于正半轴，完全符合$a＞0,b＞0$的所有条件。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 一次函数的图象性质
3. 函数图象共存判断
【点评】
本题是函数图象类基础题，核心考查参数对函数图象的影响，解题时只要熟练掌握一次函数、二次函数的图象与参数的对应关系，结合排除法就能快速得出答案，是对函数图象基础性质的典型考查。
【难度系数】
0.8
12.若点$(-2,y_1),(-1,y_2),(3,y_3)$都在抛物线$y=(a^2+1)x^2$上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_3＜y_1＜y_2$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_1＜y_2＜y_3$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
D
）A.$y_3＜y_1＜y_2$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_1＜y_2＜y_3$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先分析抛物线解析式的二次项系数，由a²的非负性可知a²+1恒大于0，因此抛物线开口向上，对称轴为y轴。根据开口向上的二次函数的性质：图象上的点距离对称轴越远，对应的函数值越大，接下来只需计算三个点横坐标的绝对值（即到y轴的距离），比较绝对值大小即可得出y值的大小关系。
【解析】
解：
∵ 对于抛物线$y=(a^2+1)x^2$，$a^2≥0$，
∴ $a^2+1≥1＞0$，
∴ 该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴）。
开口向上的抛物线中，点的横坐标的绝对值越大（离对称轴越远），对应的函数值越大。
分别计算三个点横坐标的绝对值：
$|-2|=2$，$|-1|=1$，$|3|=3$，
∵ $1＜2＜3$，
∴ $y_2＜y_1＜y_3$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数y=ax²的性质；二次函数值比较；非负数的性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，再结合对称轴和点到对称轴的距离比较函数值大小，无需代入计算即可快速得到结果，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先分析抛物线解析式的二次项系数，由a²的非负性可知a²+1恒大于0，因此抛物线开口向上，对称轴为y轴。根据开口向上的二次函数的性质：图象上的点距离对称轴越远，对应的函数值越大，接下来只需计算三个点横坐标的绝对值（即到y轴的距离），比较绝对值大小即可得出y值的大小关系。
【解析】
解：
∵ 对于抛物线$y=(a^2+1)x^2$，$a^2≥0$，
∴ $a^2+1≥1＞0$，
∴ 该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴）。
开口向上的抛物线中，点的横坐标的绝对值越大（离对称轴越远），对应的函数值越大。
分别计算三个点横坐标的绝对值：
$|-2|=2$，$|-1|=1$，$|3|=3$，
∵ $1＜2＜3$，
∴ $y_2＜y_1＜y_3$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数y=ax²的性质；二次函数值比较；非负数的性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，再结合对称轴和点到对称轴的距离比较函数值大小，无需代入计算即可快速得到结果，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
【变式·逆向推理】二次函数$y=5x^2$图象上有三个动点$(m,y_1),(m+1,y_2),(m+2,y_3)$，下列说法错误的是（
A.若$y_1＜y_2＜y_3$，则$m＞0$
B.若$y_1=y_3$，则$y_2=0$
C.若$m=-\dfrac{3}{4}$，则$y_2＜y_1＜y_3$
D.无论$m$取何值，都有$y_3-y_2＞y_2-y_1$
A
）A.若$y_1＜y_2＜y_3$，则$m＞0$
B.若$y_1=y_3$，则$y_2=0$
C.若$m=-\dfrac{3}{4}$，则$y_2＜y_1＜y_3$
D.无论$m$取何值，都有$y_3-y_2＞y_2-y_1$
答案
A
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=5x^2$的图象与性质，该函数开口向上，对称轴为y轴（$x=0$），在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，且点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。解题时可先将三个点的函数值用含m的表达式写出，再结合函数性质或代数计算逐一验证每个选项的正误，最终选出错误选项。
【解析】
由题意得：$y_1=5m^2$，$y_2=5(m+1)^2$，$y_3=5(m+2)^2$，逐一分析选项：
选项A：若$y_1＜y_2＜y_3$，不一定有$m＞0$。举反例：当$m=-0.3$时，三个点横坐标为$-0.3、0.7、1.7$，计算得$y_1=5×(-0.3)^2=0.45$，$y_2=5×(0.7)^2=2.45$，$y_3=5×(1.7)^2=14.45$，满足$y_1＜y_2＜y_3$，但$m=-0.3＜0$，故A说法错误。
选项B：若$y_1=y_3$，说明两点关于对称轴$x=0$对称，两点横坐标的中点为对称轴，即$\frac{m+(m+2)}{2}=m+1=0$，解得$m=-1$，代入得$y_2=5×(-1+1)^2=0$，故B说法正确。
选项C：当$m=-\frac{3}{4}$时，三个点横坐标为$-\frac{3}{4}、\frac{1}{4}、\frac{5}{4}$，到对称轴$x=0$的距离分别为$\frac{3}{4}、\frac{1}{4}、\frac{5}{4}$，开口向上时距离越远函数值越大，故$y_2＜y_1＜y_3$，C说法正确。
选项D：计算差值：$y_3-y_2=5[(m+2)^2-(m+1)^2]=5(2m+3)=10m+15$，$y_2-y_1=5[(m+1)^2-m^2]=5(2m+1)=10m+5$，则$(y_3-y_2)-(y_2-y_1)=(10m+15)-(10m+5)=10＞0$，故无论$m$取何值，都有$y_3-y_2＞y_2-y_1$，D说法正确。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数对称性；二次函数增减性
【点评】
本题围绕二次函数$y=ax^2$的核心性质出题，既可以通过几何性质（对称性、增减性）快速判断，也可以通过代数计算验证选项，需要注意题干要求选“说法错误”的选项，避免审题失误。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数$y=5x^2$的图象与性质，该函数开口向上，对称轴为y轴（$x=0$），在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，且点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。解题时可先将三个点的函数值用含m的表达式写出，再结合函数性质或代数计算逐一验证每个选项的正误，最终选出错误选项。
【解析】
由题意得：$y_1=5m^2$，$y_2=5(m+1)^2$，$y_3=5(m+2)^2$，逐一分析选项：
选项A：若$y_1＜y_2＜y_3$，不一定有$m＞0$。举反例：当$m=-0.3$时，三个点横坐标为$-0.3、0.7、1.7$，计算得$y_1=5×(-0.3)^2=0.45$，$y_2=5×(0.7)^2=2.45$，$y_3=5×(1.7)^2=14.45$，满足$y_1＜y_2＜y_3$，但$m=-0.3＜0$，故A说法错误。
选项B：若$y_1=y_3$，说明两点关于对称轴$x=0$对称，两点横坐标的中点为对称轴，即$\frac{m+(m+2)}{2}=m+1=0$，解得$m=-1$，代入得$y_2=5×(-1+1)^2=0$，故B说法正确。
选项C：当$m=-\frac{3}{4}$时，三个点横坐标为$-\frac{3}{4}、\frac{1}{4}、\frac{5}{4}$，到对称轴$x=0$的距离分别为$\frac{3}{4}、\frac{1}{4}、\frac{5}{4}$，开口向上时距离越远函数值越大，故$y_2＜y_1＜y_3$，C说法正确。
选项D：计算差值：$y_3-y_2=5[(m+2)^2-(m+1)^2]=5(2m+3)=10m+15$，$y_2-y_1=5[(m+1)^2-m^2]=5(2m+1)=10m+5$，则$(y_3-y_2)-(y_2-y_1)=(10m+15)-(10m+5)=10＞0$，故无论$m$取何值，都有$y_3-y_2＞y_2-y_1$，D说法正确。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数对称性；二次函数增减性
【点评】
本题围绕二次函数$y=ax^2$的核心性质出题，既可以通过几何性质（对称性、增减性）快速判断，也可以通过代数计算验证选项，需要注意题干要求选“说法错误”的选项，避免审题失误。
【难度系数】
0.7
13. 转化思想 如图，边长为2的正方形ABCD的对角线的交点在平面直角坐标系的原点O处，AD//x轴，以O为顶点且经过A，D两点的抛物线与以O为顶点且经过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是
2
。答案
13.2
解析
【分析】
首先观察图形特征：正方形中心在原点，关于x轴、y轴对称，两条以原点为顶点的抛物线分别关于y轴对称，且两条抛物线关于x轴对称。因此可以利用轴对称的性质，通过割补法将不规则的阴影部分转化为规则图形计算面积：阴影部分通过对称平移拼接后，面积恰好等于正方形面积的一半，只需先计算正方形面积再除以2即可得到结果。
【解析】
已知正方形ABCD的边长为2，因此正方形的面积为：
$S_{\mathrm{正方形}}=2×2=4$
由图形的对称性可知，图中阴影部分可通过割补拼接，其总面积等于正方形面积的一半，因此：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{正方形}}=\frac{1}{2}×4=2$
【答案】
2
【知识点】
二次函数图象的对称性；割补法求面积；正方形面积计算
【点评】
本题解题关键是利用图形的轴对称性质，将不规则的阴影面积转化为易计算的规则图形面积，体现了数学中的转化思想，避免了复杂的面积计算，只要找准对称关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征：正方形中心在原点，关于x轴、y轴对称，两条以原点为顶点的抛物线分别关于y轴对称，且两条抛物线关于x轴对称。因此可以利用轴对称的性质，通过割补法将不规则的阴影部分转化为规则图形计算面积：阴影部分通过对称平移拼接后，面积恰好等于正方形面积的一半，只需先计算正方形面积再除以2即可得到结果。
【解析】
已知正方形ABCD的边长为2，因此正方形的面积为：
$S_{\mathrm{正方形}}=2×2=4$
由图形的对称性可知，图中阴影部分可通过割补拼接，其总面积等于正方形面积的一半，因此：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{正方形}}=\frac{1}{2}×4=2$
【答案】
2
【知识点】
二次函数图象的对称性；割补法求面积；正方形面积计算
【点评】
本题解题关键是利用图形的轴对称性质，将不规则的阴影面积转化为易计算的规则图形面积，体现了数学中的转化思想，避免了复杂的面积计算，只要找准对称关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
14.已知二次函数$y=x^2$,当$-1≤x≤3$时,$y$的取值范围是
【变式·逆向推理】已知二次函数$y=x^2$,当$-2≤x≤m$时,$0≤y≤4$,则$m$的取值范围是
$0≤y≤9$
.【变式·逆向推理】已知二次函数$y=x^2$,当$-2≤x≤m$时,$0≤y≤4$,则$m$的取值范围是
$0≤m≤2$
.答案
14.$0≤y≤9$ 【变式·逆向推理】$0≤m≤2$
解析
【分析】
求解本题首先要明确二次函数$y=x^2$的核心性质：开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点$(0,0)$是图象最低点，函数值在顶点处最小，离对称轴越远函数值越大。
对于原题正向求$y$的取值范围：先判断对称轴是否在给定区间$[-1,3]$内，再分别计算顶点和区间端点的函数值，比较得到最大、最小值即可确定$y$的范围。
对于变式逆向求$m$的范围：先求出$y=4$对应的$x$值为$\pm2$，要满足$0≤y≤4$，首先需保证$x=0$在区间$[-2,m]$内才能取到最小值0，其次区间右端点不能超过2，避免$y$大于4，由此即可确定$m$的取值范围。
【解析】
原题求解
二次函数$y=x^2$图象开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,0)$。
已知区间为$-1≤x≤3$，对称轴$x=0$在该区间内：
1. 当$x=0$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}}=0^2=0$；
2. 计算区间端点的函数值：$x=-1$时，$y=(-1)^2=1$；$x=3$时，$y=3^2=9$，比较得$y_{\mathrm{max}}=9$。
因此$y$的取值范围是$0≤y≤9$。
变式求解
对$y=x^2$，当$y=4$时，$x^2=4$，解得$x=2$或$x=-2$；当$y=0$时，$x=0$。
已知$-2≤x≤m$时$0≤y≤4$：
1. 要使$y$取到最小值0，需$x=0$落在区间$[-2,m]$内，即$m≥0$；
2. 要使$y$最大值不超过4，结合函数开口向上的性质，区间内x的最大值不能超过2（若$m＞2$，则$x=m$时$y=m^2＞4$，不符合要求），因此$m≤2$。
综上，$m$的取值范围是$0≤m≤2$。
【答案】
$0≤y≤9$；$0≤m≤2$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数区间最值；二次函数逆向推理
【点评】
本题考查二次函数$y=x^2$的图象与性质应用，正向解题时需优先判断对称轴与给定区间的位置关系，结合开口方向确定最值位置；逆向解题时要结合函数值的边界反推参数的取值范围，注意端点值的取舍，避免漏解。
【难度系数】
0.75
求解本题首先要明确二次函数$y=x^2$的核心性质：开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点$(0,0)$是图象最低点，函数值在顶点处最小，离对称轴越远函数值越大。
对于原题正向求$y$的取值范围：先判断对称轴是否在给定区间$[-1,3]$内，再分别计算顶点和区间端点的函数值，比较得到最大、最小值即可确定$y$的范围。
对于变式逆向求$m$的范围：先求出$y=4$对应的$x$值为$\pm2$，要满足$0≤y≤4$，首先需保证$x=0$在区间$[-2,m]$内才能取到最小值0，其次区间右端点不能超过2，避免$y$大于4，由此即可确定$m$的取值范围。
【解析】
原题求解
二次函数$y=x^2$图象开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,0)$。
已知区间为$-1≤x≤3$，对称轴$x=0$在该区间内：
1. 当$x=0$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}}=0^2=0$；
2. 计算区间端点的函数值：$x=-1$时，$y=(-1)^2=1$；$x=3$时，$y=3^2=9$，比较得$y_{\mathrm{max}}=9$。
因此$y$的取值范围是$0≤y≤9$。
变式求解
对$y=x^2$，当$y=4$时，$x^2=4$，解得$x=2$或$x=-2$；当$y=0$时，$x=0$。
已知$-2≤x≤m$时$0≤y≤4$：
1. 要使$y$取到最小值0，需$x=0$落在区间$[-2,m]$内，即$m≥0$；
2. 要使$y$最大值不超过4，结合函数开口向上的性质，区间内x的最大值不能超过2（若$m＞2$，则$x=m$时$y=m^2＞4$，不符合要求），因此$m≤2$。
综上，$m$的取值范围是$0≤m≤2$。
【答案】
$0≤y≤9$；$0≤m≤2$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数区间最值；二次函数逆向推理
【点评】
本题考查二次函数$y=x^2$的图象与性质应用，正向解题时需优先判断对称轴与给定区间的位置关系，结合开口方向确定最值位置；逆向解题时要结合函数值的边界反推参数的取值范围，注意端点值的取舍，避免漏解。
【难度系数】
0.75
15.已知函数$y=(m+2) · x^{m^2 + m - 4}$是关于x的二次函数.
(1)求m的值；
(2)当$m=$
(3)当$m=$
(1)求m的值；
(2)当$m=$
2
时，此函数图象有最低点，最低点的坐标是$(0,0)$
，此时，若$x$$＞0$
，则$y$随$x$的增大而增大；(3)当$m=$
-3
时，此函数有最大值，最大值是0
，此时，若$x$$＞0$
，则$y$随$x$的增大而减小.答案
15.解：(1)2或-3.(2)2;$(0,0)$;$＞0$ (3)-3;0;$＞0$
解析
【分析】
解决这道题需结合二次函数的定义和$y=ax^2$的图象性质逐步推导：第(1)问要先根据二次函数的定义列条件，需同时满足x的最高次数为2、二次项系数不为0，求解即可得到m的取值；第(2)问函数有最低点说明抛物线开口向上，即二次项系数大于0，筛选出对应m值后，再结合$y=ax^2$的性质写出最低点坐标和y随x增大而增大的区间；第(3)问函数有最大值说明抛物线开口向下，即二次项系数小于0，筛选对应m值后，再结合性质写出最大值和y随x增大而减小的区间。
【解析】
(1) 因为$y=(m+2)x^{m^2 + m - 4}$是关于x的二次函数，根据二次函数定义可得：
$\begin{cases}m^2 + m - 4 = 2 \\ m + 2 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 + m - 4 = 2$，整理得$m^2 + m - 6 = 0$，因式分解得$(m+3)(m-2)=0$，解得$m=2$或$m=-3$。
不等式$m+2≠0$解得$m≠-2$，因此m的值为2或-3。
(2) 函数图象有最低点说明抛物线开口向上，即二次项系数$m+2＞0$，解得$m＞-2$，结合(1)的结果可得$m=2$。
此时函数为$y=4x^2$，其顶点（最低点）坐标为$(0,0)$；该函数开口向上，对称轴为y轴，因此当$x＞0$时，y随x的增大而增大。
(3) 函数有最大值说明抛物线开口向下，即二次项系数$m+2＜0$，解得$m＜-2$，结合(1)的结果可得$m=-3$。
此时函数为$y=-x^2$，其最大值为顶点的纵坐标0；该函数开口向下，对称轴为y轴，因此当$x＞0$时，y随x的增大而减小。
【答案】
(1)m的值为2或-3；(2)2；$(0,0)$；$＞0$；(3)-3；0；$＞0$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数$y=ax^2$的图象与性质
【点评】
本题是二次函数基础性质的常规考查题，解题核心是明确二次函数的定义限制，以及开口方向对最值、增减性的影响，掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解决这道题需结合二次函数的定义和$y=ax^2$的图象性质逐步推导：第(1)问要先根据二次函数的定义列条件，需同时满足x的最高次数为2、二次项系数不为0，求解即可得到m的取值；第(2)问函数有最低点说明抛物线开口向上，即二次项系数大于0，筛选出对应m值后，再结合$y=ax^2$的性质写出最低点坐标和y随x增大而增大的区间；第(3)问函数有最大值说明抛物线开口向下，即二次项系数小于0，筛选对应m值后，再结合性质写出最大值和y随x增大而减小的区间。
【解析】
(1) 因为$y=(m+2)x^{m^2 + m - 4}$是关于x的二次函数，根据二次函数定义可得：
$\begin{cases}m^2 + m - 4 = 2 \\ m + 2 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 + m - 4 = 2$，整理得$m^2 + m - 6 = 0$，因式分解得$(m+3)(m-2)=0$，解得$m=2$或$m=-3$。
不等式$m+2≠0$解得$m≠-2$，因此m的值为2或-3。
(2) 函数图象有最低点说明抛物线开口向上，即二次项系数$m+2＞0$，解得$m＞-2$，结合(1)的结果可得$m=2$。
此时函数为$y=4x^2$，其顶点（最低点）坐标为$(0,0)$；该函数开口向上，对称轴为y轴，因此当$x＞0$时，y随x的增大而增大。
(3) 函数有最大值说明抛物线开口向下，即二次项系数$m+2＜0$，解得$m＜-2$，结合(1)的结果可得$m=-3$。
此时函数为$y=-x^2$，其最大值为顶点的纵坐标0；该函数开口向下，对称轴为y轴，因此当$x＞0$时，y随x的增大而减小。
【答案】
(1)m的值为2或-3；(2)2；$(0,0)$；$＞0$；(3)-3；0；$＞0$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数$y=ax^2$的图象与性质
【点评】
本题是二次函数基础性质的常规考查题，解题核心是明确二次函数的定义限制，以及开口方向对最值、增减性的影响，掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
16. 推理能力 如图，正方形四个顶点的坐标依次为$(1,1),(3,1),(3,3),(1,3)$，若抛物线$y=ax^2$与正方形的边有公共点，则实数$a$的取值范围是（
A.$\frac{1}{9}≤ a≤ 3$
B.$\frac{1}{9}≤ a≤ 1$
C.$\frac{1}{3}≤ a≤ 3$
D.$\frac{1}{3}≤ a≤ 1$
A
）A.$\frac{1}{9}≤ a≤ 3$
B.$\frac{1}{9}≤ a≤ 1$
C.$\frac{1}{3}≤ a≤ 3$
D.$\frac{1}{3}≤ a≤ 1$
答案
16.A
解析
【分析】
要确定抛物线$y=ax^2$与正方形有公共点时$a$的取值范围，需结合二次函数的性质分析：$a＞0$时，$a$越大抛物线开口越窄，$a$越小开口越宽。只需找到两个临界情况：抛物线恰好经过正方形左上顶点$(1,3)$时$a$取最大值，恰好经过正方形右下顶点$(3,1)$时$a$取最小值，代入两点坐标计算即可得到$a$的范围。
【解析】
已知正方形顶点坐标为$(1,1)$、$(3,1)$、$(3,3)$、$(1,3)$，抛物线$y=ax^2$开口向上：
1. 求$a$的最大值：当抛物线开口最窄，刚好经过点$(1,3)$时，$a$最大。
将$x=1,y=3$代入$y=ax^2$，得：
$3=a×1^2$，解得$a=3$。
2. 求$a$的最小值：当抛物线开口最宽，刚好经过点$(3,1)$时，$a$最小。
将$x=3,y=1$代入$y=ax^2$，得：
$1=a×3^2$，即$9a=1$，解得$a=\frac{1}{9}$。
综上，当抛物线与正方形的边有公共点时，实数$a$的取值范围是$\frac{1}{9}\le a\le 3$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；点与函数图象的关系
【点评】
本题结合几何图形考查二次函数的图象性质，解题核心是找到抛物线与正方形有交点的临界位置，通过代入特殊点坐标求解参数范围，渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
要确定抛物线$y=ax^2$与正方形有公共点时$a$的取值范围，需结合二次函数的性质分析：$a＞0$时，$a$越大抛物线开口越窄，$a$越小开口越宽。只需找到两个临界情况：抛物线恰好经过正方形左上顶点$(1,3)$时$a$取最大值，恰好经过正方形右下顶点$(3,1)$时$a$取最小值，代入两点坐标计算即可得到$a$的范围。
【解析】
已知正方形顶点坐标为$(1,1)$、$(3,1)$、$(3,3)$、$(1,3)$，抛物线$y=ax^2$开口向上：
1. 求$a$的最大值：当抛物线开口最窄，刚好经过点$(1,3)$时，$a$最大。
将$x=1,y=3$代入$y=ax^2$，得：
$3=a×1^2$，解得$a=3$。
2. 求$a$的最小值：当抛物线开口最宽，刚好经过点$(3,1)$时，$a$最小。
将$x=3,y=1$代入$y=ax^2$，得：
$1=a×3^2$，即$9a=1$，解得$a=\frac{1}{9}$。
综上，当抛物线与正方形的边有公共点时，实数$a$的取值范围是$\frac{1}{9}\le a\le 3$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；点与函数图象的关系
【点评】
本题结合几何图形考查二次函数的图象性质，解题核心是找到抛物线与正方形有交点的临界位置，通过代入特殊点坐标求解参数范围，渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
