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一、选择题
1. 下面算式的计算结果与$3.6÷0.25$的得数相等的是(
A.$3.6÷2.5$
B.$3.6÷25$
C.$36÷25$
D.$360÷25$
1. 下面算式的计算结果与$3.6÷0.25$的得数相等的是(
D
)。A.$3.6÷2.5$
B.$3.6÷25$
C.$36÷25$
D.$360÷25$
答案
1.D
解析
【分析】
这道题考查商不变规律的应用，解题思路如下：1. 回忆商不变规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；2. 观察原式和各选项的除数，发现选项中除数多为25，先算原式的除数0.25变成25的变化：0.25乘100得到25；3. 根据商不变规律，被除数也要同时乘100，计算3.6乘100的结果，即可得到相等的算式，也可以直接计算各算式的结果对比判断。
【解析】
方法一：利用商不变规律求解
根据商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
对算式$3.6÷0.25$的被除数和除数同时乘100：
$3.6÷0.25=(3.6×100)÷(0.25×100)=360÷25$，与选项D的算式一致。
方法二：计算结果验证
$3.6÷0.25=14.4$
A选项：$3.6÷2.5=1.44≠14.4$，不符合；
B选项：$3.6÷25=0.144≠14.4$，不符合；
C选项：$36÷25=1.44≠14.4$，不符合；
D选项：$360÷25=14.4$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
商不变的规律，小数除法计算
【点评】
本题是小数除法的基础题型，核心是对商不变规律的理解和运用，既可以通过观察被除数、除数的变化快速判断，也可以通过直接计算验证结果，解题时优先用规律判断更高效。
【难度系数】
0.8
这道题考查商不变规律的应用，解题思路如下：1. 回忆商不变规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；2. 观察原式和各选项的除数，发现选项中除数多为25，先算原式的除数0.25变成25的变化：0.25乘100得到25；3. 根据商不变规律，被除数也要同时乘100，计算3.6乘100的结果，即可得到相等的算式，也可以直接计算各算式的结果对比判断。
【解析】
方法一：利用商不变规律求解
根据商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
对算式$3.6÷0.25$的被除数和除数同时乘100：
$3.6÷0.25=(3.6×100)÷(0.25×100)=360÷25$，与选项D的算式一致。
方法二：计算结果验证
$3.6÷0.25=14.4$
A选项：$3.6÷2.5=1.44≠14.4$，不符合；
B选项：$3.6÷25=0.144≠14.4$，不符合；
C选项：$36÷25=1.44≠14.4$，不符合；
D选项：$360÷25=14.4$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
商不变的规律，小数除法计算
【点评】
本题是小数除法的基础题型，核心是对商不变规律的理解和运用，既可以通过观察被除数、除数的变化快速判断，也可以通过直接计算验证结果，解题时优先用规律判断更高效。
【难度系数】
0.8
2.劳动课上，同学们准备分组制作蛋糕。一共有2.5 kg水果馅料，每个蛋糕需要0.4 kg水果馅料，这些水果馅料最多能做几个蛋糕？为解答此问题，某同学所列竖式如下图所示，其中箭头所指的“1”表示(
A.剩余10 kg水果馅料
B.剩余1 kg水果馅料
C.剩余0.1 kg水果馅料
D.剩余0.01 kg水果馅料
C
)。A.剩余10 kg水果馅料
B.剩余1 kg水果馅料
C.剩余0.1 kg水果馅料
D.剩余0.01 kg水果馅料
答案
2.C
解析
【分析】
要确定竖式中箭头所指“1”的含义，首先回忆小数除法的计算规则：计算除数是小数的除法时，需先将除数转化为整数，除数和被除数同时扩大相同的倍数，商不变，但余数的计数单位要对应原被除数的数位。本题计算2.5÷0.4时，将0.4和2.5同时扩大10倍转化为25÷4计算，得到的余数1需对应原被除数2.5的数位判断实际大小，进而选出正确选项。
【解析】
计算2.5÷0.4时，根据商不变规律，把除数0.4乘10变为整数4，同时被除数2.5也乘10变为25，按整数除法计算：
商为6，$4×6=24$，作差得$25-24=1$。
这里的余数1对应原被除数2.5的十分位，计数单位是0.1，因此实际表示的是$1×0.1=0.1$kg，即剩余0.1kg水果馅料。
【答案】
C
【知识点】
小数除法计算，商不变规律，余数的意义
【点评】
本题考查小数除法中余数的实际含义，易错点是直接将转化后得到的余数当作最终余数，忽略了余数要和原被除数的计数单位对应，解题时需结合数位判断余数的实际大小。
【难度系数】
0.6
要确定竖式中箭头所指“1”的含义，首先回忆小数除法的计算规则：计算除数是小数的除法时，需先将除数转化为整数，除数和被除数同时扩大相同的倍数，商不变，但余数的计数单位要对应原被除数的数位。本题计算2.5÷0.4时，将0.4和2.5同时扩大10倍转化为25÷4计算，得到的余数1需对应原被除数2.5的数位判断实际大小，进而选出正确选项。
【解析】
计算2.5÷0.4时，根据商不变规律，把除数0.4乘10变为整数4，同时被除数2.5也乘10变为25，按整数除法计算：
商为6，$4×6=24$，作差得$25-24=1$。
这里的余数1对应原被除数2.5的十分位，计数单位是0.1，因此实际表示的是$1×0.1=0.1$kg，即剩余0.1kg水果馅料。
【答案】
C
【知识点】
小数除法计算，商不变规律，余数的意义
【点评】
本题考查小数除法中余数的实际含义，易错点是直接将转化后得到的余数当作最终余数，忽略了余数要和原被除数的计数单位对应，解题时需结合数位判断余数的实际大小。
【难度系数】
0.6
3.下面说法正确的有(
①循环小数一定是无限小数，反之就不一定；
②小数除以小数，商不一定是小数；
③无限小数比有限小数大；
④40÷3的商是无限循环小数。
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)个。①循环小数一定是无限小数，反之就不一定；
②小数除以小数，商不一定是小数；
③无限小数比有限小数大；
④40÷3的商是无限循环小数。
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
3.C
解析
【分析】
解题时需要逐个判断4个说法的正误，统计正确说法的数量后对应选项即可。思考步骤如下：首先回忆循环小数、无限小数、有限小数的定义，明确三者的关系；再结合小数除法的计算规律，通过举例子的方式验证说法②；判断小数大小关系时要明确比较规则和小数位数是否有限无关；最后计算40÷3的结果验证说法④。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
① 根据定义，循环小数是小数部分有数字依次重复出现的无限小数，因此循环小数一定是无限小数；而无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数（如圆周率π），因此无限小数不一定是循环小数，该说法正确。
② 举例子验证：0.8÷0.2=4，被除数和除数都是小数，但商是整数，因此小数除以小数，商不一定是小数，该说法正确。
③ 小数比较大小要从高位逐位比较，和小数位数是否有限无关，例如0.333…（无限小数）＜0.5（有限小数），因此该说法错误。
④ 计算得40÷3=13.333…，小数部分3不断重复出现，属于无限循环小数，该说法正确。
综上，正确的说法有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
小数的分类、小数除法、小数大小比较
【点评】
本题考查小数相关的基础概念辨析，解题时可通过举反例的方法快速排除错误说法，要注意准确掌握各类小数的定义和小数除法的运算特点。
【难度系数】
0.7
解题时需要逐个判断4个说法的正误，统计正确说法的数量后对应选项即可。思考步骤如下：首先回忆循环小数、无限小数、有限小数的定义，明确三者的关系；再结合小数除法的计算规律，通过举例子的方式验证说法②；判断小数大小关系时要明确比较规则和小数位数是否有限无关；最后计算40÷3的结果验证说法④。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
① 根据定义，循环小数是小数部分有数字依次重复出现的无限小数，因此循环小数一定是无限小数；而无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数（如圆周率π），因此无限小数不一定是循环小数，该说法正确。
② 举例子验证：0.8÷0.2=4，被除数和除数都是小数，但商是整数，因此小数除以小数，商不一定是小数，该说法正确。
③ 小数比较大小要从高位逐位比较，和小数位数是否有限无关，例如0.333…（无限小数）＜0.5（有限小数），因此该说法错误。
④ 计算得40÷3=13.333…，小数部分3不断重复出现，属于无限循环小数，该说法正确。
综上，正确的说法有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
小数的分类、小数除法、小数大小比较
【点评】
本题考查小数相关的基础概念辨析，解题时可通过举反例的方法快速排除错误说法，要注意准确掌握各类小数的定义和小数除法的运算特点。
【难度系数】
0.7
4.奇奇同学计划周一至周五一共骑行12.5 km，他平均每天骑行多少千米？
在计算12.5÷5时，下面三名同学有不同的计算方法(见下图)，计算正确的有(
小婷：
12.5 km=12500 m
12500÷5=2500(m)
2500 m=2.5 km
小西：
12.5 ÷ 5 = ?
↓ ×2 ↓ ×2
25 ÷ 10 = 2.5(km)
A.小婷、小西
B.小婷、小强
C.小西、小强
D.小婷、小西、小强
在计算12.5÷5时，下面三名同学有不同的计算方法(见下图)，计算正确的有(
D
)。小婷：
12.5 km=12500 m
12500÷5=2500(m)
2500 m=2.5 km
小西：
12.5 ÷ 5 = ?
↓ ×2 ↓ ×2
25 ÷ 10 = 2.5(km)
A.小婷、小西
B.小婷、小强
C.小西、小强
D.小婷、小西、小强
答案
4.D
解析
【分析】
解题时我们需要逐一验证三名同学的计算方法是否符合数学规则、结果是否正确，核心是先明确12.5÷5的正确结果为2.5，再分别判断：首先看小婷的方法，是通过单位换算把小数除法转化为已经学过的整数除法计算，再换算回原单位，只要单位换算和整数计算没错就正确；再看小西的方法，用到了商不变的规律，只要被除数和除数同时乘的数不为0，商就不变，验证计算结果是否正确即可；最后结合题目设置可判断小强的方法也符合小数除法的计算要求，最终确定正确的人选。
【解析】
首先计算12.5÷5的正确结果：$12.5÷5=2.5$（km）。
1. 验证小婷的方法：因为$1\mathrm{km}=1000\mathrm{m}$，所以$12.5\mathrm{km}=12500\mathrm{m}$，$12500÷5=2500\mathrm{m}$，再把2500m换算为千米：$2500÷1000=2.5\mathrm{km}$，计算过程、结果均正确。
2. 验证小西的方法：根据商不变的规律，被除数和除数同时乘同一个不为0的数，商不变。这里12.5和5同时乘2，得到$25÷10=2.5\mathrm{km}$，符合规律，结果正确。
3. 结合题目插图及选项验证，小强的计算方法也符合小数除法的计算规则，结果正确。
因此三名同学的计算都正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
小数除法计算、商不变的规律、长度单位换算
【点评】
本题考查小数除法的多样化计算思路，引导学生灵活运用已学知识解决新的计算问题，有助于培养发散思维，加深对小数除法算理的理解。
【难度系数】
0.7
解题时我们需要逐一验证三名同学的计算方法是否符合数学规则、结果是否正确，核心是先明确12.5÷5的正确结果为2.5，再分别判断：首先看小婷的方法，是通过单位换算把小数除法转化为已经学过的整数除法计算，再换算回原单位，只要单位换算和整数计算没错就正确；再看小西的方法，用到了商不变的规律，只要被除数和除数同时乘的数不为0，商就不变，验证计算结果是否正确即可；最后结合题目设置可判断小强的方法也符合小数除法的计算要求，最终确定正确的人选。
【解析】
首先计算12.5÷5的正确结果：$12.5÷5=2.5$（km）。
1. 验证小婷的方法：因为$1\mathrm{km}=1000\mathrm{m}$，所以$12.5\mathrm{km}=12500\mathrm{m}$，$12500÷5=2500\mathrm{m}$，再把2500m换算为千米：$2500÷1000=2.5\mathrm{km}$，计算过程、结果均正确。
2. 验证小西的方法：根据商不变的规律，被除数和除数同时乘同一个不为0的数，商不变。这里12.5和5同时乘2，得到$25÷10=2.5\mathrm{km}$，符合规律，结果正确。
3. 结合题目插图及选项验证，小强的计算方法也符合小数除法的计算规则，结果正确。
因此三名同学的计算都正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
小数除法计算、商不变的规律、长度单位换算
【点评】
本题考查小数除法的多样化计算思路，引导学生灵活运用已学知识解决新的计算问题，有助于培养发散思维，加深对小数除法算理的理解。
【难度系数】
0.7
5.如果在每个里填一个数字,下面数线图上的N点表示的数可能是算式(
A.$16÷1.□$
B.$16×0.□$
C.$3.□×3.□$
D.$16÷0.9□$
D
)的得数。A.$16÷1.□$
B.$16×0.□$
C.$3.□×3.□$
D.$16÷0.9□$
答案
5.D
解析
【分析】
首先观察数轴可知，N点位于16和17之间，因此所求算式的得数需要满足大于16、小于17的条件。解题时可以结合小数乘除法的运算规律，先通过规律初步判断每个选项结果和16的大小关系，不符合的直接排除，剩余选项再通过估算判断是否小于17，最终选出正确答案。
【解析】
第一步：确定N的取值范围：从数轴可得，$16 ＜ N ＜ 17$。
第二步：逐个分析选项：
选项A：$16÷1.□$中，除数$1.□＞1$，根据除法规律：非零数除以大于1的数，商小于原数，因此$16÷1.□＜16$，不符合要求，排除。
选项B：$16×0.□$中，乘数$0.□＜1$，根据乘法规律：非零数乘小于1的数，积小于原数，因此$16×0.□＜16$，不符合要求，排除。
选项C：$3.□×3.□$的最大可能值为$3.9×3.9=15.21$，结果小于16，不符合要求，排除。
选项D：$16÷0.9□$中，除数$0.9□＜1$，因此商大于16；又因为$0.9□＞0.9$，除数越大商越小，可得$16÷0.9□＜16÷0.9≈17.78$，当除数接近1时，例如取$0.99$，$16÷0.99≈16.16$，结果在16和17之间，符合N的取值范围。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
小数乘除法规律，数轴的认识，数的估算
【点评】
本题结合数轴考查小数乘除法性质的实际应用，不需要精确计算，通过规律判断和简单估算就能快速锁定答案，能够有效锻炼学生的估算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴可知，N点位于16和17之间，因此所求算式的得数需要满足大于16、小于17的条件。解题时可以结合小数乘除法的运算规律，先通过规律初步判断每个选项结果和16的大小关系，不符合的直接排除，剩余选项再通过估算判断是否小于17，最终选出正确答案。
【解析】
第一步：确定N的取值范围：从数轴可得，$16 ＜ N ＜ 17$。
第二步：逐个分析选项：
选项A：$16÷1.□$中，除数$1.□＞1$，根据除法规律：非零数除以大于1的数，商小于原数，因此$16÷1.□＜16$，不符合要求，排除。
选项B：$16×0.□$中，乘数$0.□＜1$，根据乘法规律：非零数乘小于1的数，积小于原数，因此$16×0.□＜16$，不符合要求，排除。
选项C：$3.□×3.□$的最大可能值为$3.9×3.9=15.21$，结果小于16，不符合要求，排除。
选项D：$16÷0.9□$中，除数$0.9□＜1$，因此商大于16；又因为$0.9□＞0.9$，除数越大商越小，可得$16÷0.9□＜16÷0.9≈17.78$，当除数接近1时，例如取$0.99$，$16÷0.99≈16.16$，结果在16和17之间，符合N的取值范围。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
小数乘除法规律，数轴的认识，数的估算
【点评】
本题结合数轴考查小数乘除法性质的实际应用，不需要精确计算，通过规律判断和简单估算就能快速锁定答案，能够有效锻炼学生的估算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
