登录
1. $\frac{1}{2}$的相反数是(
A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$2$
D.$-2$
B
)A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$2$
D.$-2$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。要求$\frac{1}{2}$的相反数，只需要改变$\frac{1}{2}$的符号，原来的数是正数，改成负号即可得到它的相反数，再对应选项选出答案即可。
【解析】
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
正数的相反数是负数，因此给$\frac{1}{2}$改变符号后，得到它的相反数为$-\frac{1}{2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
相反数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对相反数概念的理解，熟练掌握相关定义即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。要求$\frac{1}{2}$的相反数，只需要改变$\frac{1}{2}$的符号，原来的数是正数，改成负号即可得到它的相反数，再对应选项选出答案即可。
【解析】
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
正数的相反数是负数，因此给$\frac{1}{2}$改变符号后，得到它的相反数为$-\frac{1}{2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
相反数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对相反数概念的理解，熟练掌握相关定义即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 过度包装既浪费资源又污染环境. 据测算,如果全国每年减少10%的过度包装纸用量,那么可减排二氧化碳3 120 000 t. 把数3 120 000用科学记数法表示为(
A.$3.12× 10^{5}$
B.$3.12× 10^{6}$
C.$31.2× 10^{5}$
D.$0.312× 10^{7}$
B
)A.$3.12× 10^{5}$
B.$3.12× 10^{6}$
C.$31.2× 10^{5}$
D.$0.312× 10^{7}$
答案
2.B
解析
【分析】
要将大数用科学记数法表示，首先回忆科学记数法的定义：科学记数法的标准形式为$a×10^n$，其中要求$1≤|a|＜10$，$n$为正整数（原数大于1时）。解题时可分两步走：第一步先判断$a$的取值是否符合要求，快速排除错误选项；第二步再根据原数的整数位数确定$n$的数值，即可得到正确结果。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。
1. 确定$a$的值：将3120000的小数点向左移动，直到得到的数满足$1≤a＜10$，移动后得到$a=3.12$，据此可排除C选项（$a=31.2＞10$）和D选项（$a=0.312＜1$）。
2. 确定$n$的值：原数3120000是大于1的正整数，整数位数共7位，对于大于1的数，$n$等于原数的整数位数减1，即$n=7-1=6$，因此可排除A选项（$n=5$）。
因此3120000用科学记数法表示为$3.12×10^6$。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法的表示
【点评】
本题是科学记数法的基础考查题，解题核心是准确掌握科学记数法中$a$的取值要求和$n$的计算规则，熟练掌握相关规则即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
要将大数用科学记数法表示，首先回忆科学记数法的定义：科学记数法的标准形式为$a×10^n$，其中要求$1≤|a|＜10$，$n$为正整数（原数大于1时）。解题时可分两步走：第一步先判断$a$的取值是否符合要求，快速排除错误选项；第二步再根据原数的整数位数确定$n$的数值，即可得到正确结果。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。
1. 确定$a$的值：将3120000的小数点向左移动，直到得到的数满足$1≤a＜10$，移动后得到$a=3.12$，据此可排除C选项（$a=31.2＞10$）和D选项（$a=0.312＜1$）。
2. 确定$n$的值：原数3120000是大于1的正整数，整数位数共7位，对于大于1的数，$n$等于原数的整数位数减1，即$n=7-1=6$，因此可排除A选项（$n=5$）。
因此3120000用科学记数法表示为$3.12×10^6$。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法的表示
【点评】
本题是科学记数法的基础考查题，解题核心是准确掌握科学记数法中$a$的取值要求和$n$的计算规则，熟练掌握相关规则即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
3. 下列四个数中,最小的数是(
A.$-|-3|$
B.$|-3^2|$
C.$-(-3)$
D.$-\dfrac{1}{3}$
A
)A.$-|-3|$
B.$|-3^2|$
C.$-(-3)$
D.$-\dfrac{1}{3}$
答案
3.A
解析
【分析】
要解决这道找最小数的题目，首先需要先把每个选项中带绝对值、括号、乘方的式子化简成普通有理数，再根据有理数大小比较的规则判断大小即可。具体思路是先逐个计算每个选项的结果，再按照“正数大于0、0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”的规律排序，最终找到最小的数。
【解析】
先分别化简四个选项的数值：
A. $-|-3|$：先计算绝对值$|-3|=3$，再添加负号，得$-|-3|=-3$；
B. $|-3^2|$：先计算乘方$3^2=9$，得$-3^2=-9$，再计算绝对值$|-9|=9$；
C. $-(-3)$：根据去括号规则，负负得正，得$-(-3)=3$；
D. $-\dfrac{1}{3}$已是最简形式，值为$-\dfrac{1}{3}$。
将四个数按照从小到大排序：$-3 ＜ -\dfrac{1}{3} ＜ 3 ＜ 9$，因此最小的数是$-|-3|$。
【答案】A
【知识点】
绝对值化简；有理数大小比较；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是先准确化简各选项的数值，再运用有理数大小比较规则判断即可，解题时要注意符号运算的优先级，避免出现将$-3^2$错算成$(-3)^2$这类符号错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道找最小数的题目，首先需要先把每个选项中带绝对值、括号、乘方的式子化简成普通有理数，再根据有理数大小比较的规则判断大小即可。具体思路是先逐个计算每个选项的结果，再按照“正数大于0、0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”的规律排序，最终找到最小的数。
【解析】
先分别化简四个选项的数值：
A. $-|-3|$：先计算绝对值$|-3|=3$，再添加负号，得$-|-3|=-3$；
B. $|-3^2|$：先计算乘方$3^2=9$，得$-3^2=-9$，再计算绝对值$|-9|=9$；
C. $-(-3)$：根据去括号规则，负负得正，得$-(-3)=3$；
D. $-\dfrac{1}{3}$已是最简形式，值为$-\dfrac{1}{3}$。
将四个数按照从小到大排序：$-3 ＜ -\dfrac{1}{3} ＜ 3 ＜ 9$，因此最小的数是$-|-3|$。
【答案】A
【知识点】
绝对值化简；有理数大小比较；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是先准确化简各选项的数值，再运用有理数大小比较规则判断即可，解题时要注意符号运算的优先级，避免出现将$-3^2$错算成$(-3)^2$这类符号错误。
【难度系数】
0.8
4. 下列方程中, 解为 $ x = -2 $ 的方程是(
A.$4x = 2$
B.$3x + 6 = 0$
C.$\frac{1}{3}x = 3$
D.$7x - 14 = 0$
B
)A.$4x = 2$
B.$3x + 6 = 0$
C.$\frac{1}{3}x = 3$
D.$7x - 14 = 0$
答案
4.B
解析
【分析】
判断某个值是不是方程的解，有两种常用思路：一是将该值代入各个选项的方程中，分别计算方程左右两边的数值，若左右两边数值相等，则该值是这个方程的解；二是分别求解四个选项中的一元一次方程，对比哪个方程的解为x=-2即可。
【解析】
我们采用代入验证法逐一判断：
A选项：把x=-2代入方程4x=2，左边=4×(-2)=-8，右边=2，左边≠右边，因此x=-2不是该方程的解；
B选项：把x=-2代入方程3x+6=0，左边=3×(-2)+6=-6+6=0，右边=0，左边=右边，因此x=-2是该方程的解；
C选项：把x=-2代入方程$\frac{1}{3}x=3$，左边=$\frac{1}{3}×(-2)=-\frac{2}{3}$，右边=3，左边≠右边，因此x=-2不是该方程的解；
D选项：把x=-2代入方程7x-14=0，左边=7×(-2)-14=-14-14=-28，右边=0，左边≠右边，因此x=-2不是该方程的解。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题是基础类考题，核心考查对方程解的定义的理解，无论是代入验证还是直接解方程的方法都较为简单，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
判断某个值是不是方程的解，有两种常用思路：一是将该值代入各个选项的方程中，分别计算方程左右两边的数值，若左右两边数值相等，则该值是这个方程的解；二是分别求解四个选项中的一元一次方程，对比哪个方程的解为x=-2即可。
【解析】
我们采用代入验证法逐一判断：
A选项：把x=-2代入方程4x=2，左边=4×(-2)=-8，右边=2，左边≠右边，因此x=-2不是该方程的解；
B选项：把x=-2代入方程3x+6=0，左边=3×(-2)+6=-6+6=0，右边=0，左边=右边，因此x=-2是该方程的解；
C选项：把x=-2代入方程$\frac{1}{3}x=3$，左边=$\frac{1}{3}×(-2)=-\frac{2}{3}$，右边=3，左边≠右边，因此x=-2不是该方程的解；
D选项：把x=-2代入方程7x-14=0，左边=7×(-2)-14=-14-14=-28，右边=0，左边≠右边，因此x=-2不是该方程的解。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题是基础类考题，核心考查对方程解的定义的理解，无论是代入验证还是直接解方程的方法都较为简单，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
5. 下图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,从前面看到的平面图形是(
D
)答案
5.D
解析
【分析】
本题要求选出几何体从前面看到的平面图形，即主视图。解题时首先明确主视图的观察方向是正前方，接下来分两步判断：第一步确定主视图的横向列数，第二步确定每一列上小正方形的个数（对应几何体该列的小正方体层数）。观察几何体，从正前方看横向共3列，从左到右每列的层数分别为1、2、1，据此匹配选项即可。
【解析】
从正面观察该几何体：
1. 横向可分为3列；
2. 从左到右数：第1列只有1层小正方体，对应1个小正方形；第2列有2层小正方体，对应2个上下排列的小正方形；第3列只有1层小正方体，对应1个小正方形；
因此得到的主视图为下层3个并排小正方形，上层正中间有1个小正方形，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
主视图识别，组合体三视图判断
【点评】
本题是三视图的基础考查题型，解题核心是明确观察方向，准确判断每列小正方体的层数，注意区分主视图、左视图和俯视图的观察角度，避免混淆。
【难度系数】
0.8
本题要求选出几何体从前面看到的平面图形，即主视图。解题时首先明确主视图的观察方向是正前方，接下来分两步判断：第一步确定主视图的横向列数，第二步确定每一列上小正方形的个数（对应几何体该列的小正方体层数）。观察几何体，从正前方看横向共3列，从左到右每列的层数分别为1、2、1，据此匹配选项即可。
【解析】
从正面观察该几何体：
1. 横向可分为3列；
2. 从左到右数：第1列只有1层小正方体，对应1个小正方形；第2列有2层小正方体，对应2个上下排列的小正方形；第3列只有1层小正方体，对应1个小正方形；
因此得到的主视图为下层3个并排小正方形，上层正中间有1个小正方形，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
主视图识别，组合体三视图判断
【点评】
本题是三视图的基础考查题型，解题核心是明确观察方向，准确判断每列小正方体的层数，注意区分主视图、左视图和俯视图的观察角度，避免混淆。
【难度系数】
0.8
6. 高速公路上，从3 km处开始，每隔4 km经过一个限速标志牌，并且从10 km处开始，每隔9 km经过一个速度监控仪. 司机小王刚好在19 km的A处第一次同时经过这两种设施，那么，司机小王第二次同时经过这两种设施需要从A处继续行驶(
A.36 km
B.37 km
C.55 km
D.91 km
A
)A.36 km
B.37 km
C.55 km
D.91 km
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先要理解：同时经过两种设施时，两次相遇的间隔距离必须同时是两种设施设置间隔的倍数，也就是4和9的公倍数。要求第二次同时经过需要从A处继续行驶的距离，本质就是求4和9的最小公倍数，因为最小公倍数就是相邻两次同时经过的最短间隔距离。还要注意区分“继续行驶的距离”和“第二次相遇点的总里程”，避免错算。
【解析】
解：
∵限速标志牌每隔4km设置一个，速度监控仪每隔9km设置一个
∴相邻两次同时经过两种设施的间隔距离是4和9的公倍数
∵4和9互质，两者的最小公倍数为 $4 × 9 = 36$
已知第一次同时经过的位置是A处，题目要求的是从A处继续行驶的距离，即相邻两次同时经过的间隔，也就是36km。
【答案】
A
【知识点】
最小公倍数的应用，互质数的最小公倍数计算
【点评】
本题结合道路设施设置的生活场景考查公倍数的实际应用，解题核心是明确同时经过两种设施的间隔是两个间隔长度的公倍数，易错点是容易误将第二次相遇的总里程当作继续行驶的距离，审题时要注意问法。
【难度系数】
0.6
解题时首先要理解：同时经过两种设施时，两次相遇的间隔距离必须同时是两种设施设置间隔的倍数，也就是4和9的公倍数。要求第二次同时经过需要从A处继续行驶的距离，本质就是求4和9的最小公倍数，因为最小公倍数就是相邻两次同时经过的最短间隔距离。还要注意区分“继续行驶的距离”和“第二次相遇点的总里程”，避免错算。
【解析】
解：
∵限速标志牌每隔4km设置一个，速度监控仪每隔9km设置一个
∴相邻两次同时经过两种设施的间隔距离是4和9的公倍数
∵4和9互质，两者的最小公倍数为 $4 × 9 = 36$
已知第一次同时经过的位置是A处，题目要求的是从A处继续行驶的距离，即相邻两次同时经过的间隔，也就是36km。
【答案】
A
【知识点】
最小公倍数的应用，互质数的最小公倍数计算
【点评】
本题结合道路设施设置的生活场景考查公倍数的实际应用，解题核心是明确同时经过两种设施的间隔是两个间隔长度的公倍数，易错点是容易误将第二次相遇的总里程当作继续行驶的距离，审题时要注意问法。
【难度系数】
0.6
7.若$∠α$与$∠β$互为补角，$∠β$是$∠α$的2倍，则$∠α$为(
A.$30°$
B.$40°$
C.$60°$
D.$120°$
C
)A.$30°$
B.$40°$
C.$60°$
D.$120°$
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先回忆补角的定义：互为补角的两个角的和为180°。结合题目给出的∠β是∠α的2倍这一关系，我们可以将∠β用含∠α的式子表示，代入两个角的和为180°的等式中，就能求出∠α的度数。
【解析】
∵ ∠α与∠β互为补角
∴ ∠α + ∠β = 180°
又
∵ ∠β是∠α的2倍
∴ ∠β = 2∠α
将∠β = 2∠α代入∠α + ∠β = 180°，得：
∠α + 2∠α = 180°
3∠α = 180°
解得∠α = 60°
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 补角的定义
2. 角的运算
【点评】
本题是基础类角度计算题，核心考察补角的基本性质，结合角的倍数关系建立等式即可求解，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆补角的定义：互为补角的两个角的和为180°。结合题目给出的∠β是∠α的2倍这一关系，我们可以将∠β用含∠α的式子表示，代入两个角的和为180°的等式中，就能求出∠α的度数。
【解析】
∵ ∠α与∠β互为补角
∴ ∠α + ∠β = 180°
又
∵ ∠β是∠α的2倍
∴ ∠β = 2∠α
将∠β = 2∠α代入∠α + ∠β = 180°，得：
∠α + 2∠α = 180°
3∠α = 180°
解得∠α = 60°
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 补角的定义
2. 角的运算
【点评】
本题是基础类角度计算题，核心考察补角的基本性质，结合角的倍数关系建立等式即可求解，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.9
8. 甲、乙两地相距270 km,从甲地开出一辆快车,速度为120 km/h,从乙地开出一辆慢车,速度为75 km/h.如果两车相向而行,慢车先开出1 h后,快车开出,那么再经过多长时间两车相遇?若设再经过x h两车相遇,则根据题意列方程为(
A.$75 × 1 + x = 270$
B.$75 × 1 + (120 + 75)x = 270$
C.$120(x - 1) + 75x = 270$
D.$120 × 1 + x = 270$
B
)A.$75 × 1 + x = 270$
B.$75 × 1 + (120 + 75)x = 270$
C.$120(x - 1) + 75x = 270$
D.$120 × 1 + x = 270$
答案
8.B
解析
【分析】
这是行程类的相向相遇问题，解题核心是抓住“两车行驶的总路程等于甲乙两地的距离”这一等量关系。思考步骤如下：首先明确各车的行驶时间：慢车先开1小时，之后快车开出，再经过x小时相遇，所以慢车一共行驶了(1+x)小时，快车行驶了x小时；再根据“路程=速度×时间”分别计算两车行驶的路程；最后将两车路程相加等于总路程270km，整理后即可得到对应方程。
【解析】
设再经过x h两车相遇。
1. 计算慢车行驶的总路程：慢车先开1小时的路程为$75 × 1$ km，之后x小时行驶的路程为$75x$ km，慢车总路程为$75×1 + 75x$ km。
2. 计算快车行驶的总路程：快车行驶时间为x h，路程为$120x$ km。
3. 根据“两车总路程=甲乙两地距离”列方程：
$75×1 + 75x + 120x = 270$
整理得：$75× 1 + (120+75)x = 270$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用，相遇问题，路程公式
【点评】
本题是行程相遇问题的基础题型，解题的关键是准确梳理两车的行驶时间，不要漏算慢车提前行驶的路程，紧扣总路程等于两车路程和的等量关系即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
这是行程类的相向相遇问题，解题核心是抓住“两车行驶的总路程等于甲乙两地的距离”这一等量关系。思考步骤如下：首先明确各车的行驶时间：慢车先开1小时，之后快车开出，再经过x小时相遇，所以慢车一共行驶了(1+x)小时，快车行驶了x小时；再根据“路程=速度×时间”分别计算两车行驶的路程；最后将两车路程相加等于总路程270km，整理后即可得到对应方程。
【解析】
设再经过x h两车相遇。
1. 计算慢车行驶的总路程：慢车先开1小时的路程为$75 × 1$ km，之后x小时行驶的路程为$75x$ km，慢车总路程为$75×1 + 75x$ km。
2. 计算快车行驶的总路程：快车行驶时间为x h，路程为$120x$ km。
3. 根据“两车总路程=甲乙两地距离”列方程：
$75×1 + 75x + 120x = 270$
整理得：$75× 1 + (120+75)x = 270$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用，相遇问题，路程公式
【点评】
本题是行程相遇问题的基础题型，解题的关键是准确梳理两车的行驶时间，不要漏算慢车提前行驶的路程，紧扣总路程等于两车路程和的等量关系即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
9. 如图,学校(记作A)在蕾蕾家(记作B)南偏西25°的方向上,且与蕾蕾家的距离是4 km.若∠ABC=90°,且AB=BC,则超市(记作C)在蕾蕾家的(
A.南偏东65°的方向上,相距4 km
B.南偏东55°的方向上,相距4 km
C.北偏东55°的方向上,相距4 km
D.北偏东65°的方向上,相距4 km
A
)A.南偏东65°的方向上,相距4 km
B.南偏东55°的方向上,相距4 km
C.北偏东55°的方向上,相距4 km
D.北偏东65°的方向上,相距4 km
答案
9.A
解析
【分析】
解题时首先明确方向坐标“上北下南，左西右东”的规则：第一步，先根据“A在B南偏西25°”确定BA与B点正南方向的夹角为25°；第二步，由AB=BC可直接得出BC的长度等于AB，即C到B的距离为4km；第三步，结合∠ABC=90°，计算BC与正南方向的夹角为90°-25°=65°，再判断C在B的东侧，即可确定C的方位。
【解析】
1. 确定距离：由题意可知AB=4km，又已知AB=BC，因此BC=4km，即超市C到蕾蕾家B的距离为4km。
2. 计算方位角：因为学校A在蕾蕾家B的南偏西25°方向，所以线段BA与B点的正南方向线的夹角为25°。
已知∠ABC=90°，因此线段BC与B点正南方向线的夹角为90°-25°=65°，结合方向标识可判断C在B的东侧，因此C在B的南偏东65°方向。
综上，C在B的南偏东65°方向，相距4km，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
方向角判定，角度和差计算
【点评】
本题是方向角的基础应用题型，解题核心是熟练掌握方位坐标的规则，结合已知的角度和边长条件推导未知的方位和距离，只要理清各线段与方向线的夹角关系就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确方向坐标“上北下南，左西右东”的规则：第一步，先根据“A在B南偏西25°”确定BA与B点正南方向的夹角为25°；第二步，由AB=BC可直接得出BC的长度等于AB，即C到B的距离为4km；第三步，结合∠ABC=90°，计算BC与正南方向的夹角为90°-25°=65°，再判断C在B的东侧，即可确定C的方位。
【解析】
1. 确定距离：由题意可知AB=4km，又已知AB=BC，因此BC=4km，即超市C到蕾蕾家B的距离为4km。
2. 计算方位角：因为学校A在蕾蕾家B的南偏西25°方向，所以线段BA与B点的正南方向线的夹角为25°。
已知∠ABC=90°，因此线段BC与B点正南方向线的夹角为90°-25°=65°，结合方向标识可判断C在B的东侧，因此C在B的南偏东65°方向。
综上，C在B的南偏东65°方向，相距4km，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
方向角判定，角度和差计算
【点评】
本题是方向角的基础应用题型，解题核心是熟练掌握方位坐标的规则，结合已知的角度和边长条件推导未知的方位和距离，只要理清各线段与方向线的夹角关系就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
