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20. (7分) 一个角的余角比它的补角的$\frac{2}{3}$还少$40°$,求这个角.
答案
20. 30°
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确余角和补角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和为180°，则这两个角互补。我们可以设这个角的度数为x，分别表示出它的余角和补角，再根据题目给出的“余角比补角的$\frac{2}{3}$还少40°”这一等量关系列出一元一次方程，解方程即可得到这个角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数为$x$，则它的余角为$(90° - x)$，补角为$(180° - x)$。
根据题意列方程：
$90 - x = \frac{2}{3}(180 - x) - 40$
化简方程右边：
$90 - x = 120 - \frac{2}{3}x - 40$
合并常数项：
$90 - x = 80 - \frac{2}{3}x$
移项，将含$x$的项移到左边，常数项移到右边：
$-x + \frac{2}{3}x = 80 - 90$
合并同类项：
$-\frac{1}{3}x = -10$
两边同时乘以$-3$得：
$x = 30$
经检验，符合题意。
【答案】
$30°$
【知识点】
余角与补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题核心是准确理解余角、补角的概念，正确提取题目中的等量关系建立方程，计算难度较低，掌握基础概念和一元一次方程解法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确余角和补角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和为180°，则这两个角互补。我们可以设这个角的度数为x，分别表示出它的余角和补角，再根据题目给出的“余角比补角的$\frac{2}{3}$还少40°”这一等量关系列出一元一次方程，解方程即可得到这个角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数为$x$，则它的余角为$(90° - x)$，补角为$(180° - x)$。
根据题意列方程：
$90 - x = \frac{2}{3}(180 - x) - 40$
化简方程右边：
$90 - x = 120 - \frac{2}{3}x - 40$
合并常数项：
$90 - x = 80 - \frac{2}{3}x$
移项，将含$x$的项移到左边，常数项移到右边：
$-x + \frac{2}{3}x = 80 - 90$
合并同类项：
$-\frac{1}{3}x = -10$
两边同时乘以$-3$得：
$x = 30$
经检验，符合题意。
【答案】
$30°$
【知识点】
余角与补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题核心是准确理解余角、补角的概念，正确提取题目中的等量关系建立方程，计算难度较低，掌握基础概念和一元一次方程解法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
21. (10分)如图,OB是∠AOC的平分线,OD是∠COE的平分线.
(1) 如果 ∠AOB = 50°, ∠DOE = 35°,那么 ∠BOD 是多少度?
(2) 如果 ∠AOE = 160°, ∠COD = 40°,那么 ∠AOB 是多少度?
(1) 如果 ∠AOB = 50°, ∠DOE = 35°,那么 ∠BOD 是多少度?
(2) 如果 ∠AOE = 160°, ∠COD = 40°,那么 ∠AOB 是多少度?
答案
21. (1)85° (2)40°
解析
【分析】
本题主要利用角平分线的性质求解角度，解题思路如下：
（1）首先根据角平分线的定义，可得∠BOC与∠AOB相等、∠COD与∠DOE相等，而∠BOD是∠BOC与∠COD的和，代入已知角度计算即可。
（2）先由角平分线定义求出∠COE的度数，再用∠AOE减去∠COE得到∠AOC的度数，最后根据OB是∠AOC的平分线，求出∠AOB的度数即可。
【解析】
(1) 因为OB是∠AOC的平分线，所以$∠ BOC = ∠ AOB = 50°$。
又因为OD是∠COE的平分线，所以$∠ COD = ∠ DOE = 35°$。
因此$∠ BOD = ∠ BOC + ∠ COD = 50° + 35° = 85°$。
(2) 因为OD是∠COE的平分线，所以$∠ COE = 2∠ COD = 2×40° = 80°$。
则$∠ AOC = ∠ AOE - ∠ COE = 160° - 80° = 80°$。
又因为OB是∠AOC的平分线，所以$∠ AOB = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}×80° = 40°$。
【答案】
(1) $85°$；(2) $40°$
【知识点】
1. 角平分线的定义 2. 角的和差计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的核心是准确识别角平分线分割得到的等角，理清各个角之间的和差关系，计算时注意角度运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
本题主要利用角平分线的性质求解角度，解题思路如下：
（1）首先根据角平分线的定义，可得∠BOC与∠AOB相等、∠COD与∠DOE相等，而∠BOD是∠BOC与∠COD的和，代入已知角度计算即可。
（2）先由角平分线定义求出∠COE的度数，再用∠AOE减去∠COE得到∠AOC的度数，最后根据OB是∠AOC的平分线，求出∠AOB的度数即可。
【解析】
(1) 因为OB是∠AOC的平分线，所以$∠ BOC = ∠ AOB = 50°$。
又因为OD是∠COE的平分线，所以$∠ COD = ∠ DOE = 35°$。
因此$∠ BOD = ∠ BOC + ∠ COD = 50° + 35° = 85°$。
(2) 因为OD是∠COE的平分线，所以$∠ COE = 2∠ COD = 2×40° = 80°$。
则$∠ AOC = ∠ AOE - ∠ COE = 160° - 80° = 80°$。
又因为OB是∠AOC的平分线，所以$∠ AOB = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}×80° = 40°$。
【答案】
(1) $85°$；(2) $40°$
【知识点】
1. 角平分线的定义 2. 角的和差计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的核心是准确识别角平分线分割得到的等角，理清各个角之间的和差关系，计算时注意角度运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
22.（10分）把棱长为1 cm的若干个小正方体摆放成如图所示的几何体，然后在露出的表面上涂上颜色（不含底面）。
（1）该几何体中有多少个小正方体？
（2）求出涂上颜色部分的总面积。
（1）该几何体中有多少个小正方体？
（2）求出涂上颜色部分的总面积。
答案
22. (1)14个 (2)33 cm²
解析
【分析】
（1）计算小正方体个数时，采用分层从上到下计数的方法，可避免重复或遗漏：先数最上层的数量，再数中间层，最后数最底层，相加即可得到总数。
（2）计算涂色总面积时，因为不含底面，可分两部分计算：①露出的上表面：观察堆叠结构可知，上层挡住的下层面刚好和上层的上表面抵消，因此上表面总面积等于最底层的上表面面积；②四个侧面：每个方向的侧面看到的小正方形个数为各层露出的数量之和，计算出单个侧面面积后乘4，最后把上表面和四个侧面的面积相加即可得到总涂色面积。
【解析】
（1）分层统计小正方体数量：
最上层（第1层）：1个；
中间层（第2层）：$2×2=4$个；
最下层（第3层）：$3×3=9$个；
总个数：$1+4+9=14$个。
（2）小正方体单个面的面积为$1×1=1\ \mathrm{cm^2}$，涂色面积不含底面，分两部分计算：
①上表面面积：等于最底层上表面的面积，共$3×3=9$个小正方形，面积为$9×1=9\ \mathrm{cm^2}$；
②侧面面积：每个侧面能看到的小正方形个数为$1+2+3=6$个，四个侧面总面积为$4×6×1=24\ \mathrm{cm^2}$；
总涂色面积：$9+24=33\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
（1）14个；（2）$33\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
小正方体计数、几何体表面积计算、视图法应用
【点评】
本题侧重考查空间想象能力，分层计数和分方向计算面积的方法是解决堆叠几何体类问题的常用技巧，能有效减少计数错误，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
（1）计算小正方体个数时，采用分层从上到下计数的方法，可避免重复或遗漏：先数最上层的数量，再数中间层，最后数最底层，相加即可得到总数。
（2）计算涂色总面积时，因为不含底面，可分两部分计算：①露出的上表面：观察堆叠结构可知，上层挡住的下层面刚好和上层的上表面抵消，因此上表面总面积等于最底层的上表面面积；②四个侧面：每个方向的侧面看到的小正方形个数为各层露出的数量之和，计算出单个侧面面积后乘4，最后把上表面和四个侧面的面积相加即可得到总涂色面积。
【解析】
（1）分层统计小正方体数量：
最上层（第1层）：1个；
中间层（第2层）：$2×2=4$个；
最下层（第3层）：$3×3=9$个；
总个数：$1+4+9=14$个。
（2）小正方体单个面的面积为$1×1=1\ \mathrm{cm^2}$，涂色面积不含底面，分两部分计算：
①上表面面积：等于最底层上表面的面积，共$3×3=9$个小正方形，面积为$9×1=9\ \mathrm{cm^2}$；
②侧面面积：每个侧面能看到的小正方形个数为$1+2+3=6$个，四个侧面总面积为$4×6×1=24\ \mathrm{cm^2}$；
总涂色面积：$9+24=33\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
（1）14个；（2）$33\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
小正方体计数、几何体表面积计算、视图法应用
【点评】
本题侧重考查空间想象能力，分层计数和分方向计算面积的方法是解决堆叠几何体类问题的常用技巧，能有效减少计数错误，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
