三、解答题
13.计算：
(1)$(+3\dfrac{2}{5})+(-2\dfrac{7}{8})-(-5\dfrac{3}{5})-(+\dfrac{1}{8});$
(2)$-5×2+3÷\dfrac{1}{3}-(-2);$
(3)$(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{4})÷(-\dfrac{1}{3})^2.$

13.解：(1)原式=$3\frac{2}{5}+5\frac{3}{5}-2\frac{7}{8}-\frac{1}{8}=(3\frac{2}{5}+5\frac{3}{5})-(2\frac{7}{8}+\frac{1}{8})=9-3=6.$
(2)原式=$-10+9+2=1.$
(3)原式=$(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{5}{6}-\frac{3}{4})÷\frac{1}{9}=(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{5}{6}-\frac{3}{4})×9=\frac{1}{3}×9+\frac{1}{2}×9-\frac{5}{6}×9-\frac{3}{4}×9=3+\frac{9}{2}-\frac{15}{2}-\frac{27}{4}=3+(\frac{9}{2}-\frac{15}{2})-\frac{27}{4}=3-3-\frac{27}{4}=-\frac{27}{4}.$

【分析】
(1) 本题是带分数的加减混合运算，解题时先根据去括号法则化简原式，再利用加法交换律和结合律，将同分母的带分数、分数分别分组结合，凑整后计算可避免通分的麻烦，简化计算过程。
(2) 本题是有理数的乘除加减混合运算，按照运算顺序先算乘除部分，再算加减部分，计算时注意遵守符号规则：负负得正，除以一个分数等于乘它的倒数。
(3) 本题是含乘方的有理数混合运算，先计算乘方得到除数为$\frac{1}{9}$，再将除法转化为乘法，利用乘法分配律将括号内的每个数分别乘9，依次计算加减即可，比先通分计算括号内结果更简便。
【解析】
(1) 去括号后调整运算顺序：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3\frac{2}{5} - 2\frac{7}{8} + 5\frac{3}{5} - \frac{1}{8}\\&=(3\frac{2}{5}+5\frac{3}{5})-(2\frac{7}{8}+\frac{1}{8})\\&=9 - 3\\&=6\end{aligned}$
(2) 先计算乘除，再计算加减：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-10 + 3×3 + 2\\&=-10 + 9 + 2\\&=1\end{aligned}$
(3) 先算乘方，再利用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{5}{6}-\frac{3}{4})÷\frac{1}{9}\\&=(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{5}{6}-\frac{3}{4})×9\\&=\frac{1}{3}×9+\frac{1}{2}×9-\frac{5}{6}×9-\frac{3}{4}×9\\&=3+\frac{9}{2}-\frac{15}{2}-\frac{27}{4}\\&=3-3-\frac{27}{4}\\&=-\frac{27}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{1}$；(3) $\boxed{-\dfrac{27}{4}}$
【知识点】
有理数加减简便运算、有理数混合运算、乘法分配律应用
【点评】
本题属于有理数运算的常规基础题，重点考察运算顺序的掌握和运算律的灵活运用，计算过程中注意符号的正确处理，合理选用运算律可大幅简化计算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.7

14.研究表明，一般高山的温度从山脚开始每升高100 m降低0.6 ℃，现测得某山山脚温度是5 ℃.
(1)求距离该山山脚1 800 m的地方的温度；
(2)若该山山上某处气温为－7 ℃，求此处距该山山脚的高度.

14.解：(1)$5-1\ 800÷100×0.6=5-10.8=-5.8(° C).$
所以距离该山山脚1 800 m的地方的温度为$-5.8\ ° C.$
(2)根据题意，得$[5-(-7)]÷0.6×100=2\ 000(\mathrm{m}).$
所以此处距该山山脚的高度为2 000 m.

【分析】
这是结合温度随高度变化的有理数实际应用问题，解题核心是理清高度变化和温度变化的对应关系。（1）求固定高度的温度：先计算目标高度包含多少个100m，结合每100m降温0.6℃算出总降温幅度，再用山脚初始温度减去总降温幅度即可得到结果。（2）已知温度求高度：先计算山脚温度和目标位置的温度差，再看温度差里包含多少个0.6℃，就对应有多少个100m，乘100即可得到对应高度，计算时注意有理数的符号规则，避免出错。
【解析】
(1) 先计算1800m对应的总降温幅度：
$1800÷100×0.6=10.8(℃)$
再用山脚温度减去总降温幅度：
$5-10.8=-5.8(℃)$
(2) 先计算山脚与目标位置的温度差：
$5-(-7)=12(℃)$
再计算对应的高度：
$12÷0.6×100=2000(m)$
【答案】
(1) $-5.8\ ° C$；(2) $2000\ m$
【知识点】
有理数混合运算；正负数实际应用
【点评】
本题是贴合生活场景的基础运算题，只要找准高度和温度的数量对应关系，注意计算过程中的符号处理，就能轻松得分。
【难度系数】
0.8

15. [2026 安庆期末]“幻圆”是古老的数学问题，将1，-2，3，-4，5，-6，7，-8这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和都相等，其中-4，-6，7，-8已填入如图所示的位置，则图中a+b的值为()

A.1或-1
B.1或4
C.4或6
D.6或8

15.C

【分析】
解题思路如下：①先计算给定8个数字的总和，结合“两个圆周上的4个数字之和相等”的条件，求出每个圆周、每条直径的公共和；②找出尚未填入的4个数字，结合公共和对未填数字进行分组，确定各组数字的位置范围；③根据a、b的位置限制，推导a+b的可能取值。
【解析】
1. 计算8个数的总和：
$1+(-2)+3+(-4)+5+(-6)+7+(-8)=(1+3+5+7)+(-2-4-6-8)=16-20=-4$
2. 求公共和：
因为两个圆周的数字和相等，且全部8个数都分布在两个圆周上，因此每个圆周的4个数字和为$-4÷2=-2$。根据题意，横、竖直径的4个数字和也等于这个公共和$-2$。
3. 确定未填数字的分组：
已填入的数字为-4、-6、7、-8，剩余未填数字为：1、-2、3、5。
观察含-4、-6的圆周：已有数字和为$-4+(-6)=-10$，因此该圆周剩余两个数字的和为$-2-(-10)=8$，在未填数字中只有$3+5=8$，因此3和5在该圆周上。
观察含7、-8的圆周：已有数字和为$7+(-8)=-1$，因此该圆周剩余两个数字的和为$-2-(-1)=-1$，在未填数字中只有$1+(-2)=-1$，因此1和-2在该圆周上。
4. 推导a+b的取值：
结合图形位置可知，-2的位置固定，a、b只能从1、3、5中选取，且3和5在同一圆周无法同时作为a、b，因此可能的组合为：
当a=1、b=3时，$a+b=1+3=4$；
当a=1、b=5时，$a+b=1+5=6$。
因此a+b的值为4或6。
【答案】
C
【知识点】
有理数加法，数字规律探究，逻辑推理
【点评】
本题结合传统幻圆问题，考查有理数加法的实际应用，解题的核心是先求出公共和，再通过和的关系对剩余数字分组，能有效锻炼逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.6

16. 新题型 在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”：$a \oplus b \oplus c = \frac{1}{2}(|a - b - c| + a + b + c)$。
如：$1 \oplus (-2) \oplus 3 = \frac{1}{2}[|1 - (-2) - 3| + 1 + (-2) + 3] = 1$。
解答下列问题：
(1) 计算：$\frac{2}{3} \oplus (-3) \oplus (-\frac{1}{2})$的值；
(2) 如果在 $-\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}, -\frac{2}{5}, 0, \frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$ 这10个数中，任意取三个不同的数作为$a,b,c$的值，进行“$a \oplus b \oplus c$”运算，求在所有计算结果中的最大值。

16.解：(1)原式=$\frac{2}{3}.$
(2)当$a-b-c≥0$时，$a\oplus b\oplus c=\frac{1}{2}(a-b-c+a+b+c)=a$，
因为$-\frac{4}{5}＜-\frac{3}{5}＜-\frac{2}{5}＜0＜\frac{1}{7}＜\frac{2}{7}＜\frac{3}{7}＜\frac{4}{7}＜\frac{5}{7}＜\frac{6}{7}$，
所以当$a=\frac{6}{7}$时，此时最大值$a$为$\frac{6}{7}$；
当$a-b-c＜0$时，$a\oplus b\oplus c=\frac{1}{2}(-a+b+c+a+b+c)=b+c$，
因为$-\frac{4}{5}＜-\frac{3}{5}＜-\frac{2}{5}＜0＜\frac{1}{7}＜\frac{2}{7}＜\frac{3}{7}＜\frac{4}{7}＜\frac{5}{7}＜\frac{6}{7}$，
所以当$b=\frac{5}{7},c=\frac{6}{7}$，或$c=\frac{6}{7},b=\frac{5}{7}$时，最大值$b+c=\frac{11}{7}.$
因为$\frac{11}{7}＞\frac{6}{7}$，所以$a\oplus b\oplus c$的最大值为$\frac{11}{7}.$

【分析】
(1) 第一问是新定义运算的基础应用，直接将对应数值代入给定的运算法则，按照有理数运算顺序逐步计算即可。
(2) 第二问因运算含有绝对值，需结合绝对值的性质分类讨论化简运算法则：①当$a-b-c≥0$时，去绝对值后可化简得运算结果等于$a$，只需找$a$的最大值；②当$a-b-c＜0$时，去绝对值后可化简得运算结果等于$b+c$，只需找$b+c$的最大值。最后比较两种情况的最大值，较大值即为所求的最终最大值。
【解析】
(1) 根据新运算法则，代入$a=\frac{2}{3},b=-3,c=-\frac{1}{2}$得：
$\frac{2}{3} \oplus (-3) \oplus (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}[ \left| \frac{2}{3} - (-3) - (-\frac{1}{2}) \right| + \frac{2}{3} + (-3) + (-\frac{1}{2}) ]$
先计算绝对值内的部分：$\frac{2}{3}+3+\frac{1}{2}=\frac{25}{6}$
再计算其余项的和：$\frac{2}{3}-3-\frac{1}{2}=-\frac{17}{6}$
因此原式$=\frac{1}{2}×( \frac{25}{6} - \frac{17}{6} )=\frac{1}{2}×\frac{8}{6}=\frac{2}{3}$
(2) 分两种情况化简新运算：
① 当$a-b-c≥0$时，$|a-b-c|=a-b-c$，
则$a\oplus b\oplus c=\frac{1}{2}(a-b-c+a+b+c)=a$
已知给定的数中最大为$\frac{6}{7}$，所以此情况最大值为$\frac{6}{7}$。
② 当$a-b-c＜0$时，$|a-b-c|=-a+b+c$，
则$a\oplus b\oplus c=\frac{1}{2}(-a+b+c+a+b+c)=b+c$
选取给定数中最大的两个数$\frac{5}{7}$和$\frac{6}{7}$，得$b+c=\frac{5}{7}+\frac{6}{7}=\frac{11}{7}$，即此情况最大值为$\frac{11}{7}$。
比较得$\frac{11}{7}＞\frac{6}{7}$，因此所有计算结果的最大值为$\frac{11}{7}$。
【答案】
(1) $\frac{2}{3}$；(2) $\frac{11}{7}$
【知识点】
新定义运算，绝对值化简，有理数大小比较
【点评】
本题结合新定义运算考查了绝对值性质、有理数混合运算及最值求解，核心是通过分类讨论思想去掉绝对值，将陌生的新运算转化为常规有理数运算，能有效锻炼逻辑分析能力和运算能力。
【难度系数】
0.6