登录
1. 如果$M=3x^2 - 2xy - 4y^2$，$N=4x^2 + 5xy - y^2$，那么$-6x^2 - 19xy - 5y^2$等于(
A.$2M - N$
B.$2M - 3N$
C.$4M - N$
D.$3M - 2N$
B
).A.$2M - N$
B.$2M - 3N$
C.$4M - N$
D.$3M - 2N$
答案
1. B
解析
【分析】
这道题考查整式的加减运算，解题思路十分清晰：我们可以将四个选项中的M、N分别用题目给出的多项式代入，通过去括号、合并同类项化简后，和题干给出的目标多项式$-6x^2 - 19xy - 5y^2$比对，结果一致的就是正确选项，这种代入验证的方法符合七年级的知识储备，不容易出错。
【解析】
我们逐个验证各选项：
选项A：$2M-N=2(3x^2 - 2xy - 4y^2)-(4x^2 + 5xy - y^2)$
$=6x^2-4xy-8y^2-4x^2-5xy+y^2$
$=2x^2-9xy-7y^2$，与目标式不符，排除。
选项B：$2M-3N=2(3x^2 - 2xy - 4y^2)-3(4x^2 + 5xy - y^2)$
$=6x^2-4xy-8y^2-12x^2-15xy+3y^2$
$=(6x^2-12x^2)+(-4xy-15xy)+(-8y^2+3y^2)$
$=-6x^2-19xy-5y^2$，与目标式完全一致。
验证剩余选项确认：
选项C：$4M-N=8x^2-13xy-15y^2$，不符，排除；
选项D：$3M-2N=x^2-16xy-10y^2$，不符，排除。
【答案】
B
【知识点】
整式的加减、合并同类项、去括号法则
【点评】
本题是整式运算的常规题型，核心考查去括号的符号处理和同类项合并的运算能力，代入验证的方法可以快速得到答案，计算时要注意括号前为负号时，括号内的每一项都要变号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
这道题考查整式的加减运算，解题思路十分清晰：我们可以将四个选项中的M、N分别用题目给出的多项式代入，通过去括号、合并同类项化简后，和题干给出的目标多项式$-6x^2 - 19xy - 5y^2$比对，结果一致的就是正确选项，这种代入验证的方法符合七年级的知识储备，不容易出错。
【解析】
我们逐个验证各选项：
选项A：$2M-N=2(3x^2 - 2xy - 4y^2)-(4x^2 + 5xy - y^2)$
$=6x^2-4xy-8y^2-4x^2-5xy+y^2$
$=2x^2-9xy-7y^2$，与目标式不符，排除。
选项B：$2M-3N=2(3x^2 - 2xy - 4y^2)-3(4x^2 + 5xy - y^2)$
$=6x^2-4xy-8y^2-12x^2-15xy+3y^2$
$=(6x^2-12x^2)+(-4xy-15xy)+(-8y^2+3y^2)$
$=-6x^2-19xy-5y^2$，与目标式完全一致。
验证剩余选项确认：
选项C：$4M-N=8x^2-13xy-15y^2$，不符，排除；
选项D：$3M-2N=x^2-16xy-10y^2$，不符，排除。
【答案】
B
【知识点】
整式的加减、合并同类项、去括号法则
【点评】
本题是整式运算的常规题型，核心考查去括号的符号处理和同类项合并的运算能力，代入验证的方法可以快速得到答案，计算时要注意括号前为负号时，括号内的每一项都要变号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
2. 某商品提价10%后，欲恢复原价应降价(
A.10%
B.9%
C.$\frac{100}{11}\%$
D.$\frac{100}{9}\%$
C
).A.10%
B.9%
C.$\frac{100}{11}\%$
D.$\frac{100}{9}\%$
答案
2. C
解析
【分析】
遇到这类价格调整的百分比问题，我们可以先把商品原价设为单位“1”简化计算。第一步先算出提价10%后的价格，第二步明确降价的计算基数是提价后的价格，而不是原价，再根据“恢复原价”也就是降价后的价格等于原价，列等式求出降价的百分比即可。
【解析】
设该商品的原价为单位“1”，降价的百分比为$x$。
1. 计算提价10%后的价格：
$1×(1+10\%) = 1.1 = \frac{11}{10}$
2. 根据降价后恢复原价，列方程：
$\frac{11}{10}×(1 - x) = 1$
3. 解方程：
两边同时除以$\frac{11}{10}$得：$1 - x = 1÷\frac{11}{10} = \frac{10}{11}$
移项得：$x = 1 - \frac{10}{11} = \frac{1}{11}$
换算为百分比：$x = \frac{1}{11}×100\% = \frac{100}{11}\%$
因此欲恢复原价应降价$\frac{100}{11}\%$。
【答案】
C
【知识点】
百分数的应用、单位“1”的运用、一元一次方程的应用
【点评】
本题属于百分比应用的易错题，核心易错点是混淆提价和降价对应的单位“1”，提价的基数是原价，降价的基数是提价后的价格，解题时先明确每个百分比对应的基准量即可避免出错。
【难度系数】
0.7
遇到这类价格调整的百分比问题，我们可以先把商品原价设为单位“1”简化计算。第一步先算出提价10%后的价格，第二步明确降价的计算基数是提价后的价格，而不是原价，再根据“恢复原价”也就是降价后的价格等于原价，列等式求出降价的百分比即可。
【解析】
设该商品的原价为单位“1”，降价的百分比为$x$。
1. 计算提价10%后的价格：
$1×(1+10\%) = 1.1 = \frac{11}{10}$
2. 根据降价后恢复原价，列方程：
$\frac{11}{10}×(1 - x) = 1$
3. 解方程：
两边同时除以$\frac{11}{10}$得：$1 - x = 1÷\frac{11}{10} = \frac{10}{11}$
移项得：$x = 1 - \frac{10}{11} = \frac{1}{11}$
换算为百分比：$x = \frac{1}{11}×100\% = \frac{100}{11}\%$
因此欲恢复原价应降价$\frac{100}{11}\%$。
【答案】
C
【知识点】
百分数的应用、单位“1”的运用、一元一次方程的应用
【点评】
本题属于百分比应用的易错题，核心易错点是混淆提价和降价对应的单位“1”，提价的基数是原价，降价的基数是提价后的价格，解题时先明确每个百分比对应的基准量即可避免出错。
【难度系数】
0.7
3. 已知有2个完全相同的两邻边长分别为a，b的小长方形和1个两邻边长分别为m，n的大长方形，小明把这2个小长方形按如图所示放置在大长方形中，小明经过推理得知，要求出图中阴影部分的周长之和，只需知道a，b，m，n中的一个量即可，则要知道的那个量是(
A.a
B.b
C.m
D.n
D
)。A.a
B.b
C.m
D.n
答案
3. D
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先结合图形特征，分别表示出两个阴影长方形的长和宽，再根据长方形周长公式列出周长之和的代数式，最后通过整式的加减化简代数式，观察化简结果中仅含哪个量，就是需要知道的量。首先观察图形可知，横放小长方形的水平边长a与竖放小长方形的水平边长b之和等于大长方形的长m，再结合大长方形的宽n即可分别表示两个阴影的边长。
【解析】
根据图形可得：
左下角阴影长方形的长为a，高为$n - b$（大长方形的高减去横放小长方形的竖直高度）；
右上角阴影长方形的长为b，高为$n - a$（大长方形的高减去竖放小长方形的竖直高度）。
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，两个阴影部分的周长之和为：
$\begin{aligned}&2[a+(n-b)]+2[b+(n-a)]\\=&2a + 2n - 2b + 2b + 2n - 2a\\=&4n\end{aligned}$
化简后结果仅含n，因此只需知道n即可求出阴影部分的周长之和。
【答案】
D
【知识点】
长方形周长计算，整式的加减运算
【点评】
本题需要结合图形梳理各边长的数量关系，通过列代数式并化简得到最终结果，很好地考查了数形结合的应用能力和整式运算的基础。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以先结合图形特征，分别表示出两个阴影长方形的长和宽，再根据长方形周长公式列出周长之和的代数式，最后通过整式的加减化简代数式，观察化简结果中仅含哪个量，就是需要知道的量。首先观察图形可知，横放小长方形的水平边长a与竖放小长方形的水平边长b之和等于大长方形的长m，再结合大长方形的宽n即可分别表示两个阴影的边长。
【解析】
根据图形可得：
左下角阴影长方形的长为a，高为$n - b$（大长方形的高减去横放小长方形的竖直高度）；
右上角阴影长方形的长为b，高为$n - a$（大长方形的高减去竖放小长方形的竖直高度）。
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，两个阴影部分的周长之和为：
$\begin{aligned}&2[a+(n-b)]+2[b+(n-a)]\\=&2a + 2n - 2b + 2b + 2n - 2a\\=&4n\end{aligned}$
化简后结果仅含n，因此只需知道n即可求出阴影部分的周长之和。
【答案】
D
【知识点】
长方形周长计算，整式的加减运算
【点评】
本题需要结合图形梳理各边长的数量关系，通过列代数式并化简得到最终结果，很好地考查了数形结合的应用能力和整式运算的基础。
【难度系数】
0.6
4. 已知$a - 2b = \frac{1}{3}$，$2b - c = -\frac{5}{3}$，$c - d = \frac{7}{3}$，则代数式$(a - c) + (2b + d) - (2b + 2c - d)$的值为
-6
。答案
4. -6
解析
【分析】
本题无法直接求出a、b、c、d四个字母的具体值，因此解题思路分两步：第一步先对目标代数式进行去括号、合并同类项化简；第二步观察化简后的式子与已知的三个等式的联系，将已知等式进行组合得到需要的整体，再代入计算即可，无需单独求解每个字母的值。
【解析】
步骤1：化简目标代数式
$\begin{aligned}&(a - c) + (2b + d) - (2b + 2c - d)\\=&a - c + 2b + d - 2b - 2c + d\\=&a + (2b - 2b) + (-c - 2c) + (d + d)\\=&a - 3c + 2d\end{aligned}$
步骤2：根据已知等式凑出需要的整体
已知$a - 2b = \frac{1}{3}$，$2b - c = -\frac{5}{3}$，将两式相加得：
$a - 2b + 2b - c = \frac{1}{3} + (-\frac{5}{3})$，即$a - c = -\frac{4}{3}$
步骤3：对化简后的式子变形，代入已知条件
将$a - 3c + 2d$变形为$(a - c) - 2(c - d)$，已知$c - d = \frac{7}{3}$，代入得：
$\begin{aligned}&(a - c) - 2(c - d)\\=&-\frac{4}{3} - 2×\frac{7}{3}\\=&-\frac{4}{3} - \frac{14}{3}\\=&-\frac{18}{3}\\=&-6\end{aligned}$
【答案】
-6
【知识点】
整式的加减，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题是整式加减部分的常考题型，核心考查整体代入的思想，避免了单独求解每个字母的繁琐计算，解题关键是先化简目标式，再结合已知条件凑出对应的整体代入计算。
【难度系数】
0.6
本题无法直接求出a、b、c、d四个字母的具体值，因此解题思路分两步：第一步先对目标代数式进行去括号、合并同类项化简；第二步观察化简后的式子与已知的三个等式的联系，将已知等式进行组合得到需要的整体，再代入计算即可，无需单独求解每个字母的值。
【解析】
步骤1：化简目标代数式
$\begin{aligned}&(a - c) + (2b + d) - (2b + 2c - d)\\=&a - c + 2b + d - 2b - 2c + d\\=&a + (2b - 2b) + (-c - 2c) + (d + d)\\=&a - 3c + 2d\end{aligned}$
步骤2：根据已知等式凑出需要的整体
已知$a - 2b = \frac{1}{3}$，$2b - c = -\frac{5}{3}$，将两式相加得：
$a - 2b + 2b - c = \frac{1}{3} + (-\frac{5}{3})$，即$a - c = -\frac{4}{3}$
步骤3：对化简后的式子变形，代入已知条件
将$a - 3c + 2d$变形为$(a - c) - 2(c - d)$，已知$c - d = \frac{7}{3}$，代入得：
$\begin{aligned}&(a - c) - 2(c - d)\\=&-\frac{4}{3} - 2×\frac{7}{3}\\=&-\frac{4}{3} - \frac{14}{3}\\=&-\frac{18}{3}\\=&-6\end{aligned}$
【答案】
-6
【知识点】
整式的加减，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题是整式加减部分的常考题型，核心考查整体代入的思想，避免了单独求解每个字母的繁琐计算，解题关键是先化简目标式，再结合已知条件凑出对应的整体代入计算。
【难度系数】
0.6
5. 已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：
$|a - b| + |a + b + c| - |c - b|=$
$|a - b| + |a + b + c| - |c - b|=$
-3b
答案
5. -3b
解析
【分析】
解决本题的思路是先根据数轴判断a、b、c的大小关系和绝对值的大小关系，再逐一判断每个绝对值内代数式的正负，结合绝对值的性质去掉绝对值符号，最后通过去括号、合并同类项得到化简结果。第一步：观察数轴，可得c＜b＜0＜a，且|c|＞|b|＞|a|；第二步：分别判断a-b、a+b+c、c-b的正负；第三步：根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号；第四步：去括号合并同类项得到最终结果。
【解析】
由数轴可知：$ c ＜ b ＜ 0 ＜ a $，且$ |c| ＞ |b| ＞ |a| $，据此判断各绝对值内式子的正负：
1. $ a - b $：$ a＞0 $，$ b＜0 $，故$ a - b = a + (-b) ＞ 0 $，因此$ |a - b| = a - b $；
2. $ a + b + c $：两个负数$ b、c $的绝对值之和大于正数$ a $的绝对值，故$ a + b + c ＜ 0 $，因此$ |a + b + c| = -(a + b + c) = -a - b - c $；
3. $ c - b $：$ c ＜ b $，小数减大数结果为负，故$ c - b ＜ 0 $，因此$ |c - b| = -(c - b) = b - c $。
将上述结果代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=(a - b) + (-a - b - c) - (b - c)\\&=a - b - a - b - c - b + c\\&=-3b\end{aligned}$
【答案】
$-3b$
【知识点】
数轴的应用、绝对值的性质、整式的加减
【点评】
本题是绝对值化简的典型题型，解题核心是结合数轴特征准确判断绝对值内代数式的正负，去括号时要注意符号变化，避免因符号处理错误失分。
【难度系数】
0.6
解决本题的思路是先根据数轴判断a、b、c的大小关系和绝对值的大小关系，再逐一判断每个绝对值内代数式的正负，结合绝对值的性质去掉绝对值符号，最后通过去括号、合并同类项得到化简结果。第一步：观察数轴，可得c＜b＜0＜a，且|c|＞|b|＞|a|；第二步：分别判断a-b、a+b+c、c-b的正负；第三步：根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号；第四步：去括号合并同类项得到最终结果。
【解析】
由数轴可知：$ c ＜ b ＜ 0 ＜ a $，且$ |c| ＞ |b| ＞ |a| $，据此判断各绝对值内式子的正负：
1. $ a - b $：$ a＞0 $，$ b＜0 $，故$ a - b = a + (-b) ＞ 0 $，因此$ |a - b| = a - b $；
2. $ a + b + c $：两个负数$ b、c $的绝对值之和大于正数$ a $的绝对值，故$ a + b + c ＜ 0 $，因此$ |a + b + c| = -(a + b + c) = -a - b - c $；
3. $ c - b $：$ c ＜ b $，小数减大数结果为负，故$ c - b ＜ 0 $，因此$ |c - b| = -(c - b) = b - c $。
将上述结果代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=(a - b) + (-a - b - c) - (b - c)\\&=a - b - a - b - c - b + c\\&=-3b\end{aligned}$
【答案】
$-3b$
【知识点】
数轴的应用、绝对值的性质、整式的加减
【点评】
本题是绝对值化简的典型题型，解题核心是结合数轴特征准确判断绝对值内代数式的正负，去括号时要注意符号变化，避免因符号处理错误失分。
【难度系数】
0.6
6. 如图所示,请你探索正方形的个数与等腰三角形的个数之间的关系,补全表格.
正方形个数 1 2 3 4 … n
等腰三角形个数
(1) 照这样的画法,如果画15个正方形,可以得
(2) 若要得到152个等腰三角形,应画
正方形个数 1 2 3 4 … n
等腰三角形个数
0
4
8
12
4n-4
(1) 照这样的画法,如果画15个正方形,可以得
56
个等腰三角形；(2) 若要得到152个等腰三角形,应画
39
个正方形.答案
6. 表格从左至右填：0，4，8，12，…，4n−4 (1) 56 (2) 39
解析
【分析】
解题时先从特殊情况入手，逐一数出不同正方形个数对应的等腰三角形数量：①1个正方形时，没有形成等腰三角形，数量为0；②2个正方形时，数出等腰三角形有4个；③观察发现每增加1个正方形，等腰三角形的数量就增加4个，由此归纳出n个正方形时等腰三角形个数的通用表达式，再用表达式求解后续的两个具体问题。
【解析】
1. 补全表格：
正方形个数为1时，等腰三角形个数：0
正方形个数为2时，等腰三角形个数：4
正方形个数为3时，等腰三角形个数：4+4=8
正方形个数为4时，等腰三角形个数：8+4=12
正方形个数为n时，观察规律可得等腰三角形个数为$4(n-1)=4n-4$
2. 求解问题：
(1) 当正方形个数$n=15$时，代入表达式得：
$4×15 - 4 = 60 - 4 = 56$（个）
(2) 当等腰三角形个数为152时，列方程：
$4n - 4 = 152$
移项计算：$4n = 152 + 4 = 156$
解得：$n = 156 ÷ 4 = 39$（个）
【答案】
表格从左至右依次填：$0$，$4$，$8$，$12$，$4n-4$；(1)$56$；(2)$39$
【知识点】
图形规律探究，代数式求值，一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，核心是通过对少量特殊案例的观察、对比，归纳出通用的数量关系，再用通用关系解决具体问题，能有效提升观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从特殊情况入手，逐一数出不同正方形个数对应的等腰三角形数量：①1个正方形时，没有形成等腰三角形，数量为0；②2个正方形时，数出等腰三角形有4个；③观察发现每增加1个正方形，等腰三角形的数量就增加4个，由此归纳出n个正方形时等腰三角形个数的通用表达式，再用表达式求解后续的两个具体问题。
【解析】
1. 补全表格：
正方形个数为1时，等腰三角形个数：0
正方形个数为2时，等腰三角形个数：4
正方形个数为3时，等腰三角形个数：4+4=8
正方形个数为4时，等腰三角形个数：8+4=12
正方形个数为n时，观察规律可得等腰三角形个数为$4(n-1)=4n-4$
2. 求解问题：
(1) 当正方形个数$n=15$时，代入表达式得：
$4×15 - 4 = 60 - 4 = 56$（个）
(2) 当等腰三角形个数为152时，列方程：
$4n - 4 = 152$
移项计算：$4n = 152 + 4 = 156$
解得：$n = 156 ÷ 4 = 39$（个）
【答案】
表格从左至右依次填：$0$，$4$，$8$，$12$，$4n-4$；(1)$56$；(2)$39$
【知识点】
图形规律探究，代数式求值，一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，核心是通过对少量特殊案例的观察、对比，归纳出通用的数量关系，再用通用关系解决具体问题，能有效提升观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
