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三、解答题
7. 小明在计算一个多项式减去$2(3a^2+a-5)$的差时，因疏忽，在去括号时忘了用“2”与括号里的“$3a^2+a-5$”的后两项相乘，结果得到的差为$a^2+3a-1$，求这个算式的正确结果。
7. 小明在计算一个多项式减去$2(3a^2+a-5)$的差时，因疏忽，在去括号时忘了用“2”与括号里的“$3a^2+a-5$”的后两项相乘，结果得到的差为$a^2+3a-1$，求这个算式的正确结果。
答案
7. $a^2 + 2a + 4$
解析
【分析】
本题属于整式加减中的错算问题，解题思路分为两步：第一步，根据小明错误的计算过程反推求出原来的多项式；第二步，用求出的原多项式减去正确的算式，计算得到正确结果。首先要明确小明的错误是去括号时仅将2乘了括号里的第一项，后两项没有乘2，据此先写出错误的运算关系式，再求解原多项式。
【解析】
设这个多项式为$ A $。
根据小明的错误计算过程，可得：
$ A - (2×3a^2 + a - 5) = a^2 + 3a - 1 $
先求解原多项式$ A $：
$ A = (a^2 + 3a - 1) + (6a^2 + a - 5) $
合并同类项：
$ A = a^2 + 6a^2 + 3a + a - 1 - 5 = 7a^2 + 4a - 6 $
再计算正确的结果，即计算$ A - 2(3a^2 + a - 5) $：
先展开正确的减数：$ 2(3a^2 + a - 5) = 6a^2 + 2a - 10 $
代入计算：
$ \begin{aligned}A - 2(3a^2 + a - 5) &= (7a^2 + 4a - 6) - (6a^2 + 2a - 10) \\&= 7a^2 + 4a - 6 - 6a^2 - 2a + 10 \\&= (7a^2 - 6a^2) + (4a - 2a) + (-6 + 10) \\&= a^2 + 2a + 4\end{aligned} $
【答案】
$ a^2 + 2a + 4 $
【知识点】
整式的加减，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题通过错算场景考查整式加减的运算能力，解题核心是利用“将错就错”的思路先求出原式，再代入正确运算，需格外注意去括号时不要漏乘括号内的项，同时要准确处理符号问题。
【难度系数】
0.6
本题属于整式加减中的错算问题，解题思路分为两步：第一步，根据小明错误的计算过程反推求出原来的多项式；第二步，用求出的原多项式减去正确的算式，计算得到正确结果。首先要明确小明的错误是去括号时仅将2乘了括号里的第一项，后两项没有乘2，据此先写出错误的运算关系式，再求解原多项式。
【解析】
设这个多项式为$ A $。
根据小明的错误计算过程，可得：
$ A - (2×3a^2 + a - 5) = a^2 + 3a - 1 $
先求解原多项式$ A $：
$ A = (a^2 + 3a - 1) + (6a^2 + a - 5) $
合并同类项：
$ A = a^2 + 6a^2 + 3a + a - 1 - 5 = 7a^2 + 4a - 6 $
再计算正确的结果，即计算$ A - 2(3a^2 + a - 5) $：
先展开正确的减数：$ 2(3a^2 + a - 5) = 6a^2 + 2a - 10 $
代入计算：
$ \begin{aligned}A - 2(3a^2 + a - 5) &= (7a^2 + 4a - 6) - (6a^2 + 2a - 10) \\&= 7a^2 + 4a - 6 - 6a^2 - 2a + 10 \\&= (7a^2 - 6a^2) + (4a - 2a) + (-6 + 10) \\&= a^2 + 2a + 4\end{aligned} $
【答案】
$ a^2 + 2a + 4 $
【知识点】
整式的加减，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题通过错算场景考查整式加减的运算能力，解题核心是利用“将错就错”的思路先求出原式，再代入正确运算，需格外注意去括号时不要漏乘括号内的项，同时要准确处理符号问题。
【难度系数】
0.6
8. 一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”.
(1) 最小的三位“和谐数”是
(2) 若一个“和谐数”的个位数字为$a(a ≥ 0)$，十位数字为$b(b ≥ 1, b ＞ a$且$a, b$都是自然数)，请用含$a, b$的代数式表示该“和谐数”；
(3) 判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例.
(1) 最小的三位“和谐数”是
110
，最大的三位“和谐数”是990
；(2) 若一个“和谐数”的个位数字为$a(a ≥ 0)$，十位数字为$b(b ≥ 1, b ＞ a$且$a, b$都是自然数)，请用含$a, b$的代数式表示该“和谐数”；
(3) 判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例.
答案
8. (1) 110 990 (2) $110b - 99a$ (3) 能，理由略
解析
【分析】
(1) 找最小三位“和谐数”时，先确定百位最小为1，要使整个数最小，需让十位尽可能小，结合“十位数字=个位数字+百位数字”的定义，个位最小取0，此时十位为1，即可得到最小数；找最大三位“和谐数”时，百位最大取9，十位最大取9，此时个位为9-9=0，即可得到最大数。
(2) 先根据“和谐数”定义求出百位数字为b-a，再按照三位数的构成规则：百位数字×100+十位数字×10+个位数字×1，代入后化简代数式即可。
(3) 设出“和谐数”的百位、个位数字，用代数式表示出这个三位数，再变形看是否含有因数11，即可判断能否被11整除。
【解析】
(1) 三位数百位最小为1，个位最小取0，由定义得十位数字=1+0=1，所以最小的三位“和谐数”是110；三位数百位最大为9，十位最大取9，由定义得个位数字=9-9=0，所以最大的三位“和谐数”是990。
(2) 由“和谐数”定义可知，百位数字为$b-a$，则该三位数为：
$\begin{aligned}&100(b-a)+10b+a\\=&100b-100a+10b+a\\=&110b-99a\end{aligned}$
(3) 能，理由如下：设该三位“和谐数”的百位数字为$x$（$1≤ x≤9$，且$x$为整数），个位数字为$y$（$0≤ y≤9$，且$y$为整数），则十位数字为$x+y$，该三位数为：
$\begin{aligned}&100x+10(x+y)+y\\=&100x+10x+10y+y\\=&110x+11y\\=&11(10x+y)\end{aligned}$
因为$x$、$y$均为整数，所以$10x+y$是整数，因此任意三位“和谐数”都是11的倍数，能被11整除。
【答案】
(1) $\boldsymbol{110}$，$\boldsymbol{990}$；(2) $\boldsymbol{110b - 99a}$；(3) 能，理由见解析
【知识点】
代数式表示数、整式的化简、整除的判定
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解“和谐数”的定义，结合三位数的构成规则列式计算，既考查了整式的加减运算，也考查了逻辑推导能力，是对代数式应用的常规拓展。
【难度系数】
0.7
(1) 找最小三位“和谐数”时，先确定百位最小为1，要使整个数最小，需让十位尽可能小，结合“十位数字=个位数字+百位数字”的定义，个位最小取0，此时十位为1，即可得到最小数；找最大三位“和谐数”时，百位最大取9，十位最大取9，此时个位为9-9=0，即可得到最大数。
(2) 先根据“和谐数”定义求出百位数字为b-a，再按照三位数的构成规则：百位数字×100+十位数字×10+个位数字×1，代入后化简代数式即可。
(3) 设出“和谐数”的百位、个位数字，用代数式表示出这个三位数，再变形看是否含有因数11，即可判断能否被11整除。
【解析】
(1) 三位数百位最小为1，个位最小取0，由定义得十位数字=1+0=1，所以最小的三位“和谐数”是110；三位数百位最大为9，十位最大取9，由定义得个位数字=9-9=0，所以最大的三位“和谐数”是990。
(2) 由“和谐数”定义可知，百位数字为$b-a$，则该三位数为：
$\begin{aligned}&100(b-a)+10b+a\\=&100b-100a+10b+a\\=&110b-99a\end{aligned}$
(3) 能，理由如下：设该三位“和谐数”的百位数字为$x$（$1≤ x≤9$，且$x$为整数），个位数字为$y$（$0≤ y≤9$，且$y$为整数），则十位数字为$x+y$，该三位数为：
$\begin{aligned}&100x+10(x+y)+y\\=&100x+10x+10y+y\\=&110x+11y\\=&11(10x+y)\end{aligned}$
因为$x$、$y$均为整数，所以$10x+y$是整数，因此任意三位“和谐数”都是11的倍数，能被11整除。
【答案】
(1) $\boldsymbol{110}$，$\boldsymbol{990}$；(2) $\boldsymbol{110b - 99a}$；(3) 能，理由见解析
【知识点】
代数式表示数、整式的化简、整除的判定
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解“和谐数”的定义，结合三位数的构成规则列式计算，既考查了整式的加减运算，也考查了逻辑推导能力，是对代数式应用的常规拓展。
【难度系数】
0.7
9. 如图所示,1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形,它恰能被分割成10个大小不同的正方形,其中标注1,2的正方形边长分别为x,y,请你计算:
(1) 第3个正方形的边长=
(2) 当$x=2$时,第9个正方形的面积=
(3) 当$x,y$均为正整数时,求这个完美长方形的最小周长;
(4) 上网查找有关完美长方形与完美正方形的知识,与同学进行分享.
(1) 第3个正方形的边长=
$x+y$
,第5个正方形的边长=$x+3y$
,第10个正方形的边长=$3y-3x$
;(用含x,y的代数式表示)(2) 当$x=2$时,第9个正方形的面积=
100
;(3) 当$x,y$均为正整数时,求这个完美长方形的最小周长;
(4) 上网查找有关完美长方形与完美正方形的知识,与同学进行分享.
答案
9. (1) $x+y$ $x+3y$ $3y-3x$ (2) 100 (3) 224 (4) 略
解析
【分析】
本题以完美长方形为背景，考查整式的实际应用，解题核心是利用正方形边长相等、长方形对边相等的性质，通过观察相邻正方形的边长和差关系推导代数式，再结合条件求解：
1. 推导未知正方形边长时，从已知边长的1、2号正方形出发，依次用含x、y的代数式表示其余正方形的边长；
2. 求第9个正方形面积时，先根据边长关系确定第9个正方形的边长表达式，代入x的值后计算面积；
3. 求最小周长时，结合所有正方形边长为正整数的限制，确定x、y的最小正整数解，再代入长方形周长公式计算。
【解析】
(1) 观察图形的边长和差关系：
第3个正方形的边长等于1号、2号正方形的边长和，即$x+y$；
第4个正方形的边长 = 2号边长 + 3号边长 = $y+(x+y)=x+2y$，因此第5个正方形的边长 = 2号边长 + 4号边长 = $y+(x+2y)=x+3y$；
继续推导可得第7个正方形边长为$2x+y$，结合边长差可得第10个正方形的边长 = 第4个边长 + 2号边长 - 第7个边长 = $(x+2y)+y-(2x+y)=3y-3x$。
(2) 由边长关系推导得第9个正方形的边长表达式，结合长方形对边相等的性质，当$x=2$时，第9个正方形的边长为10，因此面积为$10×10=100$。
(3) 所有正方形边长均为正整数，因此第10个正方形边长$3y-3x＞0$，即$y＞x$；再由长方形对边相等可得$7x=5y$，即$y=\frac{7}{5}x$，因此x为5的正整数倍，y为7的正整数倍。取最小正整数$x=5$，$y=7$，代入计算得长方形的长为70，宽为42，周长为$2×(70+42)=224$，即最小周长为224。
(4) 示例：完美长方形指可被分割为若干个大小互不相同的正方形的长方形；完美正方形指可被分割为若干个大小互不相同的正方形的正方形，可查阅相关资料和同学分享。
【答案】
(1) $x+y$；$x+3y$；$3y-3x$
(2) $100$
(3) $224$
(4) 略
【知识点】
列代数式；整式的加减；二元一次方程的整数解
【点评】
本题结合趣味数学素材考查数形结合思想的应用，需要学生仔细观察图形中的边长和差关系，将图形性质转化为代数式运算，能够很好地锻炼逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.3
本题以完美长方形为背景，考查整式的实际应用，解题核心是利用正方形边长相等、长方形对边相等的性质，通过观察相邻正方形的边长和差关系推导代数式，再结合条件求解：
1. 推导未知正方形边长时，从已知边长的1、2号正方形出发，依次用含x、y的代数式表示其余正方形的边长；
2. 求第9个正方形面积时，先根据边长关系确定第9个正方形的边长表达式，代入x的值后计算面积；
3. 求最小周长时，结合所有正方形边长为正整数的限制，确定x、y的最小正整数解，再代入长方形周长公式计算。
【解析】
(1) 观察图形的边长和差关系：
第3个正方形的边长等于1号、2号正方形的边长和，即$x+y$；
第4个正方形的边长 = 2号边长 + 3号边长 = $y+(x+y)=x+2y$，因此第5个正方形的边长 = 2号边长 + 4号边长 = $y+(x+2y)=x+3y$；
继续推导可得第7个正方形边长为$2x+y$，结合边长差可得第10个正方形的边长 = 第4个边长 + 2号边长 - 第7个边长 = $(x+2y)+y-(2x+y)=3y-3x$。
(2) 由边长关系推导得第9个正方形的边长表达式，结合长方形对边相等的性质，当$x=2$时，第9个正方形的边长为10，因此面积为$10×10=100$。
(3) 所有正方形边长均为正整数，因此第10个正方形边长$3y-3x＞0$，即$y＞x$；再由长方形对边相等可得$7x=5y$，即$y=\frac{7}{5}x$，因此x为5的正整数倍，y为7的正整数倍。取最小正整数$x=5$，$y=7$，代入计算得长方形的长为70，宽为42，周长为$2×(70+42)=224$，即最小周长为224。
(4) 示例：完美长方形指可被分割为若干个大小互不相同的正方形的长方形；完美正方形指可被分割为若干个大小互不相同的正方形的正方形，可查阅相关资料和同学分享。
【答案】
(1) $x+y$；$x+3y$；$3y-3x$
(2) $100$
(3) $224$
(4) 略
【知识点】
列代数式；整式的加减；二元一次方程的整数解
【点评】
本题结合趣味数学素材考查数形结合思想的应用，需要学生仔细观察图形中的边长和差关系，将图形性质转化为代数式运算，能够很好地锻炼逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.3
