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6.(2025·威海)一个不透明的袋子中装有2个绿球，1个白球，每个球除颜色外都相同.小明同学从袋中随机摸出1个球(不放回)后，小华同学再从袋中随机摸出1个球.两人摸到不同颜色球的概率是
$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
.答案
6.$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
要计算两人摸到不同颜色球的概率，需先确定不放回摸球的所有等可能结果总数，再从中找出两人摸到不同颜色的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算。由于是不放回试验，可通过列举法清晰列出所有情况，避免遗漏或重复。
【解析】
设两个绿球为$G_1$、$G_2$，白球为$W$。
所有等可能的摸球结果（小明先摸，小华后摸，不放回）为：$(G_1,G_2)$、$(G_1,W)$、$(G_2,G_1)$、$(G_2,W)$、$(W,G_1)$、$(W,G_2)$，共6种。
其中两人摸到不同颜色球的结果为：$(G_1,W)$、$(G_2,W)$、$(W,G_1)$、$(W,G_2)$，共4种。
根据概率公式，所求概率为：$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
概率的计算、列举法求概率
【点评】
本题是概率基础应用题，考查不放回抽样的概率计算，通过列举所有等可能结果即可快速求解，属于初中概率模块的常规题型，需注意区分放回与不放回试验的总结果数差异，避免出错。
【难度系数】
0.7
要计算两人摸到不同颜色球的概率，需先确定不放回摸球的所有等可能结果总数，再从中找出两人摸到不同颜色的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算。由于是不放回试验，可通过列举法清晰列出所有情况，避免遗漏或重复。
【解析】
设两个绿球为$G_1$、$G_2$，白球为$W$。
所有等可能的摸球结果（小明先摸，小华后摸，不放回）为：$(G_1,G_2)$、$(G_1,W)$、$(G_2,G_1)$、$(G_2,W)$、$(W,G_1)$、$(W,G_2)$，共6种。
其中两人摸到不同颜色球的结果为：$(G_1,W)$、$(G_2,W)$、$(W,G_1)$、$(W,G_2)$，共4种。
根据概率公式，所求概率为：$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
概率的计算、列举法求概率
【点评】
本题是概率基础应用题，考查不放回抽样的概率计算，通过列举所有等可能结果即可快速求解，属于初中概率模块的常规题型，需注意区分放回与不放回试验的总结果数差异，避免出错。
【难度系数】
0.7
7.(2025·成都)从-1,1,2这三个数中任取两个数分别作为a,b的值,则关于x的一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根的概率为
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
.答案
7.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要解决该问题，需按以下思路思考：①确定从三个数中任取两个作为a、b的所有可能情况（a、b为不同数，属于排列问题）；②利用一元二次方程有实数根的核心条件（判别式Δ=b²-4a≥0），逐一验证每种(a,b)组合是否满足条件；③根据概率公式（符合条件的情况数÷总情况数）计算最终概率。
【解析】
解：从-1,1,2中任取两个不同的数作为a、b，总共有排列情况：$A_3^2=3×2=6$种，分别为：(-1,1)、(-1,2)、(1,-1)、(1,2)、(2,-1)、(2,1)。
对于一元二次方程$ax^2+bx+1=0$，有实数根需满足判别式$\Delta=b^2-4a≥0$，逐一判断：
当$(a,b)=(-1,1)$时，$\Delta=1^2 -4×(-1)=5≥0$，符合；
当$(a,b)=(-1,2)$时，$\Delta=2^2 -4×(-1)=8≥0$，符合；
当$(a,b)=(1,-1)$时，$\Delta=(-1)^2 -4×1=-3＜0$，不符合；
当$(a,b)=(1,2)$时，$\Delta=2^2 -4×1=0≥0$，符合；
当$(a,b)=(2,-1)$时，$\Delta=(-1)^2 -4×2=-7＜0$，不符合；
当$(a,b)=(2,1)$时，$\Delta=1^2 -4×2=-7＜0$，不符合；
符合条件的情况共3种，因此概率为：$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
概率计算、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合概率与一元二次方程根的判别式，需先枚举所有可能的(a,b)组合，再用判别式筛选，考查排列与判别式的综合应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需按以下思路思考：①确定从三个数中任取两个作为a、b的所有可能情况（a、b为不同数，属于排列问题）；②利用一元二次方程有实数根的核心条件（判别式Δ=b²-4a≥0），逐一验证每种(a,b)组合是否满足条件；③根据概率公式（符合条件的情况数÷总情况数）计算最终概率。
【解析】
解：从-1,1,2中任取两个不同的数作为a、b，总共有排列情况：$A_3^2=3×2=6$种，分别为：(-1,1)、(-1,2)、(1,-1)、(1,2)、(2,-1)、(2,1)。
对于一元二次方程$ax^2+bx+1=0$，有实数根需满足判别式$\Delta=b^2-4a≥0$，逐一判断：
当$(a,b)=(-1,1)$时，$\Delta=1^2 -4×(-1)=5≥0$，符合；
当$(a,b)=(-1,2)$时，$\Delta=2^2 -4×(-1)=8≥0$，符合；
当$(a,b)=(1,-1)$时，$\Delta=(-1)^2 -4×1=-3＜0$，不符合；
当$(a,b)=(1,2)$时，$\Delta=2^2 -4×1=0≥0$，符合；
当$(a,b)=(2,-1)$时，$\Delta=(-1)^2 -4×2=-7＜0$，不符合；
当$(a,b)=(2,1)$时，$\Delta=1^2 -4×2=-7＜0$，不符合；
符合条件的情况共3种，因此概率为：$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
概率计算、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合概率与一元二次方程根的判别式，需先枚举所有可能的(a,b)组合，再用判别式筛选，考查排列与判别式的综合应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
8.甲、乙、丙三位同学把自己的数学课本放在一起，每人从中随机抽取一本（不放回），三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是
$\boldsymbol{\frac{1}{6}}$
。答案
8.$\frac{1}{6}$
解析
【分析】
要解决这个概率问题，需运用古典概型的计算方法：概率等于符合条件的事件数除以总事件数。首先计算三位同学不放回抽取课本的所有可能情况（总事件数），再确定“三位同学都抽到自己课本”的情况数（符合条件的事件数），最后代入公式计算概率。
【解析】
1. 计算总事件数：甲、乙、丙三位同学从三本课本中不放回抽取，相当于对三本课本进行全排列，总情况数为 $ A_{3}^{3} = 3×2×1 = 6 $ 种。
2. 计算符合条件的事件数：“三位同学都抽到自己的课本”仅存在1种情况。
3. 计算概率：根据古典概型公式，概率 $ P = \frac{符合条件的事件数}{总事件数} = \frac{1}{6} $。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
古典概型、全排列
【点评】
本题是古典概型的基础应用题，核心考查全排列的计算和古典概型的概率公式，属于易掌握的基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决这个概率问题，需运用古典概型的计算方法：概率等于符合条件的事件数除以总事件数。首先计算三位同学不放回抽取课本的所有可能情况（总事件数），再确定“三位同学都抽到自己课本”的情况数（符合条件的事件数），最后代入公式计算概率。
【解析】
1. 计算总事件数：甲、乙、丙三位同学从三本课本中不放回抽取，相当于对三本课本进行全排列，总情况数为 $ A_{3}^{3} = 3×2×1 = 6 $ 种。
2. 计算符合条件的事件数：“三位同学都抽到自己的课本”仅存在1种情况。
3. 计算概率：根据古典概型公式，概率 $ P = \frac{符合条件的事件数}{总事件数} = \frac{1}{6} $。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
古典概型、全排列
【点评】
本题是古典概型的基础应用题，核心考查全排列的计算和古典概型的概率公式，属于易掌握的基础题型。
【难度系数】
0.6
9.一个不透明的袋子中装有1个黄球，现放入若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得$P$(摸出一红一黄)$=P$(摸出两红)，则放入的红球个数为
$\boldsymbol{3}$
。答案
9.3
解析
【分析】
首先设放入的红球个数为$ x $，明确总球数为$ (1+x) $个；接着利用古典概型，分别计算“摸出一红一黄”和“摸出两红”的组合数，进而求出两种情况的概率；最后根据题目中两个概率相等的条件列方程，求解得到红球个数。
【解析】
设放入的红球个数为$ x $，则袋子中总球数为$ x+1 $个。
从$ x+1 $个球中任意摸出2个球，总组合数为$ \mathrm{C}_{x+1}^2 = \frac{(x+1)x}{2} $。
1. 计算$ P(\mathrm{摸出一红一黄}) $：
摸出一红一黄的组合数为$ \mathrm{C}_{x}^1 · \mathrm{C}_{1}^1 = x × 1 = x $，
故$ P(\mathrm{摸出一红一黄}) = \frac{x}{\frac{(x+1)x}{2}} = \frac{2}{x+1} $。
2. 计算$ P(\mathrm{摸出两红}) $：
摸出两红的组合数为$ \mathrm{C}_{x}^2 = \frac{x(x-1)}{2} $，
故$ P(\mathrm{摸出两红}) = \frac{\frac{x(x-1)}{2}}{\frac{(x+1)x}{2}} = \frac{x-1}{x+1} $。
根据题意$ P(\mathrm{摸出一红一黄}) = P(\mathrm{摸出两红}) $，即：
$ \frac{2}{x+1} = \frac{x-1}{x+1} $，
两边同乘$ x+1 $（$ x $为正整数，$ x+1≠0 $），得$ 2 = x-1 $，
解得$ x=3 $。
【答案】
3
【知识点】
古典概型、组合数应用
【点评】
本题考查古典概型概率的计算，核心是正确计算不同情况的组合数，通过概率相等建立方程求解，属于基础概率应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
首先设放入的红球个数为$ x $，明确总球数为$ (1+x) $个；接着利用古典概型，分别计算“摸出一红一黄”和“摸出两红”的组合数，进而求出两种情况的概率；最后根据题目中两个概率相等的条件列方程，求解得到红球个数。
【解析】
设放入的红球个数为$ x $，则袋子中总球数为$ x+1 $个。
从$ x+1 $个球中任意摸出2个球，总组合数为$ \mathrm{C}_{x+1}^2 = \frac{(x+1)x}{2} $。
1. 计算$ P(\mathrm{摸出一红一黄}) $：
摸出一红一黄的组合数为$ \mathrm{C}_{x}^1 · \mathrm{C}_{1}^1 = x × 1 = x $，
故$ P(\mathrm{摸出一红一黄}) = \frac{x}{\frac{(x+1)x}{2}} = \frac{2}{x+1} $。
2. 计算$ P(\mathrm{摸出两红}) $：
摸出两红的组合数为$ \mathrm{C}_{x}^2 = \frac{x(x-1)}{2} $，
故$ P(\mathrm{摸出两红}) = \frac{\frac{x(x-1)}{2}}{\frac{(x+1)x}{2}} = \frac{x-1}{x+1} $。
根据题意$ P(\mathrm{摸出一红一黄}) = P(\mathrm{摸出两红}) $，即：
$ \frac{2}{x+1} = \frac{x-1}{x+1} $，
两边同乘$ x+1 $（$ x $为正整数，$ x+1≠0 $），得$ 2 = x-1 $，
解得$ x=3 $。
【答案】
3
【知识点】
古典概型、组合数应用
【点评】
本题考查古典概型概率的计算，核心是正确计算不同情况的组合数，通过概率相等建立方程求解，属于基础概率应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
10.(2025·宿迁宿城区一模)在四张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1,2，-1,-2，现将四张卡片放入一个不透明的盒子中搅匀.
(1)任意抽出一张，抽到写有负数的卡片的概率是
(2)若任意同时抽出两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上数字之和为非负数的概率.
(1)任意抽出一张，抽到写有负数的卡片的概率是
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
；(2)若任意同时抽出两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上数字之和为非负数的概率.
答案
10.(1)$\frac{1}{2}$
(2)解:画树状图如答图所示.
由答图可知,共有12种等可能的结果,其中两张卡片上数字之和为非负数的结果有8种,故 $P$(两张卡片上数字之和为非负数)$=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
第(1)问：先确定卡片总数和负数卡片的数量，根据概率公式计算抽到负数卡片的概率；第(2)问：通过树状图列举所有等可能的抽取结果，再从中找出两张卡片数字之和为非负数的结果数，最后利用概率公式计算对应概率。
【解析】
(1) 总共有4张卡片，其中写有负数的卡片是-1、-2，共2张，根据概率公式：$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}$，可得抽到负数卡片的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 画树状图（如题图所示），可知共有12种等可能的结果，其中两张卡片数字之和为非负数的结果有8种，因此$P$(两张卡片上数字之和为非负数)$=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；(2)解:画树状图如答图所示.由答图可知,共有12种等可能的结果,其中两张卡片上数字之和为非负数的结果有8种,故 $P$(两张卡片上数字之和为非负数)$=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$.
【知识点】
概率计算、树状图求概率
【点评】
本题考查概率的基本应用，利用树状图列举所有等可能结果是解题的核心，需注意非负数包含0，属于基础概率题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
第(1)问：先确定卡片总数和负数卡片的数量，根据概率公式计算抽到负数卡片的概率；第(2)问：通过树状图列举所有等可能的抽取结果，再从中找出两张卡片数字之和为非负数的结果数，最后利用概率公式计算对应概率。
【解析】
(1) 总共有4张卡片，其中写有负数的卡片是-1、-2，共2张，根据概率公式：$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}$，可得抽到负数卡片的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 画树状图（如题图所示），可知共有12种等可能的结果，其中两张卡片数字之和为非负数的结果有8种，因此$P$(两张卡片上数字之和为非负数)$=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；(2)解:画树状图如答图所示.
由答图可知,共有12种等可能的结果,其中两张卡片上数字之和为非负数的结果有8种,故 $P$(两张卡片上数字之和为非负数)$=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$.【知识点】
概率计算、树状图求概率
【点评】
本题考查概率的基本应用，利用树状图列举所有等可能结果是解题的核心，需注意非负数包含0，属于基础概率题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
11.(2025·宿迁沭阳县一模)物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成.某学习小组在延时课上制作了A,B,C,D四张卡片,如图,四张卡片除图片内容不同外,其他没有区别,放置于暗箱中摇匀.
(1)小临从四张卡片中随机抽取一张,抽中C卡片的概率是
(2)小夏从四张卡片中随机抽取两张,用列表法或画树状图法求小夏抽取的两张卡片内容均为化学变化的概率.
(1)小临从四张卡片中随机抽取一张,抽中C卡片的概率是
$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$
;(2)小夏从四张卡片中随机抽取两张,用列表法或画树状图法求小夏抽取的两张卡片内容均为化学变化的概率.
答案
11.(1)$\frac{1}{4}$
(2)解:画树状图如答图所示.
由答图可知,共有12种等可能的结果,其中小夏抽取的两张卡片内容均为化学变化的结果有 AD,DA,共2种，
故$P$(小夏抽取的两张卡片内容均为化学变化)$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
首先明确物理变化与化学变化的本质区别：是否有新物质生成，据此判断四个选项的变化类型：A铁钉生锈有新物质铁锈生成，属于化学变化；B滴水成冰仅水的状态改变，无新物质生成，属于物理变化；C矿石粉碎仅形状改变，无新物质生成，属于物理变化；D牛奶变质有新物质生成，属于化学变化。解决概率问题时，(1)随机抽1张，总共有4种等可能结果，抽中C的结果数为1，根据概率公式计算；(2)抽取2张，用树状图列出所有等可能结果，再找出两张均为化学变化的结果，计算对应概率。
【解析】
(1) 总共有4张卡片，随机抽取1张，所有等可能的结果共4种，其中抽中C卡片的结果有1种，因此抽中C卡片的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 画树状图（如题目答图所示），可知共有12种等可能的结果，其中两张卡片内容均为化学变化的结果为AD、DA，共2种，因此小夏抽取的两张卡片内容均为化学变化的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$；(2)$\frac{1}{6}$
【知识点】
概率计算、物理变化与化学变化的判断
【点评】
本题结合物质变化类型的判断考查概率计算，需先正确区分物理变化和化学变化，再利用树状图法列举所有等可能结果，进而计算概率，是基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
首先明确物理变化与化学变化的本质区别：是否有新物质生成，据此判断四个选项的变化类型：A铁钉生锈有新物质铁锈生成，属于化学变化；B滴水成冰仅水的状态改变，无新物质生成，属于物理变化；C矿石粉碎仅形状改变，无新物质生成，属于物理变化；D牛奶变质有新物质生成，属于化学变化。解决概率问题时，(1)随机抽1张，总共有4种等可能结果，抽中C的结果数为1，根据概率公式计算；(2)抽取2张，用树状图列出所有等可能结果，再找出两张均为化学变化的结果，计算对应概率。
【解析】
(1) 总共有4张卡片，随机抽取1张，所有等可能的结果共4种，其中抽中C卡片的结果有1种，因此抽中C卡片的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 画树状图（如题目答图所示），可知共有12种等可能的结果，其中两张卡片内容均为化学变化的结果为AD、DA，共2种，因此小夏抽取的两张卡片内容均为化学变化的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$；(2)$\frac{1}{6}$
【知识点】
概率计算、物理变化与化学变化的判断
【点评】
本题结合物质变化类型的判断考查概率计算，需先正确区分物理变化和化学变化，再利用树状图法列举所有等可能结果，进而计算概率，是基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
