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1.若关于x的一元二次方程$2x^2 + 3x + a - 1 = 0$的一个根是0，则a的值是（）
A.$\pm1$
B.1
C.$-1$
D.0
A.$\pm1$
B.1
C.$-1$
D.0
答案
B
解析
【分析】
解题的核心是利用方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知x=0是该一元二次方程的根，我们只需将x=0代入原方程，即可得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值。本题中二次项系数为2，代入x=0后不会改变二次项系数，因此不需要额外考虑一元二次方程二次项系数不为0的限制条件。
【解析】
∵x=0是一元二次方程$2x^2 + 3x + a - 1 = 0$的根
∴将x=0代入方程，等式成立，即：
$2×0^2 + 3×0 + a - 1 = 0$
化简得：$a - 1 = 0$
解得：$a=1$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对方程根的定义的理解与应用，只需将已知根代入原方程转化为关于参数的方程求解即可，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.9
解题的核心是利用方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知x=0是该一元二次方程的根，我们只需将x=0代入原方程，即可得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值。本题中二次项系数为2，代入x=0后不会改变二次项系数，因此不需要额外考虑一元二次方程二次项系数不为0的限制条件。
【解析】
∵x=0是一元二次方程$2x^2 + 3x + a - 1 = 0$的根
∴将x=0代入方程，等式成立，即：
$2×0^2 + 3×0 + a - 1 = 0$
化简得：$a - 1 = 0$
解得：$a=1$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对方程根的定义的理解与应用，只需将已知根代入原方程转化为关于参数的方程求解即可，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.9
2.若关于$ x $的一元二次方程$ ax^2 + bx - 2 = 0(a≠0) $有一个根为2024，则一元二次方程$ a(x - 1)^2 + b(x - 1) = 2 $必有一个根为()
A.2023
B.2024
C.2025
D.2026
A.2023
B.2024
C.2025
D.2026
答案
C
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据一元二次方程根的定义，将已知根代入第一个方程得到成立的等式；再观察待求方程的结构，通过移项变形后，发现其与第一个方程的形式高度相似，可采用整体代入的思路，把$x-1$看作一个整体，对应第一个方程的未知数$x$，利用已知的根建立等式，即可求出待求方程的对应根。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx - 2 = 0(a≠0)$有一个根为2024
∴ 将$x=2024$代入方程得：$a×2024^2 + b×2024 - 2 = 0$
将方程$a(x - 1)^2 + b(x - 1) = 2$移项，得：$a(x - 1)^2 + b(x - 1) - 2 = 0$
对比两个方程的形式，把$x-1$看作整体，可知当$x-1=2024$时，等式$a(x - 1)^2 + b(x - 1) - 2 = 0$成立
即$x - 1 = 2024$，解得$x = 2024 + 1 = 2025$
∴ 一元二次方程$a(x - 1)^2 + b(x - 1) = 2$必有一个根为2025。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.整体代入思想
【点评】
本题属于一元二次方程根的应用类题型，不需要展开解方程，只需观察两个方程的结构特征，通过整体代换即可快速得到答案，熟练掌握根的定义和整体代换技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据一元二次方程根的定义，将已知根代入第一个方程得到成立的等式；再观察待求方程的结构，通过移项变形后，发现其与第一个方程的形式高度相似，可采用整体代入的思路，把$x-1$看作一个整体，对应第一个方程的未知数$x$，利用已知的根建立等式，即可求出待求方程的对应根。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx - 2 = 0(a≠0)$有一个根为2024
∴ 将$x=2024$代入方程得：$a×2024^2 + b×2024 - 2 = 0$
将方程$a(x - 1)^2 + b(x - 1) = 2$移项，得：$a(x - 1)^2 + b(x - 1) - 2 = 0$
对比两个方程的形式，把$x-1$看作整体，可知当$x-1=2024$时，等式$a(x - 1)^2 + b(x - 1) - 2 = 0$成立
即$x - 1 = 2024$，解得$x = 2024 + 1 = 2025$
∴ 一元二次方程$a(x - 1)^2 + b(x - 1) = 2$必有一个根为2025。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.整体代入思想
【点评】
本题属于一元二次方程根的应用类题型，不需要展开解方程，只需观察两个方程的结构特征，通过整体代换即可快速得到答案，熟练掌握根的定义和整体代换技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3.若方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，$a,b,c$满足$4a+2b+c=0$和$4a-2b+c=0$，则该方程的根是（）
A.$1,0$
B.$1,-1$
C.$-1,0$
D.$2,-2$
A.$1,0$
B.$1,-1$
C.$-1,0$
D.$2,-2$
答案
D
解析
【分析】
解题可以从两个思路入手：思路一：根据一元二次方程根的定义，根是使方程$ax^2+bx+c=0$成立的未知数$x$的值，观察已知的两个等式$4a+2b+c=0$和$4a-2b+c=0$，对比方程左边$ax^2+bx+c$的形式，可直接匹配对应的$x$值；思路二：可先联立两个已知等式，求出$b、c$和$a$的关系，再代入原方程求解即可得到根。
【解析】
方法一（利用根的定义）：
若$x$是方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根，则满足$ax^2+bx+c=0$。
当$x=2$时，代入方程左边得：$a·2^2 + b·2 + c = 4a+2b+c$，结合已知$4a+2b+c=0$，可得$x=2$是方程的根；
当$x=-2$时，代入方程左边得：$a·(-2)^2 + b·(-2) + c = 4a-2b+c$，结合已知$4a-2b+c=0$，可得$x=-2$是方程的根。
因此方程的根为$2,-2$。
方法二（联立条件求解）：
联立已知条件得$\begin{cases}4a+2b+c=0 ①\\4a-2b+c=0 ②\end{cases}$
用①-②得：$4b=0$，解得$b=0$；
将$b=0$代入①得：$4a + c = 0$，即$c=-4a$；
把$b=0、c=-4a$代入原方程得：$ax^2 -4a=0$，
因为$a≠0$，方程两边同时除以$a$得：$x^2 -4=0$，解得$x_1=2，x_2=-2$。
综上，方程的根是$2,-2$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元二次方程；加减消元法解方程组
【点评】
本题考查一元二次方程的相关知识，既可以利用根的定义快速代入验证得到结果，也可以通过联立已知条件求出系数关系后解方程，两种方法都较为基础，熟练掌握根的定义可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题可以从两个思路入手：思路一：根据一元二次方程根的定义，根是使方程$ax^2+bx+c=0$成立的未知数$x$的值，观察已知的两个等式$4a+2b+c=0$和$4a-2b+c=0$，对比方程左边$ax^2+bx+c$的形式，可直接匹配对应的$x$值；思路二：可先联立两个已知等式，求出$b、c$和$a$的关系，再代入原方程求解即可得到根。
【解析】
方法一（利用根的定义）：
若$x$是方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根，则满足$ax^2+bx+c=0$。
当$x=2$时，代入方程左边得：$a·2^2 + b·2 + c = 4a+2b+c$，结合已知$4a+2b+c=0$，可得$x=2$是方程的根；
当$x=-2$时，代入方程左边得：$a·(-2)^2 + b·(-2) + c = 4a-2b+c$，结合已知$4a-2b+c=0$，可得$x=-2$是方程的根。
因此方程的根为$2,-2$。
方法二（联立条件求解）：
联立已知条件得$\begin{cases}4a+2b+c=0 ①\\4a-2b+c=0 ②\end{cases}$
用①-②得：$4b=0$，解得$b=0$；
将$b=0$代入①得：$4a + c = 0$，即$c=-4a$；
把$b=0、c=-4a$代入原方程得：$ax^2 -4a=0$，
因为$a≠0$，方程两边同时除以$a$得：$x^2 -4=0$，解得$x_1=2，x_2=-2$。
综上，方程的根是$2,-2$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元二次方程；加减消元法解方程组
【点评】
本题考查一元二次方程的相关知识，既可以利用根的定义快速代入验证得到结果，也可以通过联立已知条件求出系数关系后解方程，两种方法都较为基础，熟练掌握根的定义可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
4.观察下表，一元二次方程$x^2 - x -1.1=0$的一个根的大致范围是。
答案
解：
由表格数据可知：
当$x=1.6$时，$x^2 - x - 1.1 = -0.14 ＜ 0$，
当$x=1.7$时，$x^2 - x - 1.1 = 0.09 ＞ 0$，
因此在$1.6 ＜ x ＜ 1.7$的范围内，必然存在x使得$x^2 - x - 1.1 = 0$，
即一元二次方程$x^2 - x - 1.1=0$的一个根的大致范围是$\boldsymbol{1.6＜x＜1.7}$。
由表格数据可知：
当$x=1.6$时，$x^2 - x - 1.1 = -0.14 ＜ 0$，
当$x=1.7$时，$x^2 - x - 1.1 = 0.09 ＞ 0$，
因此在$1.6 ＜ x ＜ 1.7$的范围内，必然存在x使得$x^2 - x - 1.1 = 0$，
即一元二次方程$x^2 - x - 1.1=0$的一个根的大致范围是$\boldsymbol{1.6＜x＜1.7}$。
解析
【分析】
要确定一元二次方程$x^2 - x -1.1=0$的根的范围，首先明确方程的根就是使代数式$x^2 - x -1.1$的值为0的$x$的值。因为该代数式的值随$x$的变化是连续的，当$x$取两个相邻值时，若代数式的值一个小于0、一个大于0，那么这两个$x$之间必然存在一个值使代数式的值为0，也就是方程的根。我们只需要从表格中找到符合上述条件的相邻$x$的取值即可。
【解析】
观察表格中的数据：
当$x=1.6$时，$x^2 - x - 1.1 = -0.14 ＜ 0$；
当$x=1.7$时，$x^2 - x - 1.1 = 0.09 ＞ 0$。
由于代数式$x^2 - x -1.1$的值随$x$的变化是连续的，因此在$1.6 ＜ x ＜ 1.7$的范围内，一定存在某个$x$使得$x^2 - x -1.1 = 0$，即这个区间内有方程的一个根。
【答案】
$1.6 ＜ x ＜ 1.7$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 估算方程近似根
【点评】
本题考查通过表格数据估算一元二次方程近似根的方法，解题核心是抓住方程的根对应代数式值为0的特点，找到代数式正负发生变化的相邻自变量区间即可，是对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
要确定一元二次方程$x^2 - x -1.1=0$的根的范围，首先明确方程的根就是使代数式$x^2 - x -1.1$的值为0的$x$的值。因为该代数式的值随$x$的变化是连续的，当$x$取两个相邻值时，若代数式的值一个小于0、一个大于0，那么这两个$x$之间必然存在一个值使代数式的值为0，也就是方程的根。我们只需要从表格中找到符合上述条件的相邻$x$的取值即可。
【解析】
观察表格中的数据：
当$x=1.6$时，$x^2 - x - 1.1 = -0.14 ＜ 0$；
当$x=1.7$时，$x^2 - x - 1.1 = 0.09 ＞ 0$。
由于代数式$x^2 - x -1.1$的值随$x$的变化是连续的，因此在$1.6 ＜ x ＜ 1.7$的范围内，一定存在某个$x$使得$x^2 - x -1.1 = 0$，即这个区间内有方程的一个根。
【答案】
$1.6 ＜ x ＜ 1.7$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 估算方程近似根
【点评】
本题考查通过表格数据估算一元二次方程近似根的方法，解题核心是抓住方程的根对应代数式值为0的特点，找到代数式正负发生变化的相邻自变量区间即可，是对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
5.若$m$是方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$的一个根，则$4m^2 + 6m + 2025$的值为。
答案
$\boldsymbol{2027}$
解析
【分析】
解题思路：首先根据一元二次方程根的定义，将x=m代入原方程得到关于m的等式；再观察所求代数式与所得等式的结构关联，发现所求式中的$4m^2+6m$可变形为$2(2m^2+3m)$，因此采用整体代入的方法计算即可，无需解出m的具体值，能简化运算。
具体步骤：第一步利用方程根的性质，代入m求出$2m^2+3m$的值；第二步将所求代数式变形为含$2m^2+3m$的形式，整体代入求值。
【解析】
∵ $m$是方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$的一个根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$2m^2 + 3m - 1 = 0$，
整理得：$2m^2 + 3m = 1$。
对所求代数式变形可得：
$4m^2 + 6m + 2025 = 2(2m^2 + 3m) + 2025$，
将$2m^2 + 3m = 1$代入上式：
原式$=2×1 + 2025 = 2 + 2025 = 2027$。
【答案】
$\boldsymbol{2027}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代入求值
【点评】
本题重点考查一元二次方程根的定义的应用，整体代入法是解决此类代数式求值问题的常用技巧，能有效规避解方程求根的复杂运算，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.75
解题思路：首先根据一元二次方程根的定义，将x=m代入原方程得到关于m的等式；再观察所求代数式与所得等式的结构关联，发现所求式中的$4m^2+6m$可变形为$2(2m^2+3m)$，因此采用整体代入的方法计算即可，无需解出m的具体值，能简化运算。
具体步骤：第一步利用方程根的性质，代入m求出$2m^2+3m$的值；第二步将所求代数式变形为含$2m^2+3m$的形式，整体代入求值。
【解析】
∵ $m$是方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$的一个根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$2m^2 + 3m - 1 = 0$，
整理得：$2m^2 + 3m = 1$。
对所求代数式变形可得：
$4m^2 + 6m + 2025 = 2(2m^2 + 3m) + 2025$，
将$2m^2 + 3m = 1$代入上式：
原式$=2×1 + 2025 = 2 + 2025 = 2027$。
【答案】
$\boldsymbol{2027}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代入求值
【点评】
本题重点考查一元二次方程根的定义的应用，整体代入法是解决此类代数式求值问题的常用技巧，能有效规避解方程求根的复杂运算，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.75
6.若一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$（b，c为常数）的两个根$x_1$，$x_2$满足$-3 ＜ x_1 ＜ -1$，$1 ＜ x_2 ＜ 3$，则符合条件的一个方程为。
答案
解：取满足$-3＜x_1＜-1$的根$x_1=-2$，满足$1＜x_2＜3$的根$x_2=2$，
则对应的一元二次方程可写为$(x+2)(x-2)=0$，
展开得$x^2-4=0$。
答：符合条件的一个方程为$\boldsymbol{x^2-4=0}$（答案不唯一）。
则对应的一元二次方程可写为$(x+2)(x-2)=0$，
展开得$x^2-4=0$。
答：符合条件的一个方程为$\boldsymbol{x^2-4=0}$（答案不唯一）。
解析
【分析】
本题是开放性试题，解题思路为：首先明确一元二次方程的根与方程的对应关系：若一元二次方程的两个根为$x_1$、$x_2$，则方程可以写成$(x-x_1)(x-x_2)=0$的形式。接下来只需在题目给出的两个根的取值范围内，任意选取两个符合要求的根（为计算简便可优先选整数根），代入上述形式后展开整理，即可得到符合要求的方程，满足条件的方程有无数个，任选其一作答即可。
【解析】
我们先在给定区间内选取方便计算的整数根：
取满足$-3 ＜ x_1 ＜ -1$的根$x_1=-2$，取满足$1 ＜ x_2 ＜ 3$的根$x_2=2$，
根据一元二次方程根与因式的关系，对应的方程可写为：
$(x+2)(x-2)=0$
展开整理得：$x^2 - 4 = 0$
（注：答案不唯一，只要选取的两根分别在对应区间内，构造出的方程均符合要求）
【答案】
$x^2 - 4 = 0$（答案不唯一）
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.一元二次方程的构造
【点评】
本题属于基础类开放性题目，主要考查对一元二次方程根的概念的理解与应用，解题时优先选取区间内的简单整数根可快速得到答案，所有符合根的取值范围的方程均为正确答案。
【难度系数】
0.8
本题是开放性试题，解题思路为：首先明确一元二次方程的根与方程的对应关系：若一元二次方程的两个根为$x_1$、$x_2$，则方程可以写成$(x-x_1)(x-x_2)=0$的形式。接下来只需在题目给出的两个根的取值范围内，任意选取两个符合要求的根（为计算简便可优先选整数根），代入上述形式后展开整理，即可得到符合要求的方程，满足条件的方程有无数个，任选其一作答即可。
【解析】
我们先在给定区间内选取方便计算的整数根：
取满足$-3 ＜ x_1 ＜ -1$的根$x_1=-2$，取满足$1 ＜ x_2 ＜ 3$的根$x_2=2$，
根据一元二次方程根与因式的关系，对应的方程可写为：
$(x+2)(x-2)=0$
展开整理得：$x^2 - 4 = 0$
（注：答案不唯一，只要选取的两根分别在对应区间内，构造出的方程均符合要求）
【答案】
$x^2 - 4 = 0$（答案不唯一）
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.一元二次方程的构造
【点评】
本题属于基础类开放性题目，主要考查对一元二次方程根的概念的理解与应用，解题时优先选取区间内的简单整数根可快速得到答案，所有符合根的取值范围的方程均为正确答案。
【难度系数】
0.8
7.若三个关于$x$的一元二次方程$ax^2 + 2bx + c = 1, bx^2 + 2cx + a = -3, cx^2 + 2ax + b = 2$中恰好有一个相同的正实数根，则$a+b+c$的值为。
答案
$\boldsymbol{0}$
解析
【分析】
遇到多个方程存在公共根的问题，我们可以先设这个公共根为参数，本题中公共根是正实数，设为$m$（$m＞0$），利用方程根的定义，将$m$分别代入三个方程，再将三个等式左右两边分别相加，整理后得到含有$a+b+c$的乘积式，最后结合完全平方的非负性分析乘积为0的条件，即可求出$a+b+c$的值。
【解析】
设三个方程相同的正实数根为$ m $（$ m＞0 $），将$ x=m $分别代入三个方程，可得：
$\begin{cases}am^2 + 2bm + c = 1 &① \\bm^2 + 2cm + a = -3 &② \\cm^2 + 2am + b = 2 &③\end{cases}$
将①+②+③，左右两边分别相加：
左边：$ am^2+2bm+c + bm^2+2cm+a + cm^2+2am+b = (a+b+c)m^2 + 2(a+b+c)m + (a+b+c) $
右边：$ 1 + (-3) + 2 = 0 $
对左边提取公因式$ a+b+c $，可得：
$ (a+b+c)(m^2 + 2m + 1) = 0 $
利用完全平方公式变形得：
$ (a+b+c)(m+1)^2 = 0 $
因为$ m $是正实数，所以$ m+1 ＞ 1 ＞ 0 $，即$ (m+1)^2 ≠ 0 $，因此只能$ a+b+c = 0 $。
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，因式分解，完全平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程公共根问题的典型考法，解题核心是通过设公共根代入方程，再将方程相加构造出含待求式的代数结构，结合非负性快速求解，对代数变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
遇到多个方程存在公共根的问题，我们可以先设这个公共根为参数，本题中公共根是正实数，设为$m$（$m＞0$），利用方程根的定义，将$m$分别代入三个方程，再将三个等式左右两边分别相加，整理后得到含有$a+b+c$的乘积式，最后结合完全平方的非负性分析乘积为0的条件，即可求出$a+b+c$的值。
【解析】
设三个方程相同的正实数根为$ m $（$ m＞0 $），将$ x=m $分别代入三个方程，可得：
$\begin{cases}am^2 + 2bm + c = 1 &① \\bm^2 + 2cm + a = -3 &② \\cm^2 + 2am + b = 2 &③\end{cases}$
将①+②+③，左右两边分别相加：
左边：$ am^2+2bm+c + bm^2+2cm+a + cm^2+2am+b = (a+b+c)m^2 + 2(a+b+c)m + (a+b+c) $
右边：$ 1 + (-3) + 2 = 0 $
对左边提取公因式$ a+b+c $，可得：
$ (a+b+c)(m^2 + 2m + 1) = 0 $
利用完全平方公式变形得：
$ (a+b+c)(m+1)^2 = 0 $
因为$ m $是正实数，所以$ m+1 ＞ 1 ＞ 0 $，即$ (m+1)^2 ≠ 0 $，因此只能$ a+b+c = 0 $。
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，因式分解，完全平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程公共根问题的典型考法，解题核心是通过设公共根代入方程，再将方程相加构造出含待求式的代数结构，结合非负性快速求解，对代数变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
8. 提升题定义:关于$x$的一元二次方程$cx^2+bx+a=0$(其中$a,b,c$是常数,且$ac≠0$)是关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$(其中$a,b,c$是常数,且$ac≠0$)的“友好”方程。例如:$-2x^2 -x +1=0$是$x^2 -x -2=0$的“友好”方程。
(1)$2x^2 -3x -2=0$的“友好”方程是。
(2)若关于$x$的一元二次方程$cx^2+bx+a=0$(其中$a,b,c$是常数,且$ac≠0$)的一个根为3,请判断$\frac{1}{3}$是否为该方程的“友好”方程的一个根?若是,请证明;若不是,请说明理由。
(1)$2x^2 -3x -2=0$的“友好”方程是。
(2)若关于$x$的一元二次方程$cx^2+bx+a=0$(其中$a,b,c$是常数,且$ac≠0$)的一个根为3,请判断$\frac{1}{3}$是否为该方程的“友好”方程的一个根?若是,请证明;若不是,请说明理由。
答案
解：
(1) $\boldsymbol{-2x^2 - 3x + 2 = 0}$
(2) $\frac{1}{3}$是该方程的“友好”方程的一个根，证明如下：
∵ 关于$x$的一元二次方程$cx^2 + bx + a = 0$的一个根为3，
∴ 将$x=3$代入方程得：$c· 3^2 + b· 3 + a = 0$，整理得$9c + 3b + a = 0$。
由“友好”方程的定义可知，方程$cx^2 + bx + a = 0$的“友好”方程为$ax^2 + bx + c = 0$。
将$x=\frac{1}{3}$代入$ax^2 + bx + c$，得：
$a· (\frac{1}{3})^2 + b· \frac{1}{3} + c = \frac{a}{9} + \frac{b}{3} + c = \frac{a + 3b + 9c}{9}$
∵ $9c + 3b + a = 0$，
∴ $\frac{a + 3b + 9c}{9} = 0$，即$x=\frac{1}{3}$满足方程$ax^2 + bx + c = 0$。
∴ $\frac{1}{3}$是该方程的“友好”方程的一个根。
(1) $\boldsymbol{-2x^2 - 3x + 2 = 0}$
(2) $\frac{1}{3}$是该方程的“友好”方程的一个根，证明如下：
∵ 关于$x$的一元二次方程$cx^2 + bx + a = 0$的一个根为3，
∴ 将$x=3$代入方程得：$c· 3^2 + b· 3 + a = 0$，整理得$9c + 3b + a = 0$。
由“友好”方程的定义可知，方程$cx^2 + bx + a = 0$的“友好”方程为$ax^2 + bx + c = 0$。
将$x=\frac{1}{3}$代入$ax^2 + bx + c$，得：
$a· (\frac{1}{3})^2 + b· \frac{1}{3} + c = \frac{a}{9} + \frac{b}{3} + c = \frac{a + 3b + 9c}{9}$
∵ $9c + 3b + a = 0$，
∴ $\frac{a + 3b + 9c}{9} = 0$，即$x=\frac{1}{3}$满足方程$ax^2 + bx + c = 0$。
∴ $\frac{1}{3}$是该方程的“友好”方程的一个根。
解析
【分析】
(1) 解题首先要准确理解“友好方程”的定义：若原一元二次方程为$ax^2+bx+c=0$（$ac≠0$），则其友好方程为$cx^2+bx+a=0$，只需提取原方程的二次项系数、一次项系数、常数项，替换到友好方程的对应位置即可求解。
(2) 判断某个值是不是方程的根，通用方法是代入验证：首先根据已知方程的根为3，代入原方程得到$a,b,c$的数量关系；再将$\frac{1}{3}$代入对应的友好方程左边，变形后结合前面得到的数量关系，判断左边是否等于0即可得出结论。
【解析】
(1) 方程$2x^2-3x-2=0$中，二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-2$，根据友好方程的定义，其友好方程为$cx^2+bx+a=0$，代入系数得：$-2x^2-3x+2=0$。
(2) $\frac{1}{3}$是该方程的“友好”方程的一个根，证明如下：
∵ 关于$x$的一元二次方程$cx^2+bx+a=0$的一个根为3，
∴ 将$x=3$代入方程得：$c· 3^2 + b· 3 + a = 0$，整理得$9c + 3b + a = 0$。
由“友好”方程的定义可知，方程$cx^2+bx+a=0$的“友好”方程为$ax^2+bx+c=0$。
将$x=\frac{1}{3}$代入$ax^2+bx+c$，得：
$a· (\frac{1}{3})^2 + b· \frac{1}{3} + c = \frac{a}{9} + \frac{b}{3} + c = \frac{a + 3b + 9c}{9}$
∵ $9c + 3b + a = 0$，
∴ $\frac{a + 3b + 9c}{9} = 0$，即$x=\frac{1}{3}$满足方程$ax^2+bx+c=0$。
∴ $\frac{1}{3}$是该方程的“友好”方程的一个根。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2x^2 - 3x + 2 = 0}$
(2) $\frac{1}{3}$是该方程的“友好”方程的一个根，证明见解析。
【知识点】
新定义理解，一元二次方程根的定义
【点评】
本题是典型的新定义类题型，解题的核心是先准确把握新定义的规则，再结合已学的一元二次方程根的性质代入验证，计算时注意不要混淆两个方程的系数对应关系即可。
【难度系数】
0.7
(1) 解题首先要准确理解“友好方程”的定义：若原一元二次方程为$ax^2+bx+c=0$（$ac≠0$），则其友好方程为$cx^2+bx+a=0$，只需提取原方程的二次项系数、一次项系数、常数项，替换到友好方程的对应位置即可求解。
(2) 判断某个值是不是方程的根，通用方法是代入验证：首先根据已知方程的根为3，代入原方程得到$a,b,c$的数量关系；再将$\frac{1}{3}$代入对应的友好方程左边，变形后结合前面得到的数量关系，判断左边是否等于0即可得出结论。
【解析】
(1) 方程$2x^2-3x-2=0$中，二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-2$，根据友好方程的定义，其友好方程为$cx^2+bx+a=0$，代入系数得：$-2x^2-3x+2=0$。
(2) $\frac{1}{3}$是该方程的“友好”方程的一个根，证明如下：
∵ 关于$x$的一元二次方程$cx^2+bx+a=0$的一个根为3，
∴ 将$x=3$代入方程得：$c· 3^2 + b· 3 + a = 0$，整理得$9c + 3b + a = 0$。
由“友好”方程的定义可知，方程$cx^2+bx+a=0$的“友好”方程为$ax^2+bx+c=0$。
将$x=\frac{1}{3}$代入$ax^2+bx+c$，得：
$a· (\frac{1}{3})^2 + b· \frac{1}{3} + c = \frac{a}{9} + \frac{b}{3} + c = \frac{a + 3b + 9c}{9}$
∵ $9c + 3b + a = 0$，
∴ $\frac{a + 3b + 9c}{9} = 0$，即$x=\frac{1}{3}$满足方程$ax^2+bx+c=0$。
∴ $\frac{1}{3}$是该方程的“友好”方程的一个根。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2x^2 - 3x + 2 = 0}$
(2) $\frac{1}{3}$是该方程的“友好”方程的一个根，证明见解析。
【知识点】
新定义理解，一元二次方程根的定义
【点评】
本题是典型的新定义类题型，解题的核心是先准确把握新定义的规则，再结合已学的一元二次方程根的性质代入验证，计算时注意不要混淆两个方程的系数对应关系即可。
【难度系数】
0.7
