登录
8.【数学文化】《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有一道题目译文如下：“今有人合伙买羊，每人出5钱，还差45钱；每人出7钱，还差3钱。问合伙人数、羊价各是多少。”设合伙人数为x，根据题意可列一元一次方程为
$5x+45=7x+3$
。答案
8.$5x+45=7x+3$
解析
【分析】
列一元一次方程的核心是找到题目中的等量关系，本题中合伙人数、羊的总价都是固定不变的，我们已经设合伙人数为x，可分别用两种出钱的情况表示出羊的总价，再让两个表示羊价的式子相等，即可得到所求方程。
【解析】
首先确定等量关系：两种出钱方式下，羊的总价格始终相等。
再用含x的式子分别表示两种情况的羊价：
1. 每人出5钱时，x人总共出了5x钱，还差45钱够买羊，因此羊价为$5x+45$；
2. 每人出7钱时，x人总共出了7x钱，还差3钱够买羊，因此羊价为$7x+3$。
最后根据羊价相等列方程，可得$5x+45=7x+3$。
【答案】
$5x+45=7x+3$
【知识点】
列一元一次方程，找等量关系，盈亏问题
【点评】
本题结合我国古代数学文化考查一元一次方程的实际应用，解题关键是抓住不变的羊价建立等量关系，是方程应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
列一元一次方程的核心是找到题目中的等量关系，本题中合伙人数、羊的总价都是固定不变的，我们已经设合伙人数为x，可分别用两种出钱的情况表示出羊的总价，再让两个表示羊价的式子相等，即可得到所求方程。
【解析】
首先确定等量关系：两种出钱方式下，羊的总价格始终相等。
再用含x的式子分别表示两种情况的羊价：
1. 每人出5钱时，x人总共出了5x钱，还差45钱够买羊，因此羊价为$5x+45$；
2. 每人出7钱时，x人总共出了7x钱，还差3钱够买羊，因此羊价为$7x+3$。
最后根据羊价相等列方程，可得$5x+45=7x+3$。
【答案】
$5x+45=7x+3$
【知识点】
列一元一次方程，找等量关系，盈亏问题
【点评】
本题结合我国古代数学文化考查一元一次方程的实际应用，解题关键是抓住不变的羊价建立等量关系，是方程应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
9.某学校分配学生住宿，如果每个房间住9人，则有12个人没地方住；如果每个房间住10人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。
答案
9.解:设房间有 $x$ 个。
由题意,得 $9x+12=10(x-2)$,
解得 $x=32$,
所以 $9×32+12=300$(人),
所以房间有 32 个,学生有 300 人。
由题意,得 $9x+12=10(x-2)$,
解得 $x=32$,
所以 $9×32+12=300$(人),
所以房间有 32 个,学生有 300 人。
解析
【分析】
这是典型的分配类应用题，解题核心是抓住题目中的不变量——学生总人数相等来列方程。思考步骤如下：1. 优先设房间个数为未知数x，更便于表示两种方案的总人数；2. 分别表示两种住宿方案的学生总人数：第一种方案每间住9人，x间共住9x人，加上没床位的12人，总人数为$9x+12$；第二种方案空出2个房间，实际入住的房间数为$(x-2)$个，每间住10人，总人数为$10(x-2)$；3. 利用总人数相等的关系列一元一次方程，求解得到房间数后，代入任意一个总人数表达式即可算出学生人数。
【解析】
解：设房间有$x$个。
由两种分配方案学生总人数相等，列方程得：
$9x+12=10(x-2)$
展开右侧：$9x+12=10x-20$
移项计算：$10x-9x=12+20$
解得：$x=32$
将$x=32$代入$9x+12$计算学生人数：
$9×32+12=300$（人）
【答案】
房间有32个，学生有300人。
【知识点】
一元一次方程应用；等量关系确定；盈亏分配问题
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的基础题型，解题关键是找准题目中的不变量，以此为依据建立等量关系列方程求解，掌握该思路可解决大部分同类分配类实际问题。
【难度系数】
0.7
这是典型的分配类应用题，解题核心是抓住题目中的不变量——学生总人数相等来列方程。思考步骤如下：1. 优先设房间个数为未知数x，更便于表示两种方案的总人数；2. 分别表示两种住宿方案的学生总人数：第一种方案每间住9人，x间共住9x人，加上没床位的12人，总人数为$9x+12$；第二种方案空出2个房间，实际入住的房间数为$(x-2)$个，每间住10人，总人数为$10(x-2)$；3. 利用总人数相等的关系列一元一次方程，求解得到房间数后，代入任意一个总人数表达式即可算出学生人数。
【解析】
解：设房间有$x$个。
由两种分配方案学生总人数相等，列方程得：
$9x+12=10(x-2)$
展开右侧：$9x+12=10x-20$
移项计算：$10x-9x=12+20$
解得：$x=32$
将$x=32$代入$9x+12$计算学生人数：
$9×32+12=300$（人）
【答案】
房间有32个，学生有300人。
【知识点】
一元一次方程应用；等量关系确定；盈亏分配问题
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的基础题型，解题关键是找准题目中的不变量，以此为依据建立等量关系列方程求解，掌握该思路可解决大部分同类分配类实际问题。
【难度系数】
0.7
10.【数学文化】我国古代数学著作《孙子算经》中记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步。问人与车各几何。”意思是：今有若干人乘车，若每3人乘1辆车，则剩余2辆车无人乘；若每2人乘1辆车，则剩余9人无车可乘。问有多少辆车，多少人。
答案
10.解:设有 $x$ 辆车。
根据题意,得 $3(x-2)=2x+9$,
解得 $x=15$,
所以 $2×15+9=39$(人),
所以有 15 辆车,39 人。
根据题意,得 $3(x-2)=2x+9$,
解得 $x=15$,
所以 $2×15+9=39$(人),
所以有 15 辆车,39 人。
解析
【分析】这是一道一元一次方程实际应用题，解题核心是找到题目中的不变量建立等量关系。本题中总人数、车辆数均为固定值，我们可以先设车辆数为未知数$x$，分别用含$x$的式子表示两种乘车方案下的总人数，根据总人数相等列方程，求解得到车辆数后再代入计算总人数即可。
【解析】
解：设有$x$辆车。
根据两种乘车方式总人数相等，列方程：
$3(x-2)=2x+9$
展开左边得：$3x - 6 = 2x + 9$
移项合并同类项得：$x=15$
将$x=15$代入$2x+9$计算总人数：$2×15 +9 = 39$（人）
【答案】有15辆车，39人。
【知识点】一元一次方程应用，等量关系建立，解一元一次方程
【点评】本题结合我国古代数学文化出题，既考查了用方程解决实际问题的能力，也能让学生感受到传统数学的魅力，解题关键是抓住总人数不变这一核心等量关系。
【难度系数】
0.8
【解析】
解：设有$x$辆车。
根据两种乘车方式总人数相等，列方程：
$3(x-2)=2x+9$
展开左边得：$3x - 6 = 2x + 9$
移项合并同类项得：$x=15$
将$x=15$代入$2x+9$计算总人数：$2×15 +9 = 39$（人）
【答案】有15辆车，39人。
【知识点】一元一次方程应用，等量关系建立，解一元一次方程
【点评】本题结合我国古代数学文化出题，既考查了用方程解决实际问题的能力，也能让学生感受到传统数学的魅力，解题关键是抓住总人数不变这一核心等量关系。
【难度系数】
0.8
11.【综合与实践】某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅。经过统计：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐。
(1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐。
(2)若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由。
(1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐。
(2)若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由。
答案
11.解:(1)设1个小餐厅可供 $x$ 名学生就餐,则1个大餐厅可供$(1\ 680-2x)$名学生就餐。
根据题意,得 $2(1\ 680-2x)+x=2\ 280$,
解得 $x=360$,
所以 $1\ 680-2×360=960$(名),
所以1个大餐厅、1个小餐厅分别可供960名、360名学生就餐。
(2)因为 $960×5+360×2=5\ 520$(名),
$5\ 520＞5\ 300$,
所以如果同时开放 7 个餐厅,能供全校的 5 300 名学生就餐。
根据题意,得 $2(1\ 680-2x)+x=2\ 280$,
解得 $x=360$,
所以 $1\ 680-2×360=960$(名),
所以1个大餐厅、1个小餐厅分别可供960名、360名学生就餐。
(2)因为 $960×5+360×2=5\ 520$(名),
$5\ 520＞5\ 300$,
所以如果同时开放 7 个餐厅,能供全校的 5 300 名学生就餐。
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用问题，解题思路如下：第(1)问需先找到两个等量关系：①1个大餐厅容纳人数+2个小餐厅容纳人数=1680；②2个大餐厅容纳人数+1个小餐厅容纳人数=2280。我们可以先设小餐厅容纳人数为未知数，用等量关系①表示出大餐厅的容纳人数，再代入等量关系②列一元一次方程求解即可。第(2)问只需先计算出5个大餐厅和2个小餐厅的总容纳人数，再和全校5300名学生的人数比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 设1个小餐厅可供$x$名学生就餐，根据第一个等量关系，可得1个大餐厅可供$(1680-2x)$名学生就餐。
根据第二个等量关系列方程：
$2(1680-2x)+x=2280$
展开得：$3360-4x+x=2280$
合并同类项得：$3360-3x=2280$
移项计算得：$3x=1080$
解得：$x=360$
则1个大餐厅可供的就餐人数为：$1680-2×360=960$（名）
(2) 计算7个餐厅同时开放的总容纳人数：
$960×5 + 360×2 = 4800 + 720 = 5520$（名）
因为$5520＞5300$，所以7个餐厅同时开放可以供全校5300名学生就餐。
【答案】
(1)1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐；(2)能，7个餐厅总容纳人数为5520名，大于5300名，可满足全校学生就餐。
【知识点】
一元一次方程的应用，一元一次方程的解法，有理数混合运算
【点评】
本题结合校园生活场景考察方程建模能力，解题核心是准确抓取题目中的等量关系，将实际问题转化为数学方程求解，计算难度低，侧重考察学生的应用意识和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程的实际应用问题，解题思路如下：第(1)问需先找到两个等量关系：①1个大餐厅容纳人数+2个小餐厅容纳人数=1680；②2个大餐厅容纳人数+1个小餐厅容纳人数=2280。我们可以先设小餐厅容纳人数为未知数，用等量关系①表示出大餐厅的容纳人数，再代入等量关系②列一元一次方程求解即可。第(2)问只需先计算出5个大餐厅和2个小餐厅的总容纳人数，再和全校5300名学生的人数比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 设1个小餐厅可供$x$名学生就餐，根据第一个等量关系，可得1个大餐厅可供$(1680-2x)$名学生就餐。
根据第二个等量关系列方程：
$2(1680-2x)+x=2280$
展开得：$3360-4x+x=2280$
合并同类项得：$3360-3x=2280$
移项计算得：$3x=1080$
解得：$x=360$
则1个大餐厅可供的就餐人数为：$1680-2×360=960$（名）
(2) 计算7个餐厅同时开放的总容纳人数：
$960×5 + 360×2 = 4800 + 720 = 5520$（名）
因为$5520＞5300$，所以7个餐厅同时开放可以供全校5300名学生就餐。
【答案】
(1)1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐；(2)能，7个餐厅总容纳人数为5520名，大于5300名，可满足全校学生就餐。
【知识点】
一元一次方程的应用，一元一次方程的解法，有理数混合运算
【点评】
本题结合校园生活场景考察方程建模能力，解题核心是准确抓取题目中的等量关系，将实际问题转化为数学方程求解，计算难度低，侧重考察学生的应用意识和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
12.【综合与实践】七(1)班的手工艺制作小组准备用正方形硬纸板做三棱柱形盒子,下面是他们裁剪用的图纸,每个盒子由3个长方形侧面和2个三边均相等的三角形底面组成,硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用),该小组购买了38张硬纸板,裁剪时x张用了A方法,其余用了B方法。
(1)能裁剪出
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,则能做多少个盒子?
(1)能裁剪出
$2x+152$
个侧面和$190-5x$
个底面(均用含x的式子表示);(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,则能做多少个盒子?
答案
12.解:(1)$2x+152$ $190-5x$
分析:裁剪时 $x$ 张用了 A 方法,则$(38-x)$张用了 B 方法。
侧面的个数为 $6x+4(38-x)=2x+152$,
底面的个数为 $5(38-x)=190-5x$。
(2)根据题意,得$(190-5x)÷2=(2x+152)÷3$,
解得 $x=14$,
则盒子的个数为$(2×14+152)÷3=60$,
所以若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,则能做 60 个盒子。
分析:裁剪时 $x$ 张用了 A 方法,则$(38-x)$张用了 B 方法。
侧面的个数为 $6x+4(38-x)=2x+152$,
底面的个数为 $5(38-x)=190-5x$。
(2)根据题意,得$(190-5x)÷2=(2x+152)÷3$,
解得 $x=14$,
则盒子的个数为$(2×14+152)÷3=60$,
所以若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,则能做 60 个盒子。
解析
【分析】
(1) 首先明确总共有38张硬纸板，x张用A方法，剩余(38-x)张用B方法。先梳理两种裁剪方法的产出：A方法每张可裁剪6个侧面，无底面；B方法每张可裁剪4个侧面和5个底面。计算侧面总数时，将A、B两种方法裁剪的侧面数量相加后化简即可；计算底面总数时，仅计算B方法裁剪的底面总量，化简后得到结果。
(2) 要使侧面和底面恰好全部用完，核心等量关系为：侧面总数÷每个盒子需要的侧面数=底面总数÷每个盒子需要的底面数（即两种材料算出的盒子总个数相等），据此列一元一次方程求解x，再代入代数式即可算出盒子总数。
【解析】
(1) 用B方法裁剪的硬纸板数量为$(38-x)$张。
侧面总数：A方法裁剪的侧面数为$6x$，B方法裁剪的侧面数为$4(38-x)$，因此总侧面数为：
$6x+4(38-x)=6x+152-4x=2x+152$
底面总数：仅B方法可裁剪底面，每张B方法裁剪5个底面，因此总底面数为：
$5(38-x)=190-5x$
(2) 每个盒子需要3个侧面、2个底面，根据侧面、底面恰好全部用完，盒子个数相等，列方程：
$\frac{2x+152}{3}=\frac{190-5x}{2}$
两边同乘6去分母得：$2(2x+152)=3(190-5x)$
展开得：$4x+304=570-15x$
移项、合并同类项得：$19x=266$
解得：$x=14$
将$x=14$代入侧面总数计算盒子个数：$\frac{2×14+152}{3}=60$
【答案】
(1) $2x+152$；$190-5x$
(2) 60个
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；整式的加减
【点评】
本题属于配套类实际应用题，解题关键是准确梳理裁剪的产出数量关系，以及盒子制作中侧面、底面的配套比例，能够有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 首先明确总共有38张硬纸板，x张用A方法，剩余(38-x)张用B方法。先梳理两种裁剪方法的产出：A方法每张可裁剪6个侧面，无底面；B方法每张可裁剪4个侧面和5个底面。计算侧面总数时，将A、B两种方法裁剪的侧面数量相加后化简即可；计算底面总数时，仅计算B方法裁剪的底面总量，化简后得到结果。
(2) 要使侧面和底面恰好全部用完，核心等量关系为：侧面总数÷每个盒子需要的侧面数=底面总数÷每个盒子需要的底面数（即两种材料算出的盒子总个数相等），据此列一元一次方程求解x，再代入代数式即可算出盒子总数。
【解析】
(1) 用B方法裁剪的硬纸板数量为$(38-x)$张。
侧面总数：A方法裁剪的侧面数为$6x$，B方法裁剪的侧面数为$4(38-x)$，因此总侧面数为：
$6x+4(38-x)=6x+152-4x=2x+152$
底面总数：仅B方法可裁剪底面，每张B方法裁剪5个底面，因此总底面数为：
$5(38-x)=190-5x$
(2) 每个盒子需要3个侧面、2个底面，根据侧面、底面恰好全部用完，盒子个数相等，列方程：
$\frac{2x+152}{3}=\frac{190-5x}{2}$
两边同乘6去分母得：$2(2x+152)=3(190-5x)$
展开得：$4x+304=570-15x$
移项、合并同类项得：$19x=266$
解得：$x=14$
将$x=14$代入侧面总数计算盒子个数：$\frac{2×14+152}{3}=60$
【答案】
(1) $2x+152$；$190-5x$
(2) 60个
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；整式的加减
【点评】
本题属于配套类实际应用题，解题关键是准确梳理裁剪的产出数量关系，以及盒子制作中侧面、底面的配套比例，能够有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.65
