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典例 如图，$△ ABC$是等边三角形，$∠1=∠2=∠3$，求$∠ BEC$的度数。
规律方法 (1)已知三条边之间的关系，则选用定义进行判定。
(2)已知三个角之间的关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”进行判定。
(3)边角综合，先说明这个三角形是等腰三角形，再说明有一个角等于$60°$。
规律方法 (1)已知三条边之间的关系，则选用定义进行判定。
(2)已知三个角之间的关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”进行判定。
(3)边角综合，先说明这个三角形是等腰三角形，再说明有一个角等于$60°$。
答案
解
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°.
∵∠1=∠2=∠3，
∴∠BAC−∠1=∠ABC−∠2=∠BCA−∠3，
即∠CAF=∠ABD=∠BCE.
∵在△ABD 和△BCE 中，
$\{\begin{array}{l}∠1=∠2,\\AB=BC,\\∠ABD=∠BCE,\end{array} $
∴△ABD≌△BCE(ASA),
∴AD=BE,BD=CE.
同理△BCE≌△CAF,△ABD≌△CAF,
∴AD=BE=CF,BD=CE=AF,
∴AD−AF=BE−BD=CF−CE,
即FD=DE=EF.
∴△DEF是等边三角形.
∴∠FED=60°.
∴∠BEC=180°−∠FED=180°−60°=120°.
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°.
∵∠1=∠2=∠3，
∴∠BAC−∠1=∠ABC−∠2=∠BCA−∠3，
即∠CAF=∠ABD=∠BCE.
∵在△ABD 和△BCE 中，
$\{\begin{array}{l}∠1=∠2,\\AB=BC,\\∠ABD=∠BCE,\end{array} $
∴△ABD≌△BCE(ASA),
∴AD=BE,BD=CE.
同理△BCE≌△CAF,△ABD≌△CAF,
∴AD=BE=CF,BD=CE=AF,
∴AD−AF=BE−BD=CF−CE,
即FD=DE=EF.
∴△DEF是等边三角形.
∴∠FED=60°.
∴∠BEC=180°−∠FED=180°−60°=120°.
解析
【分析】
解题时首先从已知条件△ABC是等边三角形出发，回忆等边三角形的性质：三边相等，三个内角均为60°。结合已知∠1=∠2=∠3，可推导出∠ABD=∠BCE=∠CAF，接下来利用ASA判定定理证明△ABD、△BCE、△CAF两两全等，得到对应边相等，进一步推导得出△DEF的三边相等，判定△DEF为等边三角形，得到∠DEF=60°，最后根据∠BEC与∠DEF互为邻补角，即可求出∠BEC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°.
∵∠1=∠2=∠3，
∴∠BAC−∠1=∠ABC−∠2=∠BCA−∠3，
即∠CAF=∠ABD=∠BCE.
∵在△ABD 和△BCE 中，
$\{\begin{array}{l}∠1=∠2,\\AB=BC,\\∠ABD=∠BCE,\end{array} $
∴△ABD≌△BCE(ASA),
∴AD=BE,BD=CE.
同理可证△BCE≌△CAF，△ABD≌△CAF，
∴AD=BE=CF，BD=CE=AF，
∴AD−AF=BE−BD=CF−CE，
即FD=DE=EF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠FED=60°.
∵∠BEC与∠FED互为邻补角，
∴∠BEC=180°−∠FED=180°−60°=120°.
【答案】
$120°$
【知识点】
1.等边三角形的性质与判定
2.全等三角形的判定与性质
3.邻补角的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型习题，解题的核心是利用等边三角形的性质和已知等角条件推导全等证明所需的对应角相等，通过全等得到边的等量关系后判定中间小三角形为等边三角形，再结合邻补角关系求解角度，能有效帮助学生巩固全等证明和等边三角形的相关知识点。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知条件△ABC是等边三角形出发，回忆等边三角形的性质：三边相等，三个内角均为60°。结合已知∠1=∠2=∠3，可推导出∠ABD=∠BCE=∠CAF，接下来利用ASA判定定理证明△ABD、△BCE、△CAF两两全等，得到对应边相等，进一步推导得出△DEF的三边相等，判定△DEF为等边三角形，得到∠DEF=60°，最后根据∠BEC与∠DEF互为邻补角，即可求出∠BEC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°.
∵∠1=∠2=∠3，
∴∠BAC−∠1=∠ABC−∠2=∠BCA−∠3，
即∠CAF=∠ABD=∠BCE.
∵在△ABD 和△BCE 中，
$\{\begin{array}{l}∠1=∠2,\\AB=BC,\\∠ABD=∠BCE,\end{array} $
∴△ABD≌△BCE(ASA),
∴AD=BE,BD=CE.
同理可证△BCE≌△CAF，△ABD≌△CAF，
∴AD=BE=CF，BD=CE=AF，
∴AD−AF=BE−BD=CF−CE，
即FD=DE=EF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠FED=60°.
∵∠BEC与∠FED互为邻补角，
∴∠BEC=180°−∠FED=180°−60°=120°.
【答案】
$120°$
【知识点】
1.等边三角形的性质与判定
2.全等三角形的判定与性质
3.邻补角的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型习题，解题的核心是利用等边三角形的性质和已知等角条件推导全等证明所需的对应角相等，通过全等得到边的等量关系后判定中间小三角形为等边三角形，再结合邻补角关系求解角度，能有效帮助学生巩固全等证明和等边三角形的相关知识点。
【难度系数】
0.6
举一反三 如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，连接DE。
(1)若BE＝6，求AB的长。
(2)求证：△CDE是等边三角形。
(1)若BE＝6，求AB的长。
(2)求证：△CDE是等边三角形。
答案
(1) 解
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC.
∵AE⊥BC,
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB,
∴AB=2BE=2×6=12.
(2) 证明
∵△ABC 是等边三角形，
∴AC=BC,∠C=60°.
∵BD⊥AC,AE⊥BC,
∴CE=$\frac{1}{2}$BC,CD=$\frac{1}{2}$AC,
∴CE=CD,
即△CED 是等腰三角形.
又∠C=60°,
∴△CDE 是等边三角形.
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC.
∵AE⊥BC,
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB,
∴AB=2BE=2×6=12.
(2) 证明
∵△ABC 是等边三角形，
∴AC=BC,∠C=60°.
∵BD⊥AC,AE⊥BC,
∴CE=$\frac{1}{2}$BC,CD=$\frac{1}{2}$AC,
∴CE=CD,
即△CED 是等腰三角形.
又∠C=60°,
∴△CDE 是等边三角形.
解析
【分析】
(1) 求解AB的长时，先利用等边三角形三边相等的性质得到AB=BC，再结合等边三角形三线合一的性质：BC边上的高AE同时是BC的中线，可得E是BC中点，即BE是BC的一半，也就是AB的一半，代入BE的数值即可求出AB的长度。
(2) 要证明△CDE是等边三角形，首先由△ABC是等边三角形可得∠C=60°，只需再证明△CDE是等腰三角形即可。同样利用等边三角形三线合一的性质，分别得到CE是BC的一半、CD是AC的一半，结合等边三角形AC=BC的性质可推出CE=CD，最后根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”即可完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC。
∵AE⊥BC，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=2BE=2×6=12。
(2) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠C=60°。
∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC，CD=$\frac{1}{2}$AC，
∴CE=CD，即△CED是等腰三角形。
又
∵∠C=60°，
∴△CDE是等边三角形。
【答案】
(1) $AB=12$
(2) 已证△CDE是等边三角形
【知识点】
等边三角形的性质；三线合一；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础几何应用题，重点考查等边三角形性质和判定的综合运用，解题关键是熟练掌握等边三角形三线合一的性质，快速得到线段的等量关系，能够帮助学习者巩固等边三角形的相关基础知识点。
【难度系数】
0.8
(1) 求解AB的长时，先利用等边三角形三边相等的性质得到AB=BC，再结合等边三角形三线合一的性质：BC边上的高AE同时是BC的中线，可得E是BC中点，即BE是BC的一半，也就是AB的一半，代入BE的数值即可求出AB的长度。
(2) 要证明△CDE是等边三角形，首先由△ABC是等边三角形可得∠C=60°，只需再证明△CDE是等腰三角形即可。同样利用等边三角形三线合一的性质，分别得到CE是BC的一半、CD是AC的一半，结合等边三角形AC=BC的性质可推出CE=CD，最后根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”即可完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC。
∵AE⊥BC，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=2BE=2×6=12。
(2) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠C=60°。
∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC，CD=$\frac{1}{2}$AC，
∴CE=CD，即△CED是等腰三角形。
又
∵∠C=60°，
∴△CDE是等边三角形。
【答案】
(1) $AB=12$
(2) 已证△CDE是等边三角形
【知识点】
等边三角形的性质；三线合一；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础几何应用题，重点考查等边三角形性质和判定的综合运用，解题关键是熟练掌握等边三角形三线合一的性质，快速得到线段的等量关系，能够帮助学习者巩固等边三角形的相关基础知识点。
【难度系数】
0.8
