1. 在下列条件中，可以判定$△ ABC$是等腰三角形的是().

A.$∠ B=40°,∠ C=80°$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
C.$2∠ A=∠ B+∠ C$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=2:2:1$

1. D

【分析】
要判定△ABC是等腰三角形，只需判断三角形中是否存在两个相等的内角即可。解题时结合三角形内角和为180°的性质，分别计算每个选项中三个内角的度数，验证是否有两个角相等即可得出结论。
【解析】
根据三角形内角和为180°，逐个分析选项：
A选项：∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-80°=60°，三个内角度数为60°、40°、80°，无相等内角，不能判定为等腰三角形；
B选项：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，三个内角度数为30°、60°、90°，无相等内角，不能判定为等腰三角形；
C选项：由$2∠A=∠B+∠C$，结合$∠A+∠B+∠C=180°$，可得$∠A+2∠A=180°$，解得$∠A=60°$，仅能得到$∠B+∠C=120°$，无法确定∠B、∠C是否相等，不能判定为等腰三角形；
D选项：设∠A=2x，∠B=2x，∠C=x，则$2x+2x+x=180°$，解得$x=36°$，三个内角度数为72°、72°、36°，有两个相等的内角，可以判定为等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心是结合内角和定理计算各角的度数，再根据等腰三角形的判定规则判断即可，解题时注意按比例分配角度时不要算错总份数。
【难度系数】
0.8

2. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东$70°$方向的M处，它以40海里每小时的速度向正北方向航行，两个小时后到达位于灯塔P的北偏东$40°$的N处，则N处与灯塔P的距离为海里.

2. 80

【分析】
解题时先计算海轮航行的路程MN：根据路程=速度×时间，可直接求出MN的长度。再分析三角形PMN的内角：结合方向角的定义，先求出∠MPN的度数，再根据正南、正北方向互相平行，利用平行线的内错角相等求出∠PMN的度数，发现∠PMN=∠MPN，最后根据等腰三角形“等角对等边”的性质，即可得到PN与MN相等，从而求出N到P的距离。
【解析】
1. 计算MN的长度：
海轮的航行速度为40海里/小时，航行时间为2小时，
因此 $ MN = 40 × 2 = 80 $ 海里。
2. 求△PMN的内角度数：
∵ 正北方向和正南方向在同一条直线上，
∴ $ ∠ MPN = 180° - 40° - 70° = 70° $。
∵ MN是正北方向的航行路线，与正南正北的方向线平行，
∴ $ ∠ PMN = 70° $（两直线平行，内错角相等）。
3. 判定等腰三角形求PN：
∵ $ ∠ PMN = ∠ MPN = 70° $，
∴ $ PN = MN = 80 $ 海里（等角对等边）。
【答案】
80
【知识点】
方向角的识别；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题结合航行实际场景出题，将方向角、平行线性质和等腰三角形的判定结合考查，解题的核心是准确从方向角中提取三角形内角信息，通过等角对等边建立已知边和未知边的联系，能很好地检验学生对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

3.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$于点D,BF平分$∠ ABC$交CD于点E,交AC于点F.求证$CE=CF$.

证明 $\because ∠ACB=90^{\circ },CD⊥AB,$
$\therefore ∠CBF + ∠CFB = ∠DBE + ∠DEB=90^{\circ }.$
$\because BF$ 平分$∠ABC,$
$\therefore ∠CBF=∠DBE,$
$\therefore ∠CFB=∠DEB.$
又$∠FEC=∠DEB,$
$\therefore ∠CFB=∠FEC,$
$\therefore CE=CF.$

【分析】
要证明$CE=CF$，可通过等腰三角形“等角对等边”的判定思路，只需证明$∠CFE=∠CEF$即可。首先结合已知的两个直角条件，利用直角三角形两锐角互余得到两组角的和为$90°$；再借助角平分线的性质得到一组相等的角，推出$∠CFB=∠DEB$；最后结合对顶角相等完成角的等量代换，得到待证的等角关系，即可得出结论。
【解析】
证明：
$\because ∠ACB=90^{\circ },CD⊥AB,$
$\therefore ∠CBF + ∠CFB = ∠DBE + ∠DEB=90^{\circ }.$
$\because BF$ 平分$∠ABC,$
$\therefore ∠CBF=∠DBE,$
$\therefore ∠CFB=∠DEB.$
又$\because ∠FEC=∠DEB,$
$\therefore ∠CFB=∠FEC,$
$\therefore CE=CF.$
【答案】
$CE=CF$，证明过程见解析
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；等角对等边
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是将线段相等的证明转化为角相等的证明，通过角的等量代换即可完成推导，熟练掌握基础的角的性质和等腰三角形判定方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.8

4. 利用直尺和圆规作图:已知等腰三角形的底边长为a,底边上的中线长为b,求作这个等腰三角形.

4. 解 如图.
(1)作线段$AB=a.$
(2)作线段 AB 的垂直平分线 MN,与AB 相交于点 D.
(3)在 MN 上取一点 C,使$DC=b.$
(4)连接 AC,CB,则$△ABC$就是所求作的等腰三角形.

【分析】
要作满足条件的等腰三角形，可结合等腰三角形“三线合一”的性质思考：等腰三角形的顶点在底边的垂直平分线上，且顶点到底边中点的距离等于底边上的中线长。因此解题步骤可按“定底边→作底边的垂直平分线→确定顶点→连接三边”的顺序完成：①先画出长度为a的底边AB；②作AB的垂直平分线，得到AB的中点D；③在垂直平分线上截取长度为b的线段DC，得到顶点C；④连接AC、BC即可得到所求等腰三角形。
【解析】
作图步骤如下：
(1) 用直尺画射线AE，用圆规量取长度a，在AE上截取$AB=a$；
(2) 分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧分别交于AB上下方的两点，过两点作直线MN，MN即为AB的垂直平分线，MN与AB交于点D；
(3) 用圆规量取长度b，在MN上截取$DC=b$，得到点C；
(4) 用直尺连接AC、CB，所得$△ ABC$就是所求作的等腰三角形。
【答案】
如图。
(1)作线段$AB=a.$
(2)作线段 AB 的垂直平分线 MN,与AB 相交于点 D.
(3)在 MN 上取一点 C,使$DC=b.$
(4)连接 AC,CB,则$△ABC$就是所求作的等腰三角形.
【知识点】
1. 尺规作图 2. 等腰三角形的性质 3. 垂直平分线的作法
【点评】
本题是基础尺规作图题，核心是利用等腰三角形三线合一的性质确定顶点的位置，需要熟练掌握线段、垂直平分线的基本作图方法，作图时要保留作图痕迹。
【难度系数】
0.8

5. 如图，$∠ B = ∠ C = 36°$，$∠ ADE = ∠ AED = 72°$，则图中的等腰三角形的个数为().


A.3
B.4
C.5
D.6

5. D 解析 $\because ∠B = ∠C = 36^{\circ },∠ADE=∠AED=72^{\circ },$
$\therefore △ABC$ 和$△ADE$ 是等腰三角形.
$\because ∠B=36^{\circ },∠ADE=72^{\circ },$
$\therefore ∠BAD=36^{\circ },$
$\therefore AD=BD,$
$\therefore △ABD$ 是等腰三角形.
同理,$△AEC$ 是等腰三角形.
$\because ∠ADE=∠AED=72^{\circ },$
$\therefore ∠DAE=36^{\circ },$
$\therefore ∠CAD=36^{\circ }+36^{\circ }=72^{\circ },$
$\therefore ∠CAD=∠CDA=72^{\circ },$
$\therefore △ADC$ 是等腰三角形.
同理,$△ABE$ 是等腰三角形.
综上所述,等腰三角形有 6 个.
故选 D.

【分析】
要解决本题，需依据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，先梳理出图中所有的三角形，再结合已知角度，利用三角形内角和定理、三角形外角的性质计算出各三角形的内角度数，逐一判断是否存在两个相等的内角，注意不要漏数、重数。
【解析】
解：
① 已知$∠ B = ∠ C = 36°$，根据等角对等边，可得$△ ABC$是等腰三角形；
已知$∠ ADE = ∠ AED = 72°$，同理可得$△ ADE$是等腰三角形。
② $\because ∠ ADE$是$△ ABD$的外角，$\therefore ∠ ADE = ∠ B + ∠ BAD$，
代入$∠ ADE=72°$，$∠ B=36°$，得$∠ BAD=72°-36°=36°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ B$，$\therefore AD=BD$，$△ ABD$是等腰三角形。
③ 同理，$∠ AED$是$△ AEC$的外角，$∠ AED=∠ C+∠ EAC$，
得$∠ EAC=72°-36°=36°$，$\therefore ∠ EAC=∠ C$，$\therefore AE=EC$，$△ AEC$是等腰三角形。
④ 在$△ ADE$中，$∠ DAE=180°-∠ ADE-∠ AED=180°-72°-72°=36°$，
$\therefore ∠ CAD=∠ DAE+∠ EAC=36°+36°=72°$，
又$∠ CDA=∠ ADE=72°$，$\therefore ∠ CAD=∠ CDA$，$\therefore AC=CD$，$△ ADC$是等腰三角形。
⑤ 同理，$∠ BAE=∠ BAD+∠ DAE=36°+36°=72°$，
又$∠ AEB=∠ AED=72°$，$\therefore ∠ BAE=∠ AEB$，$\therefore AB=BE$，$△ ABE$是等腰三角形。
综上，等腰三角形共有6个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形的判定，解题的关键是结合角度运算对所有三角形逐一验证，易错点是容易漏数隐藏的等腰三角形，做题时需要细心梳理所有图形再判断。
【难度系数】
0.6

6.如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线交于点F,过点F作$DE// BC$,交AB于点E,交AC于点D.

(1)试确定$BE,DE,CD$之间的数量关系,并说明理由；
(2)若$AB+AC=a$,求$△ AED$的周长.

6. 解 (1)$DE=BE+CD.$
理由: $\because BF$ 平分$∠ABC$,CF 平分$∠ACB,$
$\therefore ∠EBF=∠CBF,∠DCF=∠BCF.$
$\because DE// BC,$
$\therefore ∠EFB=∠CBF,∠DFC=∠BCF,$
$\therefore ∠EFB=∠EBF,∠DFC=∠DCF,$
$\therefore BE=EF,CD=DF.$
$\because DE=EF+DF,$
$\therefore DE=BE+CD.$
(2)$\because AB+AC=a,$
$\therefore AE+BE+AD+CD=a.$
$\because 由(1)得 ED=BE+CD,$
$\therefore AE+AD+ED=a,$
$\therefore △AED$ 的周长为 a.

【分析】
(1) 要确定BE、DE、CD的数量关系，先观察到DE被点F分为EF和DF两段，可尝试证明EF与BE相等、DF与CD相等：结合角平分线的定义可得∠EBF=∠CBF、∠DCF=∠BCF，再根据DE//BC的平行线性质，得到内错角相等，等量代换后可推出△BEF和△CDF都是等腰三角形，得到BE=EF、CD=DF，结合DE=EF+DF即可推导出三者关系。
(2) 求△AED的周长，首先明确周长为AE+AD+DE，结合第一问得到的DE=BE+CD，将DE替换为BE+CD后，周长可整理为(AE+BE)+(AD+CD)，也就是AB+AC，代入已知条件即可求出结果。
【解析】
(1) 数量关系：$\boldsymbol{DE=BE+CD}$，理由如下：
$\because BF$平分$∠ ABC$，$CF$平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ EBF=∠ CBF$，$∠ DCF=∠ BCF$。
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ EFB=∠ CBF$，$∠ DFC=∠ BCF$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ EFB=∠ EBF$，$∠ DFC=∠ DCF$，
$\therefore BE=EF$，$CD=DF$（等角对等边）。
又$\because DE=EF+DF$，
$\therefore DE=BE+CD$。
(2) $△ AED$的周长$=AE+AD+DE$，
$\because AB+AC=AE+BE+AD+CD=a$，
由(1)可知$DE=BE+CD$，
$\therefore △ AED$的周长$=AE+AD+BE+CD=(AE+BE)+(AD+CD)=AB+AC=a$。
【答案】
(1) $DE=BE+CD$，理由见解析；
(2) $a$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是“角平分线+平行线”几何模型的典型应用，通过该模型可快速推出等腰三角形，实现线段的等量转化，是几何线段关系、周长计算类题的常见考法，解题时需注意观察线段的拆分与组合。
【难度系数】
0.7