典例1 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AO=x，O在边AB上（不包括端点），且⊙O的半径为1.当x在什么范围内取值时，AC与⊙O相离、相切、相交？

典例1 解 如图，过点O作OD⊥AC.
∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°.
∵AO=x，
∴OD=$\frac{1}{2}x$.
(1)若AC与$\odot O$相离,则有OD大于半径1,即$\frac{1}{2}x＞1$,解得$x＞2$;
(2)若AC与$\odot O$相切,则有OD等于半径1,即$\frac{1}{2}x=1$,解得$x=2$;
(3)若AC与$\odot O$相交,则有OD小于半径1,即$\frac{1}{2}x＜1$,解得$0＜x＜2$.
综上可知,当$x＞2$时,AC与$\odot O$相离;当$x=2$时,AC与$\odot O$相切;当$0＜x＜2$时,AC与$\odot O$相交.

典例2 如图，AB为$\odot O$的直径，$OC ⊥ AB$交$\odot O$于点C，D为OB上一点，延长CD交$\odot O$于点E，延长OB至点F，使$DF=FE$，连接EF.
(1)求证：EF为$\odot O$的切线；
(2)若$OD=1$且$BD=BF$，求$\odot O$的半径.

典例2 (1)证明 如图,连接OE.
$\because OE=OC$,
$\therefore ∠ OEC=∠ OCE$.
$\because DF=FE$,
$\therefore ∠ FED=∠ FDE$.
$\because ∠ FDE = ∠ CDO$, $∠ CDO + ∠ OCD=90°$,
$\therefore ∠ FED+∠ OEC=90°$,即$∠ FEO=90°$,
$\therefore OE⊥ FE$.
$\because OE$是$\odot O$半径,
$\therefore EF$为$\odot O$的切线.
(2)解 设$\odot O$的半径$EO=BO=r$,则$BD=BF=r-1$,
$\therefore FE=DF=2BD=2(r-1)$,
$\therefore OF=DF+OD=2r-1$.
在 $\mathrm{Rt }△ FEO$ 中,由勾股定理,得$FE^2+OE^2=OF^2$,
$\therefore (2r-2)^2+r^2=(2r-1)^2$,解得$r=3$,或$r=1$(舍去),
$\therefore \odot O$的半径为3.