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例2 九年级数学“综合与实践”活动课中，老师布置的研究课题是测量学校旗杆的高度，备有测量角度（单位：度）的仪器、测量距离（单位：m）的皮尺等。小明和小东的测量方案如下：
请选择其中一个方案，根据相关数据求出旗杆的高度（精确到0.1m）。
请选择其中一个方案，根据相关数据求出旗杆的高度（精确到0.1m）。
答案
解：选择小明的方案计算。
由题意可知，$DC⊥ AC$，四边形$AMNC$是矩形，
$\therefore CN = AM = 1.50\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ DAC=37°$，
$\tan37° = \dfrac{DC}{AC}$，即 $AC = \dfrac{DC}{\tan37°}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ DBC=60°$，
$\tan60° = \dfrac{DC}{BC}$，即 $BC = \dfrac{DC}{\tan60°}$。
$\because AC - BC = AB$，$AB=13.12\ \mathrm{m}$，
$\therefore \dfrac{DC}{\tan37°} - \dfrac{DC}{\tan60°} = 13.12$。
代入$\tan37°\approx0.75$，$\tan60°=\sqrt{3}\approx1.73$，得：
$\dfrac{DC}{0.75} - \dfrac{DC}{1.73} = 13.12$
$DC×(1.73 - 0.75) \approx 13.12×0.75×1.73$
$0.98DC \approx 17.05$
$DC \approx 17.40\ \mathrm{m}$
$\therefore DN = DC + CN \approx 17.40 + 1.50 = 18.9\ \mathrm{m}$。
答：旗杆的高度约为$18.9\ \mathrm{m}$。
由题意可知，$DC⊥ AC$，四边形$AMNC$是矩形，
$\therefore CN = AM = 1.50\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ DAC=37°$，
$\tan37° = \dfrac{DC}{AC}$，即 $AC = \dfrac{DC}{\tan37°}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ DBC=60°$，
$\tan60° = \dfrac{DC}{BC}$，即 $BC = \dfrac{DC}{\tan60°}$。
$\because AC - BC = AB$，$AB=13.12\ \mathrm{m}$，
$\therefore \dfrac{DC}{\tan37°} - \dfrac{DC}{\tan60°} = 13.12$。
代入$\tan37°\approx0.75$，$\tan60°=\sqrt{3}\approx1.73$，得：
$\dfrac{DC}{0.75} - \dfrac{DC}{1.73} = 13.12$
$DC×(1.73 - 0.75) \approx 13.12×0.75×1.73$
$0.98DC \approx 17.05$
$DC \approx 17.40\ \mathrm{m}$
$\therefore DN = DC + CN \approx 17.40 + 1.50 = 18.9\ \mathrm{m}$。
答：旗杆的高度约为$18.9\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
我们可以选择小明的方案求解，首先明确旗杆高度DN由两部分组成：仪器高度AM（即CN）和D点到仪器所在高度的垂直距离DC。首先观察图形可知四边形AMNC是矩形，可得CN=AM。接下来图中有两个共直角边DC的直角三角形Rt△ACD和Rt△BCD，我们可以分别利用两个仰角的正切值，用DC表示出AC和BC的长度，再根据AC与BC的差等于已知的AB长度，列出关于DC的方程，解出DC后加上CN即可得到旗杆的高度DN。
【解析】
选择小明的方案计算：
由题意得$DC⊥AC$，四边形$AMNC$是矩形，
$\therefore CN = AM = 1.50\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ DAC=37°$，
$\because \tan37° = \dfrac{DC}{AC}$，
$\therefore AC = \dfrac{DC}{\tan37°}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ DBC=60°$，
$\because \tan60° = \dfrac{DC}{BC}$，
$\therefore BC = \dfrac{DC}{\tan60°}$。
$\because AC - BC = AB$，$AB=13.12\ \mathrm{m}$，
$\therefore \dfrac{DC}{\tan37°} - \dfrac{DC}{\tan60°} = 13.12$。
代入$\tan37°\approx0.75$，$\tan60°=\sqrt{3}\approx1.73$，得：
$\dfrac{DC}{0.75} - \dfrac{DC}{1.73} = 13.12$
化简得：$DC×(1.73 - 0.75) \approx 13.12×0.75×1.73$
即$0.98DC \approx 17.05$，解得$DC \approx 17.40\ \mathrm{m}$
$\therefore DN = DC + CN \approx 17.40 + 1.50 = 18.9\ \mathrm{m}$
【答案】
旗杆的高度约为$\boxed{18.9\ \mathrm{m}}$
【知识点】
解直角三角形应用，矩形的性质，三角函数计算
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题的关键是找到两个直角三角形的公共直角边，利用已知线段的长度关系建立方程求解，既考查了三角函数的计算能力，也考查了将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.65
我们可以选择小明的方案求解，首先明确旗杆高度DN由两部分组成：仪器高度AM（即CN）和D点到仪器所在高度的垂直距离DC。首先观察图形可知四边形AMNC是矩形，可得CN=AM。接下来图中有两个共直角边DC的直角三角形Rt△ACD和Rt△BCD，我们可以分别利用两个仰角的正切值，用DC表示出AC和BC的长度，再根据AC与BC的差等于已知的AB长度，列出关于DC的方程，解出DC后加上CN即可得到旗杆的高度DN。
【解析】
选择小明的方案计算：
由题意得$DC⊥AC$，四边形$AMNC$是矩形，
$\therefore CN = AM = 1.50\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ DAC=37°$，
$\because \tan37° = \dfrac{DC}{AC}$，
$\therefore AC = \dfrac{DC}{\tan37°}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ DBC=60°$，
$\because \tan60° = \dfrac{DC}{BC}$，
$\therefore BC = \dfrac{DC}{\tan60°}$。
$\because AC - BC = AB$，$AB=13.12\ \mathrm{m}$，
$\therefore \dfrac{DC}{\tan37°} - \dfrac{DC}{\tan60°} = 13.12$。
代入$\tan37°\approx0.75$，$\tan60°=\sqrt{3}\approx1.73$，得：
$\dfrac{DC}{0.75} - \dfrac{DC}{1.73} = 13.12$
化简得：$DC×(1.73 - 0.75) \approx 13.12×0.75×1.73$
即$0.98DC \approx 17.05$，解得$DC \approx 17.40\ \mathrm{m}$
$\therefore DN = DC + CN \approx 17.40 + 1.50 = 18.9\ \mathrm{m}$
【答案】
旗杆的高度约为$\boxed{18.9\ \mathrm{m}}$
【知识点】
解直角三角形应用，矩形的性质，三角函数计算
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题的关键是找到两个直角三角形的公共直角边，利用已知线段的长度关系建立方程求解，既考查了三角函数的计算能力，也考查了将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.65
小明的测量方案(如图4-1-3):
解:在$Rt△ ACD$中,$AC = \_\_\_\_\_\_$,
在$Rt△ BCD$中,$BC = \_\_\_\_\_\_$.
$\because AB = AC - BC = \_\_\_\_\_\_$,
$\therefore CD = \_\_\_\_\_\_$.
$\because AM = CN$, $\therefore DN = \_\_\_\_\_\_$.
$\therefore$ 旗杆的高度约为 $\_\_\_\_\_\_$.
小东的测量方案(如图4-1-4):
解:在$Rt△ ACD$中,$AC = \_\_\_\_\_\_$,
在$Rt△ BCD$中,$BC = \_\_\_\_\_\_$.
$\because AB = AC + BC = \_\_\_\_\_\_$,
$\therefore CD = \_\_\_\_\_\_$.
$\because AM = CN$, $\therefore DN = \_\_\_\_\_\_$.
$\therefore$ 旗杆的高度约为 $\_\_\_\_\_\_$.
解:在$Rt△ ACD$中,$AC = \_\_\_\_\_\_$,
在$Rt△ BCD$中,$BC = \_\_\_\_\_\_$.
$\because AB = AC - BC = \_\_\_\_\_\_$,
$\therefore CD = \_\_\_\_\_\_$.
$\because AM = CN$, $\therefore DN = \_\_\_\_\_\_$.
$\therefore$ 旗杆的高度约为 $\_\_\_\_\_\_$.
小东的测量方案(如图4-1-4):
解:在$Rt△ ACD$中,$AC = \_\_\_\_\_\_$,
在$Rt△ BCD$中,$BC = \_\_\_\_\_\_$.
$\because AB = AC + BC = \_\_\_\_\_\_$,
$\therefore CD = \_\_\_\_\_\_$.
$\because AM = CN$, $\therefore DN = \_\_\_\_\_\_$.
$\therefore$ 旗杆的高度约为 $\_\_\_\_\_\_$.
答案
解:在$Rt△ ACD$中,$AC = \sqrt{3}CD$,
在$Rt△ BCD$中,$BC = \frac{\sqrt{3}}{3}CD$.
$\because AB = AC - BC = \frac{2\sqrt{3}}{3}CD=20\ \mathrm{m}$,
$\therefore CD = 10\sqrt{3}\ \mathrm{m}\approx17.32\ \mathrm{m}$.
$\because AM = CN$, $\therefore DN = CD + AM\approx18.52\ \mathrm{m}$.
$\therefore$ 旗杆的高度约为 $18.5\ \mathrm{m}$.
小东的测量方案:
解:在$Rt△ ACD$中,$AC = \sqrt{3}CD$,
在$Rt△ BCD$中,$BC = \frac{\sqrt{3}}{3}CD$.
$\because AB = AC + BC = \frac{4\sqrt{3}}{3}CD=40\ \mathrm{m}$,
$\therefore CD = 10\sqrt{3}\ \mathrm{m}\approx17.32\ \mathrm{m}$.
$\because AM = CN$, $\therefore DN = CD + AM\approx18.52\ \mathrm{m}$.
$\therefore$ 旗杆的高度约为 $18.5\ \mathrm{m}$.
在$Rt△ BCD$中,$BC = \frac{\sqrt{3}}{3}CD$.
$\because AB = AC - BC = \frac{2\sqrt{3}}{3}CD=20\ \mathrm{m}$,
$\therefore CD = 10\sqrt{3}\ \mathrm{m}\approx17.32\ \mathrm{m}$.
$\because AM = CN$, $\therefore DN = CD + AM\approx18.52\ \mathrm{m}$.
$\therefore$ 旗杆的高度约为 $18.5\ \mathrm{m}$.
小东的测量方案:
解:在$Rt△ ACD$中,$AC = \sqrt{3}CD$,
在$Rt△ BCD$中,$BC = \frac{\sqrt{3}}{3}CD$.
$\because AB = AC + BC = \frac{4\sqrt{3}}{3}CD=40\ \mathrm{m}$,
$\therefore CD = 10\sqrt{3}\ \mathrm{m}\approx17.32\ \mathrm{m}$.
$\because AM = CN$, $\therefore DN = CD + AM\approx18.52\ \mathrm{m}$.
$\therefore$ 旗杆的高度约为 $18.5\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
本题是利用双直角三角形测量高度的典型题型，解题思路如下：第一步，把两个直角三角形的公共边CD设为核心未知量，利用30°、60°特殊角的正切值，分别将AC、BC用含CD的代数式表示；第二步，根据两个方案中AB与AC、BC的和差关系（小明方案为差，小东方案为和），代入已知的AB长度列等式，即可求出CD的长度；第三步，结合观测点高度相等（AM=CN）的条件，将CD的长度加上观测点高度AM，就能得到旗杆的实际高度。
【解析】
小明的测量方案：
在$Rt△ ACD$中，$\tan30°=\frac{CD}{AC}$，因此$AC = \frac{CD}{\tan30°}=\sqrt{3}CD$；
在$Rt△ BCD$中，$\tan60°=\frac{CD}{BC}$，因此$BC = \frac{CD}{\tan60°}=\frac{\sqrt{3}}{3}CD$；
$\because AB = AC - BC = \sqrt{3}CD-\frac{\sqrt{3}}{3}CD=\frac{2\sqrt{3}}{3}CD=20\ \mathrm{m}$，
$\therefore CD = 20×\frac{3}{2\sqrt{3}}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}\approx17.32\ \mathrm{m}$，
$\because AM = CN$，$\therefore DN = CD+CN=CD + AM\approx17.32+1.2=18.52\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 旗杆的高度约为 $18.5\ \mathrm{m}$。
小东的测量方案：
在$Rt△ ACD$中，$\tan30°=\frac{CD}{AC}$，因此$AC = \sqrt{3}CD$，
在$Rt△ BCD$中，$\tan60°=\frac{CD}{BC}$，因此$BC = \frac{\sqrt{3}}{3}CD$，
$\because AB = AC + BC = \sqrt{3}CD+\frac{\sqrt{3}}{3}CD=\frac{4\sqrt{3}}{3}CD=40\ \mathrm{m}$，
$\therefore CD = 40×\frac{3}{4\sqrt{3}}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}\approx17.32\ \mathrm{m}$，
$\because AM = CN$, $\therefore DN = CD + AM\approx18.52\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 旗杆的高度约为 $18.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
小明方案依次填：$\sqrt{3}CD$；$\frac{\sqrt{3}}{3}CD$；$\frac{2\sqrt{3}}{3}CD=20\ \mathrm{m}$；$10\sqrt{3}\ \mathrm{m}\approx17.32\ \mathrm{m}$；$CD + AM\approx18.52\ \mathrm{m}$；$18.5\ \mathrm{m}$
小东方案依次填：$\sqrt{3}CD$；$\frac{\sqrt{3}}{3}CD$；$\frac{4\sqrt{3}}{3}CD=40\ \mathrm{m}$；$10\sqrt{3}\ \mathrm{m}\approx17.32\ \mathrm{m}$；$CD + AM\approx18.52\ \mathrm{m}$；$18.5\ \mathrm{m}$
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 特殊角的三角函数值
3. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，通过共直角边的双直角三角形模型建立等量关系，考查学生对特殊角三角函数值的掌握程度，以及从实际场景中提取几何关系、列方程求解的能力，是测量类实际问题的常见考法。
【难度系数】
0.65
本题是利用双直角三角形测量高度的典型题型，解题思路如下：第一步，把两个直角三角形的公共边CD设为核心未知量，利用30°、60°特殊角的正切值，分别将AC、BC用含CD的代数式表示；第二步，根据两个方案中AB与AC、BC的和差关系（小明方案为差，小东方案为和），代入已知的AB长度列等式，即可求出CD的长度；第三步，结合观测点高度相等（AM=CN）的条件，将CD的长度加上观测点高度AM，就能得到旗杆的实际高度。
【解析】
小明的测量方案：
在$Rt△ ACD$中，$\tan30°=\frac{CD}{AC}$，因此$AC = \frac{CD}{\tan30°}=\sqrt{3}CD$；
在$Rt△ BCD$中，$\tan60°=\frac{CD}{BC}$，因此$BC = \frac{CD}{\tan60°}=\frac{\sqrt{3}}{3}CD$；
$\because AB = AC - BC = \sqrt{3}CD-\frac{\sqrt{3}}{3}CD=\frac{2\sqrt{3}}{3}CD=20\ \mathrm{m}$，
$\therefore CD = 20×\frac{3}{2\sqrt{3}}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}\approx17.32\ \mathrm{m}$，
$\because AM = CN$，$\therefore DN = CD+CN=CD + AM\approx17.32+1.2=18.52\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 旗杆的高度约为 $18.5\ \mathrm{m}$。
小东的测量方案：
在$Rt△ ACD$中，$\tan30°=\frac{CD}{AC}$，因此$AC = \sqrt{3}CD$，
在$Rt△ BCD$中，$\tan60°=\frac{CD}{BC}$，因此$BC = \frac{\sqrt{3}}{3}CD$，
$\because AB = AC + BC = \sqrt{3}CD+\frac{\sqrt{3}}{3}CD=\frac{4\sqrt{3}}{3}CD=40\ \mathrm{m}$，
$\therefore CD = 40×\frac{3}{4\sqrt{3}}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}\approx17.32\ \mathrm{m}$，
$\because AM = CN$, $\therefore DN = CD + AM\approx18.52\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 旗杆的高度约为 $18.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
小明方案依次填：$\sqrt{3}CD$；$\frac{\sqrt{3}}{3}CD$；$\frac{2\sqrt{3}}{3}CD=20\ \mathrm{m}$；$10\sqrt{3}\ \mathrm{m}\approx17.32\ \mathrm{m}$；$CD + AM\approx18.52\ \mathrm{m}$；$18.5\ \mathrm{m}$
小东方案依次填：$\sqrt{3}CD$；$\frac{\sqrt{3}}{3}CD$；$\frac{4\sqrt{3}}{3}CD=40\ \mathrm{m}$；$10\sqrt{3}\ \mathrm{m}\approx17.32\ \mathrm{m}$；$CD + AM\approx18.52\ \mathrm{m}$；$18.5\ \mathrm{m}$
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 特殊角的三角函数值
3. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，通过共直角边的双直角三角形模型建立等量关系，考查学生对特殊角三角函数值的掌握程度，以及从实际场景中提取几何关系、列方程求解的能力，是测量类实际问题的常见考法。
【难度系数】
0.65
