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5.如图3-3-10，等边$△ ABC$的边长为6cm，动点$P$，$Q$同时从$A$，$B$两点出发，分别沿$AB$，$BC$方向匀速运动，点$P$运动的速度是1cm/s，点$Q$运动的速度是2cm/s，当点$Q$到达点$C$时，点$P$，$Q$都停止运动，$QR // AB$交$AC$于点$R$.设点$P$，$Q$运动的时间为$t(\mathrm{s})$，当$t$为何值时，$△ APR$与$△ PRQ$相似？试说明理由.
小明解答如下：
由$QR // AB$可得$∠ APR = ∠ PRQ$，如果$△ APR$与$△ PRQ$相似，由$∠ A = 60°$可得，只要$∠ PQR = 60°$即可.
当$∠ PQR = 60°$时，由于$QR // AB$，
$\therefore ∠ BPQ = ∠ PQR = 60°$.
又$\because ∠ A = 60°$，
$\therefore PQ // AC$.
$\therefore BP = BQ$，即$6 - t = 2t$，
解得$t = 2(\mathrm{s})$.
以上解答过程有遗漏，请给予补充.
小明解答如下：
由$QR // AB$可得$∠ APR = ∠ PRQ$，如果$△ APR$与$△ PRQ$相似，由$∠ A = 60°$可得，只要$∠ PQR = 60°$即可.
当$∠ PQR = 60°$时，由于$QR // AB$，
$\therefore ∠ BPQ = ∠ PQR = 60°$.
又$\because ∠ A = 60°$，
$\therefore PQ // AC$.
$\therefore BP = BQ$，即$6 - t = 2t$，
解得$t = 2(\mathrm{s})$.
以上解答过程有遗漏，请给予补充.
答案
5. 当 $∠ RPQ = 60°$ 时，
$∠ BPQ + ∠ APR = 120°$,
$\because ∠ APR + ∠ ARP = 120°$,
$\therefore ∠ BPQ = ∠ ARP$.
又 $\because ∠ B = ∠ A = 60°$,
$\therefore △ BQP ∽ △ APR$.
$\therefore \frac{BQ}{AP} = \frac{BP}{AR}$,
即 $\frac{2t}{t} = \frac{6 - t}{2t},\quad$ 解得 $t = \frac{6}{5}(\mathrm{s})$.
解析
【分析】
本题是等边三角形背景下的动点相似问题，首先由$QR// AB$可得$∠ APR=∠ PRQ$，即$△ APR$和$△ PRQ$已有一组对应角相等，因此相似需分两种对应情况讨论：①$∠ A=∠ PQR=60°$（即小明解答的情况）；②$∠ A=∠ RPQ=60°$（即遗漏的情况）。解题时先根据等边三角形和平行线的性质求出各边关于$t$的表达式，再结合相似三角形的对应边成比例列方程求解，最后验证解是否在动点的运动时间范围内即可。
【解析】
解：小明只考虑了$△ APR∼△ RQP$的情况，还存在$△ APR∼△ RPQ$的情况，补充如下：
已知等边$△ ABC$中，$∠ A=∠ B=60°$，$AB=BC=AC=6\mathrm{cm}$，
动点运动$t\mathrm{s}$时，$AP=t\mathrm{cm}$，$BQ=2t\mathrm{cm}$，则$BP=(6-t)\mathrm{cm}$，且$0＜ t≤3$（点$Q$到达$C$时停止，$2t≤6$）。
$\because QR// AB$，$\therefore △ QRC$为等边三角形，
$\therefore QC=RC=QR=6-BQ=(6-2t)\mathrm{cm}$，
$\therefore AR=AC-RC=6-(6-2t)=2t\mathrm{cm}$，且$∠ APR=∠ PRQ$。
情况1：当$∠ PQR=∠ A=60°$时，$△ APR∼△ RQP$，
由小明的解答得$6-t=2t$，解得$t=2$，符合$0＜ t≤3$。
情况2：当$∠ RPQ=∠ A=60°$时，$△ APR∼△ RPQ$，
此时$∠ BPQ + ∠ APR=180°-∠ RPQ=120°$，
在$△ APR$中，$∠ APR + ∠ ARP=180°-∠ A=120°$，
$\therefore ∠ BPQ=∠ ARP$，
又$\because ∠ B=∠ A=60°$，$\therefore △ BQP∼△ APR$，
$\therefore \frac{BQ}{AP}=\frac{BP}{AR}$，代入得$\frac{2t}{t}=\frac{6-t}{2t}$，
化简得$2=\frac{6-t}{2t}$，解得$t=\frac{6}{5}$，符合$0＜ t≤3$。
综上，$t$为$\frac{6}{5}\mathrm{s}$或$2\mathrm{s}$时，$△ APR$与$△ PRQ$相似。
【答案】
当$t$的值为$\boldsymbol{\frac{6}{5}\mathrm{s}}$或$\boldsymbol{2\mathrm{s}}$时，$△ APR$与$△ PRQ$相似。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题考查动点背景下的相似三角形分类讨论问题，易错点是忽略已有一组等角时相似的两种对应关系，出现漏解；求解后注意要结合动点的运动范围验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
本题是等边三角形背景下的动点相似问题，首先由$QR// AB$可得$∠ APR=∠ PRQ$，即$△ APR$和$△ PRQ$已有一组对应角相等，因此相似需分两种对应情况讨论：①$∠ A=∠ PQR=60°$（即小明解答的情况）；②$∠ A=∠ RPQ=60°$（即遗漏的情况）。解题时先根据等边三角形和平行线的性质求出各边关于$t$的表达式，再结合相似三角形的对应边成比例列方程求解，最后验证解是否在动点的运动时间范围内即可。
【解析】
解：小明只考虑了$△ APR∼△ RQP$的情况，还存在$△ APR∼△ RPQ$的情况，补充如下：
已知等边$△ ABC$中，$∠ A=∠ B=60°$，$AB=BC=AC=6\mathrm{cm}$，
动点运动$t\mathrm{s}$时，$AP=t\mathrm{cm}$，$BQ=2t\mathrm{cm}$，则$BP=(6-t)\mathrm{cm}$，且$0＜ t≤3$（点$Q$到达$C$时停止，$2t≤6$）。
$\because QR// AB$，$\therefore △ QRC$为等边三角形，
$\therefore QC=RC=QR=6-BQ=(6-2t)\mathrm{cm}$，
$\therefore AR=AC-RC=6-(6-2t)=2t\mathrm{cm}$，且$∠ APR=∠ PRQ$。
情况1：当$∠ PQR=∠ A=60°$时，$△ APR∼△ RQP$，
由小明的解答得$6-t=2t$，解得$t=2$，符合$0＜ t≤3$。
情况2：当$∠ RPQ=∠ A=60°$时，$△ APR∼△ RPQ$，
此时$∠ BPQ + ∠ APR=180°-∠ RPQ=120°$，
在$△ APR$中，$∠ APR + ∠ ARP=180°-∠ A=120°$，
$\therefore ∠ BPQ=∠ ARP$，
又$\because ∠ B=∠ A=60°$，$\therefore △ BQP∼△ APR$，
$\therefore \frac{BQ}{AP}=\frac{BP}{AR}$，代入得$\frac{2t}{t}=\frac{6-t}{2t}$，
化简得$2=\frac{6-t}{2t}$，解得$t=\frac{6}{5}$，符合$0＜ t≤3$。
综上，$t$为$\frac{6}{5}\mathrm{s}$或$2\mathrm{s}$时，$△ APR$与$△ PRQ$相似。
【答案】
当$t$的值为$\boldsymbol{\frac{6}{5}\mathrm{s}}$或$\boldsymbol{2\mathrm{s}}$时，$△ APR$与$△ PRQ$相似。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题考查动点背景下的相似三角形分类讨论问题，易错点是忽略已有一组等角时相似的两种对应关系，出现漏解；求解后注意要结合动点的运动范围验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
