登录
6. 如图，小轩在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20 m到达点Q时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B的底部。已知小轩的身高是1.5 m，两个路灯的高度都是9 m，则这两个路灯之间的距离是(
A.24 m
B.25 m
C.28 m
D.30 m
D
)。A.24 m
B.25 m
C.28 m
D.30 m
答案
6. D
解析
【分析】
这是一道中心投影结合相似三角形的实际应用题，解题思路如下：1. 人和路灯都垂直于地面，可得人与对应路灯平行，进而得到两组相似三角形；2. 设$AP=x\ \mathrm{m}$，$BQ=y\ \mathrm{m}$，则两路灯距离为$(x+20+y)\ \mathrm{m}$；3. 利用相似三角形对应边成比例列出两个比例式，可推出$AP=BQ$即$x=y$；4. 代入比例式解方程求出$x$，即可计算出两路灯的距离。
【解析】
设$AP=x\ \mathrm{m}$，$BQ=y\ \mathrm{m}$，则两路灯之间的距离$AB=(x+20+y)\ \mathrm{m}$。
1. 当小轩在P点时，小轩身高垂直$AB$，路灯$BD$也垂直$AB$，因此小轩身高与$BD$平行，可得小轩、$AP$构成的三角形与$△ ADB$相似，由相似三角形对应边成比例：
$\frac{\mathrm{小轩身高}}{BD}=\frac{AP}{AB}$
代入数据得：$\frac{1.5}{9}=\frac{x}{x+20+y}\quad①$
2. 当小轩在Q点时，小轩身高垂直$AB$，路灯$AC$也垂直$AB$，因此小轩身高与$AC$平行，可得小轩、$BQ$构成的三角形与$△ BCA$相似，由相似三角形对应边成比例：
$\frac{\mathrm{小轩身高}}{AC}=\frac{BQ}{AB}$
代入数据得：$\frac{1.5}{9}=\frac{y}{x+20+y}\quad②$
3. 由①②可得$x=y$，将$y=x$代入①式：
$\frac{1.5}{9}=\frac{x}{x+20+x}$
化简得$\frac{1}{6}=\frac{x}{2x+20}$，交叉相乘得$6x=2x+20$，解得$x=5$。
因此两路灯距离$AB=5+20+5=30\ \mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，中心投影
【点评】
本题属于实际应用类题型，核心是结合投影的特征构造相似三角形，利用相似三角形的边的比例关系建立方程求解，解题时注意挖掘隐含的等量关系可简化计算过程。
【难度系数】
0.7
这是一道中心投影结合相似三角形的实际应用题，解题思路如下：1. 人和路灯都垂直于地面，可得人与对应路灯平行，进而得到两组相似三角形；2. 设$AP=x\ \mathrm{m}$，$BQ=y\ \mathrm{m}$，则两路灯距离为$(x+20+y)\ \mathrm{m}$；3. 利用相似三角形对应边成比例列出两个比例式，可推出$AP=BQ$即$x=y$；4. 代入比例式解方程求出$x$，即可计算出两路灯的距离。
【解析】
设$AP=x\ \mathrm{m}$，$BQ=y\ \mathrm{m}$，则两路灯之间的距离$AB=(x+20+y)\ \mathrm{m}$。
1. 当小轩在P点时，小轩身高垂直$AB$，路灯$BD$也垂直$AB$，因此小轩身高与$BD$平行，可得小轩、$AP$构成的三角形与$△ ADB$相似，由相似三角形对应边成比例：
$\frac{\mathrm{小轩身高}}{BD}=\frac{AP}{AB}$
代入数据得：$\frac{1.5}{9}=\frac{x}{x+20+y}\quad①$
2. 当小轩在Q点时，小轩身高垂直$AB$，路灯$AC$也垂直$AB$，因此小轩身高与$AC$平行，可得小轩、$BQ$构成的三角形与$△ BCA$相似，由相似三角形对应边成比例：
$\frac{\mathrm{小轩身高}}{AC}=\frac{BQ}{AB}$
代入数据得：$\frac{1.5}{9}=\frac{y}{x+20+y}\quad②$
3. 由①②可得$x=y$，将$y=x$代入①式：
$\frac{1.5}{9}=\frac{x}{x+20+x}$
化简得$\frac{1}{6}=\frac{x}{2x+20}$，交叉相乘得$6x=2x+20$，解得$x=5$。
因此两路灯距离$AB=5+20+5=30\ \mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，中心投影
【点评】
本题属于实际应用类题型，核心是结合投影的特征构造相似三角形，利用相似三角形的边的比例关系建立方程求解，解题时注意挖掘隐含的等量关系可简化计算过程。
【难度系数】
0.7
1. 如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB//CD，AB=1.5 m，CD=4.5 m，点P到CD的距离为2.7 m，则AB与CD之间的距离是
（第1题）
1.8 m
。（第1题）答案
1. 1.8 m
解析
【分析】
本题可利用相似三角形的性质求解，首先由AB//CD可判定△PAB与△PCD相似，相似三角形对应高的比等于对应边的相似比。设AB与CD之间的距离为x m，则点P到AB的距离为(2.7 - x)m，根据相似比列方程即可求出x的值。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠PAB=∠C，∠PBA=∠D，
∴△PAB∽△PCD（两角分别相等的两个三角形相似）。
设AB与CD之间的距离为x m，则点P到AB的距离为(2.7 - x)m。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{点P到AB的距离}{点P到CD的距离}$
代入AB=1.5 m，CD=4.5 m，点P到CD的距离为2.7 m，得：
$\frac{1.5}{4.5}=\frac{2.7 - x}{2.7}$
化简得$\frac{1}{3}=\frac{2.7 - x}{2.7}$，
两边同乘2.7得：2.7 - x = 0.9，
解得x=1.8。
【答案】
1.8 m
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；中心投影的应用
【点评】
本题是相似三角形在实际投影问题中的应用，解题核心是抓住相似三角形对应高的比等于相似比这一性质建立等量关系，解题时需注意两个高的对应关系，避免搞反比例。
【难度系数】
0.8
本题可利用相似三角形的性质求解，首先由AB//CD可判定△PAB与△PCD相似，相似三角形对应高的比等于对应边的相似比。设AB与CD之间的距离为x m，则点P到AB的距离为(2.7 - x)m，根据相似比列方程即可求出x的值。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠PAB=∠C，∠PBA=∠D，
∴△PAB∽△PCD（两角分别相等的两个三角形相似）。
设AB与CD之间的距离为x m，则点P到AB的距离为(2.7 - x)m。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{点P到AB的距离}{点P到CD的距离}$
代入AB=1.5 m，CD=4.5 m，点P到CD的距离为2.7 m，得：
$\frac{1.5}{4.5}=\frac{2.7 - x}{2.7}$
化简得$\frac{1}{3}=\frac{2.7 - x}{2.7}$，
两边同乘2.7得：2.7 - x = 0.9，
解得x=1.8。
【答案】
1.8 m
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；中心投影的应用
【点评】
本题是相似三角形在实际投影问题中的应用，解题核心是抓住相似三角形对应高的比等于相似比这一性质建立等量关系，解题时需注意两个高的对应关系，避免搞反比例。
【难度系数】
0.8
2. 一天晚上,小明和小文利用灯光下的影子来测量一盏路灯 D 的高度。如图,当小明走到点 A处时,小文测得小明的身高 AM 与其影子长 AE 正好相等,接着小明沿 AC 方向继续向前走,到点 B 处时,小明的影子恰好是线段 AB,并测得 AB = 1.25 m。已知小明的身高为 1.75 m,求路灯 CD 的高。(结果精确到 0.1 m)
答案
2. 由题意可知，△EAM ∽ △ECD，△ABN ∽ △ACD。
∵ AM = AE，
∴ CD = EC。
∵ △ABN ∽ △ACD，
∴ BN/CD = AB/AC，即1.75/CD = 1.25/(CD - 1.75)。解得 CD ≈ 6.1 m。因此，路灯 CD 的高约为 6.1 m
∵ AM = AE，
∴ CD = EC。
∵ △ABN ∽ △ACD，
∴ BN/CD = AB/AC，即1.75/CD = 1.25/(CD - 1.75)。解得 CD ≈ 6.1 m。因此，路灯 CD 的高约为 6.1 m
解析
【分析】
这是利用中心投影测量高度的实际问题，解题核心是构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例建立等量关系求解。首先，AM、BN、CD都垂直于地面EC，△EAM和△ECD是共角∠E的直角三角形，因此两三角形相似；结合已知AM=AE，可推出CD与EC长度相等。其次，△ABN和△ACD是共角∠A的直角三角形，同样相似，此时将EC替换为CD，把AC表示为CD减去AE（AE等于小明身高），即可列出关于CD的方程，求解得到结果。
【解析】
设路灯CD的高度为$ x \, \mathrm{m} $。
由题意可知：$ AM ⊥ EC $，$ BN ⊥ EC $，$ CD ⊥ EC $，$ AM=AE=BN=1.75 \, \mathrm{m} $，$ AB=1.25 \, \mathrm{m} $。
1. 证明$ △ EAM ∼ △ ECD $：
$ \because ∠ E = ∠ E $，$ ∠ EAM = ∠ ECD = 90° $
$ \therefore △ EAM ∼ △ ECD $，可得$ \frac{AM}{CD} = \frac{AE}{EC} $
又$ \because AM=AE $，$ \therefore CD=EC = x \, \mathrm{m} $
2. 证明$ △ ABN ∼ △ ACD $：
$ \because ∠ BAN = ∠ CAD $，$ ∠ ABN = ∠ ACD = 90° $
$ \therefore △ ABN ∼ △ ACD $，可得$ \frac{BN}{CD} = \frac{AB}{AC} $
其中$ AC = EC - AE = x - 1.75 $，代入数值列方程：
$ \frac{1.75}{x} = \frac{1.25}{x - 1.75} $
交叉相乘解得：$ x=6.125 \approx 6.1 $
【答案】
路灯CD的高约为6.1 m
【知识点】
相似三角形的应用；中心投影；列方程解应用题
【点评】
本题结合生活中灯光投影的场景考查测高问题，解题关键是从实际场景中抽象出相似三角形模型，利用已知边的等量关系简化计算，很好地考查了数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
这是利用中心投影测量高度的实际问题，解题核心是构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例建立等量关系求解。首先，AM、BN、CD都垂直于地面EC，△EAM和△ECD是共角∠E的直角三角形，因此两三角形相似；结合已知AM=AE，可推出CD与EC长度相等。其次，△ABN和△ACD是共角∠A的直角三角形，同样相似，此时将EC替换为CD，把AC表示为CD减去AE（AE等于小明身高），即可列出关于CD的方程，求解得到结果。
【解析】
设路灯CD的高度为$ x \, \mathrm{m} $。
由题意可知：$ AM ⊥ EC $，$ BN ⊥ EC $，$ CD ⊥ EC $，$ AM=AE=BN=1.75 \, \mathrm{m} $，$ AB=1.25 \, \mathrm{m} $。
1. 证明$ △ EAM ∼ △ ECD $：
$ \because ∠ E = ∠ E $，$ ∠ EAM = ∠ ECD = 90° $
$ \therefore △ EAM ∼ △ ECD $，可得$ \frac{AM}{CD} = \frac{AE}{EC} $
又$ \because AM=AE $，$ \therefore CD=EC = x \, \mathrm{m} $
2. 证明$ △ ABN ∼ △ ACD $：
$ \because ∠ BAN = ∠ CAD $，$ ∠ ABN = ∠ ACD = 90° $
$ \therefore △ ABN ∼ △ ACD $，可得$ \frac{BN}{CD} = \frac{AB}{AC} $
其中$ AC = EC - AE = x - 1.75 $，代入数值列方程：
$ \frac{1.75}{x} = \frac{1.25}{x - 1.75} $
交叉相乘解得：$ x=6.125 \approx 6.1 $
【答案】
路灯CD的高约为6.1 m
【知识点】
相似三角形的应用；中心投影；列方程解应用题
【点评】
本题结合生活中灯光投影的场景考查测高问题，解题关键是从实际场景中抽象出相似三角形模型，利用已知边的等量关系简化计算，很好地考查了数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
3. 如图,身高1.6 m 的小新从距路灯的底部(点 O)20 m 的点 A 处沿 AO 方向行走 14 m 到点 C处。小新在 A 处时,头顶 B 在路灯投影下形成的影子在 M 处。
(1)已知灯杆垂直于路面,试标出路灯 P 的位置和小新在 C 处时头顶 D 在路灯投影下形成的影子 N 的位置。
(2)若路灯 P 距地面 8 m,小新从点 A 到点 C 时,影子的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?
(1)已知灯杆垂直于路面,试标出路灯 P 的位置和小新在 C 处时头顶 D 在路灯投影下形成的影子 N 的位置。
(2)若路灯 P 距地面 8 m,小新从点 A 到点 C 时,影子的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?
答案
3. (1) 如图
(2) 设在 A 处时影长 AM 为 x m，在 C 处时影长 CN 为 y m。由 x/(x+20) = 1.6/8，解得 x = 5；由 y/(y+6) = 1.6/8，解得 y = 1.5。
∴ x - y = 5 - 1.5 = 3.5。
∴ 影子的长度变短了，变短了 3.5 m
解析
【分析】
(1) 中心投影的光线是从点光源（路灯P）发出的直线，小新在A处时头顶B的影子为M，因此直线MB一定经过点光源P，结合灯杆垂直路面（即PO⊥OM），即可确定P的位置；再连接PD并延长交OM于点N，就是C处头顶D的影子位置。
(2) 人和路灯均垂直于地面，可得AB//PO、CD//PO，进而可证得△MAB∽△MOP、△NCD∽△NOP，利用相似三角形对应边成比例分别列方程求出两处的影长，再比较差值即可判断影子长短变化。
【解析】
(1) 作图步骤：①连接MB并延长，与过点O且垂直于OM的直线相交，交点即为路灯P的位置；②连接PD并延长，与OM相交，交点即为影子N的位置。
(2) 设在A处时影长AM为x m，在C处时影长CN为y m。
∵ AB⊥OM，PO⊥OM，
∴ AB//PO，
∴ △MAB∽△MOP，
∴ $\frac{AM}{OM}=\frac{AB}{PO}$，其中$OM=AM+OA=x+20$，$AB=1.6\mathrm{m}$，$PO=8\mathrm{m}$，
代入得：$\frac{x}{x+20}=\frac{1.6}{8}$，
解得：$x=5$。
∵ 小新沿AO方向走了14m到C处，
∴ $OC=OA-AC=20-14=6\mathrm{m}$，
同理，CD⊥OM，PO⊥OM，
∴ CD//PO，
∴ △NCD∽△NOP，
∴ $\frac{CN}{ON}=\frac{CD}{PO}$，其中$ON=CN+OC=y+6$，$CD=1.6\mathrm{m}$，
代入得：$\frac{y}{y+6}=\frac{1.6}{8}$，
解得：$y=1.5$。
∴ 影长的变化量为$x-y=5-1.5=3.5\mathrm{m}$，即影子变短了3.5m。
【答案】
(1) 如图
(2) 影子的长度变短了，变短了3.5 m
【知识点】
中心投影；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合生活中的路灯投影场景命题，既考查了中心投影的基本特征，又考查了相似三角形在实际测量问题中的应用，解题的关键是找到相似三角形，利用对应边成比例建立方程求解，能有效提升学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 中心投影的光线是从点光源（路灯P）发出的直线，小新在A处时头顶B的影子为M，因此直线MB一定经过点光源P，结合灯杆垂直路面（即PO⊥OM），即可确定P的位置；再连接PD并延长交OM于点N，就是C处头顶D的影子位置。
(2) 人和路灯均垂直于地面，可得AB//PO、CD//PO，进而可证得△MAB∽△MOP、△NCD∽△NOP，利用相似三角形对应边成比例分别列方程求出两处的影长，再比较差值即可判断影子长短变化。
【解析】
(1) 作图步骤：①连接MB并延长，与过点O且垂直于OM的直线相交，交点即为路灯P的位置；②连接PD并延长，与OM相交，交点即为影子N的位置。
(2) 设在A处时影长AM为x m，在C处时影长CN为y m。
∵ AB⊥OM，PO⊥OM，
∴ AB//PO，
∴ △MAB∽△MOP，
∴ $\frac{AM}{OM}=\frac{AB}{PO}$，其中$OM=AM+OA=x+20$，$AB=1.6\mathrm{m}$，$PO=8\mathrm{m}$，
代入得：$\frac{x}{x+20}=\frac{1.6}{8}$，
解得：$x=5$。
∵ 小新沿AO方向走了14m到C处，
∴ $OC=OA-AC=20-14=6\mathrm{m}$，
同理，CD⊥OM，PO⊥OM，
∴ CD//PO，
∴ △NCD∽△NOP，
∴ $\frac{CN}{ON}=\frac{CD}{PO}$，其中$ON=CN+OC=y+6$，$CD=1.6\mathrm{m}$，
代入得：$\frac{y}{y+6}=\frac{1.6}{8}$，
解得：$y=1.5$。
∴ 影长的变化量为$x-y=5-1.5=3.5\mathrm{m}$，即影子变短了3.5m。
【答案】
(1) 如图
(2) 影子的长度变短了，变短了3.5 m
【知识点】
中心投影；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合生活中的路灯投影场景命题，既考查了中心投影的基本特征，又考查了相似三角形在实际测量问题中的应用，解题的关键是找到相似三角形，利用对应边成比例建立方程求解，能有效提升学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
