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【例1】(1)下列关于$x$的方程:①$ax^2+bx+c=0$;②$\frac{3}{x}+x^2-1=0$;③$2x^2 -x +2=0$;④$4x-1=0$;⑤$x-2y=1$.其中是一元二次方程的是
(2)把方程$(3x+1)^2 -2x=0$化成一元二次方程的一般形式为
③
(填序号).(2)把方程$(3x+1)^2 -2x=0$化成一元二次方程的一般形式为
$9x^2+4x+1=0$
,它的二次项系数为9
,一次项系数为4
,常数项为1
.答案
(1) ③
(2) $9x^2+4x+1=0$，二次项系数9，一次项系数4，常数项1
(2) $9x^2+4x+1=0$，二次项系数9，一次项系数4，常数项1
【变式】若关于$x$的方程$(m+1)x^{|2m|}+2mx-3=0$是一元二次方程，则$m$的值为（
A.任意实数
B.1或−1
C.1
D.−1
C
）A.任意实数
B.1或−1
C.1
D.−1
答案
C
【例2】已知关于x的一元二次方程$x^2 + 2x + a = 0$有一个根是-3，则a的值是
−3
。答案
−3
【变式】(2025株洲期末)已知$a$为方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$的一个根，求代数式$(a + 1)(a - 1) + 3a(a - 2)$的值。
答案
解:
∵$a$ 是方程 $2x^2−3x+1=0$ 的一个根，
∴$2a^2−3a+1=0$，
∴$2a^2−3a=−1$，
∴$(a+1)(a−1)+3a(a−2)=a^2−1+3a^2−6a=4a^2−6a−1=2(2a^2−3a)−1=2×(−1)−1=−3.$
∵$a$ 是方程 $2x^2−3x+1=0$ 的一个根，
∴$2a^2−3a+1=0$，
∴$2a^2−3a=−1$，
∴$(a+1)(a−1)+3a(a−2)=a^2−1+3a^2−6a=4a^2−6a−1=2(2a^2−3a)−1=2×(−1)−1=−3.$
【例3】根据下列问题列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式.
(1)一个矩形的长比宽多1 cm，面积是132 cm²，求该矩形的宽x.
(2)有一根1 m长的铁丝，用它围成一个面积为0.06 m²的矩形，求该矩形的长x.
(1)一个矩形的长比宽多1 cm，面积是132 cm²，求该矩形的宽x.
(2)有一根1 m长的铁丝，用它围成一个面积为0.06 m²的矩形，求该矩形的长x.
答案
解:(1)$x(x+1)=132$,
化成一般形式为 $x^2+x−132=0.$
(2)$x(0.5−x)=0.06$,
化成一般形式为 $x^2−0.5x+0.06=0.$
化成一般形式为 $x^2+x−132=0.$
(2)$x(0.5−x)=0.06$,
化成一般形式为 $x^2−0.5x+0.06=0.$
【变式】把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.根据此问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
$x^2−3x+1=0$
.答案
$x^2−3x+1=0$
