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1.如图所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和均相等，则a的值是 （
A.－1
B.0
C.1
D.2
第1题图
A
）A.－1
B.0
C.1
D.2
第1题图
答案
1. A
解析
【分析】
解决本题首先要利用三阶幻方的性质：每行、每列、每条对角线的三个数之和相等。首先观察给出的幻方，第二行的三个数全是已知数，因此可以先算出这个相等的和（即幻和）；再看未知数a位于第二列，第二列已知两个数13和6，根据第二列三个数的和等于幻和，列出等式即可求出a的值。
【解析】
第一步：计算幻和。由第二行的三个数5、6、7可得，幻和为：$5+6+7=18$。
第二步：根据第二列的和等于幻和列等式。第二列的三个数为13、6、a，因此有：$13+6+a=18$。
第三步：解方程求a：$a=18-13-6=-1$。
【答案】
A
【知识点】
三阶幻方性质，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题，解题的突破口是先从全为已知数的行求出幻和，再结合未知数所在的列的和与幻和相等建立等式计算，熟练掌握幻方的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要利用三阶幻方的性质：每行、每列、每条对角线的三个数之和相等。首先观察给出的幻方，第二行的三个数全是已知数，因此可以先算出这个相等的和（即幻和）；再看未知数a位于第二列，第二列已知两个数13和6，根据第二列三个数的和等于幻和，列出等式即可求出a的值。
【解析】
第一步：计算幻和。由第二行的三个数5、6、7可得，幻和为：$5+6+7=18$。
第二步：根据第二列的和等于幻和列等式。第二列的三个数为13、6、a，因此有：$13+6+a=18$。
第三步：解方程求a：$a=18-13-6=-1$。
【答案】
A
【知识点】
三阶幻方性质，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题，解题的突破口是先从全为已知数的行求出幻和，再结合未知数所在的列的和与幻和相等建立等式计算，熟练掌握幻方的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2.有一个三阶幻方如图所示，a 的值是 （
A.6
B.12
C.18
D.24
C
）A.6
B.12
C.18
D.24
答案
2. C
解析
【分析】
解决本题需要用到三阶幻方的核心性质：一是每行、每列、每条对角线的和（称为幻和）都相等；二是过中心的直线上，两端两个数的和等于2倍中心数（由幻和=3×中心数推导可得：两端和=幻和-中心数=3×中心数-中心数=2×中心数）。解题时先利用中心数4和第二行第一个数6求出第二行第三个数，得到幻和，再利用中心数和第三行第一个数16求出第一行第三个数，最后根据第三列的和等于幻和列方程计算a的值即可。
【解析】
解：设第二行第三个数为$ x $，第一行第三个数为$ y $。
根据三阶幻方过中心的直线两端数和为2倍中心数，可得：
$ 6 + x = 2 × 4 $
解得$ x = 2 $
因此幻和为第二行三个数的和：$ 6 + 4 + 2 = 12 $
再看从左下角16到右上角$ y $的对角线过中心4，可得：
$ 16 + y = 2 × 4 $
解得$ y = -8 $
第三列的和等于幻和12，因此：
$ y + x + a = 12 $
代入$ y=-8 $、$ x=2 $得：
$ -8 + 2 + a = 12 $
解得$ a = 18 $
【答案】
C
【知识点】
三阶幻方性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于三阶幻方的基础应用类题目，解题的关键是掌握幻和与中心数的关系，通过设未知数列方程逐步求解，既考查对幻方性质的理解，也考查一元一次方程的计算能力。
【难度系数】
0.7
解决本题需要用到三阶幻方的核心性质：一是每行、每列、每条对角线的和（称为幻和）都相等；二是过中心的直线上，两端两个数的和等于2倍中心数（由幻和=3×中心数推导可得：两端和=幻和-中心数=3×中心数-中心数=2×中心数）。解题时先利用中心数4和第二行第一个数6求出第二行第三个数，得到幻和，再利用中心数和第三行第一个数16求出第一行第三个数，最后根据第三列的和等于幻和列方程计算a的值即可。
【解析】
解：设第二行第三个数为$ x $，第一行第三个数为$ y $。
根据三阶幻方过中心的直线两端数和为2倍中心数，可得：
$ 6 + x = 2 × 4 $
解得$ x = 2 $
因此幻和为第二行三个数的和：$ 6 + 4 + 2 = 12 $
再看从左下角16到右上角$ y $的对角线过中心4，可得：
$ 16 + y = 2 × 4 $
解得$ y = -8 $
第三列的和等于幻和12，因此：
$ y + x + a = 12 $
代入$ y=-8 $、$ x=2 $得：
$ -8 + 2 + a = 12 $
解得$ a = 18 $
【答案】
C
【知识点】
三阶幻方性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于三阶幻方的基础应用类题目，解题的关键是掌握幻和与中心数的关系，通过设未知数列方程逐步求解，既考查对幻方性质的理解，也考查一元一次方程的计算能力。
【难度系数】
0.7
3.如图所示，在三阶幻方中填写了一些数和字母，试求$x - y$的值. 
答案
3. 解：－3.
解析
【分析】解决本题需用到三阶幻方的核心性质：每行、每列、每条对角线上的三个数之和（即幻和）相等，且幻和是中间数的3倍。我们可以先由中间数求出幻和，再利用对角线的和求出x的值，接着依次计算各空格的数值，最终得到y的值，代入即可求出x-y的结果。
【解析】
解：
∵ 三阶幻方的幻和等于中间数的3倍，中间数为1，
∴ 幻和 = 3×1 = 3。
观察左上到右下的对角线，三个数的和等于幻和：
-3 + 1 + x = 3
解得 x = 5。
设第二行第一个数为a，第一列三个数的和等于幻和：
-3 + a + 4 = 3
解得 a = 2。
设第二行第三个数为b，第二行三个数的和等于幻和：
2 + 1 + b = 3
解得 b = 0。
设第一行第三个数为c，第三列三个数的和等于幻和：
c + 0 + 5 = 3
解得 c = -2。
第一行三个数的和等于幻和：
-3 + y + (-2) = 3
解得 y = 8。
∴ x - y = 5 - 8 = -3。
【答案】
-3
【知识点】
三阶幻方性质；一元一次方程求解；代数式求值
【点评】
本题考查三阶幻方性质的应用，解题时既可以逐步计算每个未知量的值求解，也可以通过行列和的关系整体推导x与y的差，不需要单独求出x、y的具体数值，能够锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
【解析】
解：
∵ 三阶幻方的幻和等于中间数的3倍，中间数为1，
∴ 幻和 = 3×1 = 3。
观察左上到右下的对角线，三个数的和等于幻和：
-3 + 1 + x = 3
解得 x = 5。
设第二行第一个数为a，第一列三个数的和等于幻和：
-3 + a + 4 = 3
解得 a = 2。
设第二行第三个数为b，第二行三个数的和等于幻和：
2 + 1 + b = 3
解得 b = 0。
设第一行第三个数为c，第三列三个数的和等于幻和：
c + 0 + 5 = 3
解得 c = -2。
第一行三个数的和等于幻和：
-3 + y + (-2) = 3
解得 y = 8。
∴ x - y = 5 - 8 = -3。
【答案】
-3
【知识点】
三阶幻方性质；一元一次方程求解；代数式求值
【点评】
本题考查三阶幻方性质的应用，解题时既可以逐步计算每个未知量的值求解，也可以通过行列和的关系整体推导x与y的差，不需要单独求出x、y的具体数值，能够锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
4.完成两个三阶幻方的填写，并试着说明理由. 
答案
4. 解：第1个图由中心数可先填上面中间和右上角方格中的数，再填左上角和右下角的数，最后填剩下的两个，第2个图可先填中心数，再填上面中间和左上角的数，最后填剩下的三个数。
解析
【分析】
解决三阶幻方问题首先要牢记三阶幻方的核心性质：1.每行、每列、两条对角线上的三个数之和（称为幻和）全部相等；2.幻和等于中心数的3倍。解题时先找突破口：第一个幻方已给出中心数，可先算出幻和，再依次找已有两个数的行、列或对角线，计算出第三个数，逐步填满所有空格；第二个幻方给出了一条对角线的两个端点，可利用对角线和等于3倍中心数的关系列方程先求出中心数，再计算幻和，后续逐步推导其余空格的数值即可。
【解析】
我们先明确三阶幻方的基本规则：每行、每列、对角线的三数之和相等，且该和（幻和）=3×中心数。
第一个幻方填写步骤：
1. 已知中心数为6，因此幻和=3×6=18；
2. 看第二列：已有数6、2，因此第一行第二列的数=18-6-2=10；
3. 看第三行：已有数7、2，因此第三行第三列的数=18-7-2=9；
4. 看右上到左下的对角线：已有数7（左下角）、6（中心），因此第一行第三列的数=18-7-6=5；
5. 看第一行：已有数10、5，因此第一行第一列的数=18-10-5=3；
6. 看第一列：已有数3、7，因此第二行第一列的数=18-3-7=8；
7. 看第二行：已有数8、6，因此第二行第三列的数=18-8-6=4，全部空格填写完毕。
第二个幻方填写步骤：
1. 设中心数为$x$，则幻和为$3x$。观察右上到左下的对角线，三个数为-4、$x$、2，和为幻和，列方程：$-4 + x + 2 = 3x$，解得$x=-1$，即中心数为-1，幻和=3×(-1)=-3；
2. 看第三行：已有数2、-5，因此第三行第三列的数=-3-2-(-5)=0；
3. 看第二列：已有数-1（中心）、-5，因此第一行第二列的数=-3-(-1)-(-5)=3；
4. 看第一行：已有数3、-4，因此第一行第一列的数=-3-3-(-4)=-2；
5. 看第一列：已有数-2、2，因此第二行第一列的数=-3-(-2)-2=-3；
6. 看第二行：已有数-3、-1，因此第二行第三列的数=-3-(-3)-(-1)=1，全部空格填写完毕。
【答案】
【知识点】
三阶幻方性质，有理数加减运算，一元一次方程应用
【点评】
本题核心考察三阶幻方性质的灵活应用，解题的关键是先确定中心数或幻和作为突破口，再逐步推导剩余数值，能够锻炼逻辑推理能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.6
解决三阶幻方问题首先要牢记三阶幻方的核心性质：1.每行、每列、两条对角线上的三个数之和（称为幻和）全部相等；2.幻和等于中心数的3倍。解题时先找突破口：第一个幻方已给出中心数，可先算出幻和，再依次找已有两个数的行、列或对角线，计算出第三个数，逐步填满所有空格；第二个幻方给出了一条对角线的两个端点，可利用对角线和等于3倍中心数的关系列方程先求出中心数，再计算幻和，后续逐步推导其余空格的数值即可。
【解析】
我们先明确三阶幻方的基本规则：每行、每列、对角线的三数之和相等，且该和（幻和）=3×中心数。
第一个幻方填写步骤：
1. 已知中心数为6，因此幻和=3×6=18；
2. 看第二列：已有数6、2，因此第一行第二列的数=18-6-2=10；
3. 看第三行：已有数7、2，因此第三行第三列的数=18-7-2=9；
4. 看右上到左下的对角线：已有数7（左下角）、6（中心），因此第一行第三列的数=18-7-6=5；
5. 看第一行：已有数10、5，因此第一行第一列的数=18-10-5=3；
6. 看第一列：已有数3、7，因此第二行第一列的数=18-3-7=8；
7. 看第二行：已有数8、6，因此第二行第三列的数=18-8-6=4，全部空格填写完毕。
第二个幻方填写步骤：
1. 设中心数为$x$，则幻和为$3x$。观察右上到左下的对角线，三个数为-4、$x$、2，和为幻和，列方程：$-4 + x + 2 = 3x$，解得$x=-1$，即中心数为-1，幻和=3×(-1)=-3；
2. 看第三行：已有数2、-5，因此第三行第三列的数=-3-2-(-5)=0；
3. 看第二列：已有数-1（中心）、-5，因此第一行第二列的数=-3-(-1)-(-5)=3；
4. 看第一行：已有数3、-4，因此第一行第一列的数=-3-3-(-4)=-2；
5. 看第一列：已有数-2、2，因此第二行第一列的数=-3-(-2)-2=-3；
6. 看第二行：已有数-3、-1，因此第二行第三列的数=-3-(-3)-(-1)=1，全部空格填写完毕。
【答案】
【知识点】
三阶幻方性质，有理数加减运算，一元一次方程应用
【点评】
本题核心考察三阶幻方性质的灵活应用，解题的关键是先确定中心数或幻和作为突破口，再逐步推导剩余数值，能够锻炼逻辑推理能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.6
5.将－10，－8，－6，－5，－3，－1，0，2，4这九个数填入方格里，使之成为幻方.
答案
5. 填法不唯一
解析
【分析】
要完成三阶幻方，首先要明确三阶幻方的核心特征：每行、每列、两条对角线上的三个数之和均相等。我们可以按以下思路推导：第一步先计算给出的9个有理数的总和，因为总和等于三行的和相加，所以用总和除以3就能得到每行的和（即幻和）；第二步，三阶幻方的中间数等于幻和除以3，先确定中间格的数字；第三步，剩余的8个数可以两两配对，每对的和等于幻和减去中间数，将每对数填在关于中间格对称的位置，最后调整位置验证所有行、列、对角线的和都等于幻和即可，填法不唯一。
【解析】
1. 计算9个数的总和：
$\begin{aligned}&(-10)+(-8)+(-6)+(-5)+(-3)+(-1)+0+2+4\\=&(-10-8-6-5-3-1)+(0+2+4)\\=&-33+6\\=&-27\end{aligned}$
2. 计算幻和（每行、每列、对角线的和）：
幻和 = $-27÷3=-9$
3. 确定中间格数字：
三阶幻方中间数 = 幻和$÷3=-9÷3=-3$，先将-3填入正中间方格。
4. 配对剩余数字：剩余数字两两之和需为$-9 - (-3)=-6$，可得数对：$(-8,2)$、$(-6,0)$、$(-5,-1)$、$(4,-10)$。
5. 将每对数填在关于中间格对称的位置，调整后验证所有行、列、对角线的和均为-9即可，填法不唯一。
【答案】
填法不唯一
【知识点】
三阶幻方性质，有理数加法运算，数的配对
【点评】
本题需要结合幻方的特征和有理数加法运算解题，核心是先求出幻和与中间数，再通过对称配对的方式填数，答案不唯一，能很好地锻炼逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
要完成三阶幻方，首先要明确三阶幻方的核心特征：每行、每列、两条对角线上的三个数之和均相等。我们可以按以下思路推导：第一步先计算给出的9个有理数的总和，因为总和等于三行的和相加，所以用总和除以3就能得到每行的和（即幻和）；第二步，三阶幻方的中间数等于幻和除以3，先确定中间格的数字；第三步，剩余的8个数可以两两配对，每对的和等于幻和减去中间数，将每对数填在关于中间格对称的位置，最后调整位置验证所有行、列、对角线的和都等于幻和即可，填法不唯一。
【解析】
1. 计算9个数的总和：
$\begin{aligned}&(-10)+(-8)+(-6)+(-5)+(-3)+(-1)+0+2+4\\=&(-10-8-6-5-3-1)+(0+2+4)\\=&-33+6\\=&-27\end{aligned}$
2. 计算幻和（每行、每列、对角线的和）：
幻和 = $-27÷3=-9$
3. 确定中间格数字：
三阶幻方中间数 = 幻和$÷3=-9÷3=-3$，先将-3填入正中间方格。
4. 配对剩余数字：剩余数字两两之和需为$-9 - (-3)=-6$，可得数对：$(-8,2)$、$(-6,0)$、$(-5,-1)$、$(4,-10)$。
5. 将每对数填在关于中间格对称的位置，调整后验证所有行、列、对角线的和均为-9即可，填法不唯一。
【答案】
填法不唯一
【知识点】
三阶幻方性质，有理数加法运算，数的配对
【点评】
本题需要结合幻方的特征和有理数加法运算解题，核心是先求出幻和与中间数，再通过对称配对的方式填数，答案不唯一，能很好地锻炼逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
