例 2 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$ 的垂直平分线 $EF$，与边 $AD$，$BC$ 分别交于 $E$，$F$. 求证：四边形 $AFCE$ 是菱形.

证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OA=OC（平行四边形对角线互相平分）。
∴∠OAE=∠OCF（两直线平行，内错角相等）。
∵EF垂直平分AC，
∴∠AOE=∠COF=90°，OA=OC。
在△AOE和△COF中，
∠OAE=∠OCF，OA=OC，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA）。
∴OE=OF。
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。

例 3 如图，在 $□ ABCD$ 中，$O$ 为线段 $AD$ 的中点，延长 $BO$ 交 $CD$ 的延长线于点 $E$，连接 $AE$，$BD$，$∠ BDC = 90°$.
(1) 求证：四边形 $ABDE$ 是矩形.
(2) 连接 $OC$，若 $AB = 2$，$BD = 2\sqrt{2}$，求 $OC$ 的长.

(1) 见证明；(2) $\sqrt{11}$。

(1) 证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$，
∴$∠ ABO=∠ DEO$，$∠ BAO=∠ EDO$。
∵$O$为$AD$中点，∴$AO=DO$。
在$△ AOB$和$△ DOE$中，
$\begin{cases}∠ ABO=∠ DEO\\∠ BAO=∠ EDO\\AO=DO\end{cases}$，
∴$△ AOB≌△ DOE(AAS)$，
∴$AB=DE$，$BO=EO$。
∵$AB// CD$，$E$在$CD$延长线上，
∴$AB// DE$，又$AB=DE$，
∴四边形$ABDE$是平行四边形。
∵$∠ BDC=90°$，$AB// CD$，
∴$∠ ABD=∠ BDC=90°$，
∴平行四边形$ABDE$是矩形。
(2) ∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$CD=AB=2$。
∵$∠ BDC=90°$，$BD=2\sqrt{2}$，
∴在$Rt△ BDC$中，$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+2^2}=\sqrt{8+4}=2\sqrt{3}$，
∴$AD=BC=2\sqrt{3}$。
∵$O$为$AD$中点，∴$OD=\frac{1}{2}AD=\sqrt{3}$。
以$D$为原点，$DC$所在直线为$x$轴，$DB$所在直线为$y$轴建立坐标系，
则$D(0,0)$，$C(2,0)$，$B(0,2\sqrt{2})$，$A(-2,2\sqrt{2})$，
∴$O$为$AD$中点，坐标为$(\frac{-2+0}{2},\frac{2\sqrt{2}+0}{2})=(-1,\sqrt{2})$，
∴$OC=\sqrt{(2-(-1))^2+(0-\sqrt{2})^2}=\sqrt{3^2+(-\sqrt{2})^2}=\sqrt{9+2}=\sqrt{11}$。

1. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 是对角线 $BD$ 上不同的两点，连接 $AE$，$CE$，$AF$，$CF$. 下列条件中，不能得出四边形 $AECF$ 一定是平行四边形的为()


A.$BE = DF$
B.$AE = CF$
C.$AF // CE$
D.$∠ BAE = ∠ DCF$

1. B

2. 下列命题正确的是()

A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.一组邻边相等的矩形是正方形

2. D

3. 如图，$ABCD$ 是平行四边形，$P$ 是 $CD$ 上一点，且 $AP$ 和 $BP$ 分别平分 $∠ DAB$ 和 $∠ CBA$.
(1) 求 $∠ APB$ 的度数；
(2) 如果 $AD = 5\ cm$，$AP = 8\ cm$，求 $△ APB$ 的周长.

3. (1) $ 90° $ (2) $ 24 \mathrm{ cm} $