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一、选择题
1. 若计算$\sqrt{12}×m$的结果为正整数，则$m$的值可以是(
A.$1$
B.$2$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
1. 若计算$\sqrt{12}×m$的结果为正整数，则$m$的值可以是(
D
).A.$1$
B.$2$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
1. D
解析
$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，$\sqrt{12} × \sqrt{3} = 2\sqrt{3} × \sqrt{3} = 2 × 3 = 6$，结果为正整数，所以$m$的值可以是$\sqrt{3}$。
D
D
2. 下列二次根式是最简二次根式的是(
A.$\sqrt{52x}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
C.$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
D.$\sqrt{x^{2}-2xy+y^{2}}$
C
).A.$\sqrt{52x}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
C.$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
D.$\sqrt{x^{2}-2xy+y^{2}}$
答案
2. C
解析
【分析】
要判断一个二次根式是否为最简二次根式，需紧扣两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们可以逐个分析选项，验证是否满足这两个条件：
1. 对于选项A，先对被开方数的整数部分分解因数，查看是否有能开尽方的因数；
2. 选项B的被开方数是分数，直接不符合“不含分母”的条件；
3. 选项C的被开方数$x^2+y^2$无法分解成平方形式，也不含分母，需确认是否满足两个条件；
4. 选项D的被开方数是完全平方式，能开尽方，不符合条件。
【解析】
根据最简二次根式的定义逐一判断：
选项A：$\sqrt{52x}=\sqrt{4×13x}=2\sqrt{13x}$，被开方数含有能开得尽方的因数$4$，不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数含有分母，不是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，被开方数不含分母，且$x^2+y^2$不能分解为能开得尽方的因式，符合最简二次根式的定义；
选项D：$\sqrt{x^{2}-2xy+y^{2}}=\sqrt{(x-y)^2}=|x-y|$，被开方数含有能开得尽方的因式$(x-y)^2$，不是最简二次根式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式的定义
【点评】
本题主要考查最简二次根式的判断，解题关键是牢记最简二次根式的两个核心条件，对每个选项的被开方数进行因数或因式分解，逐一排查即可得出答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断一个二次根式是否为最简二次根式，需紧扣两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们可以逐个分析选项，验证是否满足这两个条件：
1. 对于选项A，先对被开方数的整数部分分解因数，查看是否有能开尽方的因数；
2. 选项B的被开方数是分数，直接不符合“不含分母”的条件；
3. 选项C的被开方数$x^2+y^2$无法分解成平方形式，也不含分母，需确认是否满足两个条件；
4. 选项D的被开方数是完全平方式，能开尽方，不符合条件。
【解析】
根据最简二次根式的定义逐一判断：
选项A：$\sqrt{52x}=\sqrt{4×13x}=2\sqrt{13x}$，被开方数含有能开得尽方的因数$4$，不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数含有分母，不是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，被开方数不含分母，且$x^2+y^2$不能分解为能开得尽方的因式，符合最简二次根式的定义；
选项D：$\sqrt{x^{2}-2xy+y^{2}}=\sqrt{(x-y)^2}=|x-y|$，被开方数含有能开得尽方的因式$(x-y)^2$，不是最简二次根式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式的定义
【点评】
本题主要考查最简二次根式的判断，解题关键是牢记最简二次根式的两个核心条件，对每个选项的被开方数进行因数或因式分解，逐一排查即可得出答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 把$\sqrt{\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}}$化简成最简二次根式，得(
A.$\sqrt{\dfrac{1}{20}}$
B.$\dfrac{1}{10}\sqrt{5}$
C.$\dfrac{\sqrt{20}}{20}$
D.$\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{5}}$
B
).A.$\sqrt{\dfrac{1}{20}}$
B.$\dfrac{1}{10}\sqrt{5}$
C.$\dfrac{\sqrt{20}}{20}$
D.$\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{5}}$
答案
3. B
解析
$\begin{aligned}\sqrt{\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}}&=\sqrt{\dfrac{5}{20}-\dfrac{4}{20}}\\&=\sqrt{\dfrac{1}{20}}\\&=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{20}}\\&=\dfrac{1}{2\sqrt{5}}\\&=\dfrac{\sqrt{5}}{2×5}\\&=\dfrac{\sqrt{5}}{10}\end{aligned}$
B
B
二、填空题
4. 已知$a ＜ b$，化简二次根式$\sqrt{-2a^{2}b}$的结果是
4. 已知$a ＜ b$，化简二次根式$\sqrt{-2a^{2}b}$的结果是
$-a\sqrt{-2b}$
.答案
4. $-a\sqrt{-2b}$
解析
【分析】
要化简二次根式$\sqrt{-2a^{2}b}$，需按以下思路分析：
1. 先根据二次根式有意义的条件确定字母符号：二次根式被开方数必须非负，即$-2a^2b≥0$；
2. 结合$a^2≥0$、$2＞0$，可推出$-b≥0$，即$b≤0$；
3. 再结合已知$a＜b$，可得$a＜b≤0$，即$a$为负数，$b$为非正数；
4. 最后利用二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，结合$a$的符号去掉绝对值符号完成化简。
【解析】
1. 确定二次根式有意义的条件：
$\because \sqrt{-2a^2b}$是二次根式，
$\therefore -2a^2b≥0$。
$\because a^2≥0$，$2＞0$，
$\therefore -b≥0$，即$b≤0$。
2. 结合$a＜b$分析$a$的符号：
$\because a＜b$且$b≤0$，
$\therefore a＜b≤0$，即$a＜0$。
3. 化简二次根式：
$\sqrt{-2a^2b}=\sqrt{a^2·(-2b)}=|a|·\sqrt{-2b}$，
$\because a＜0$，$\therefore |a|=-a$，
$\therefore$原式$=-a\sqrt{-2b}$。
【答案】
$-a\sqrt{-2b}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式有意义条件、绝对值性质
【点评】
本题考查二次根式性质与化简的综合应用，解题关键是通过二次根式有意义条件和已知不等式准确判断字母符号，再结合绝对值与二次根式性质完成化简，需注意符号处理的准确性，避免出错。
【难度系数】
0.4
要化简二次根式$\sqrt{-2a^{2}b}$，需按以下思路分析：
1. 先根据二次根式有意义的条件确定字母符号：二次根式被开方数必须非负，即$-2a^2b≥0$；
2. 结合$a^2≥0$、$2＞0$，可推出$-b≥0$，即$b≤0$；
3. 再结合已知$a＜b$，可得$a＜b≤0$，即$a$为负数，$b$为非正数；
4. 最后利用二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，结合$a$的符号去掉绝对值符号完成化简。
【解析】
1. 确定二次根式有意义的条件：
$\because \sqrt{-2a^2b}$是二次根式，
$\therefore -2a^2b≥0$。
$\because a^2≥0$，$2＞0$，
$\therefore -b≥0$，即$b≤0$。
2. 结合$a＜b$分析$a$的符号：
$\because a＜b$且$b≤0$，
$\therefore a＜b≤0$，即$a＜0$。
3. 化简二次根式：
$\sqrt{-2a^2b}=\sqrt{a^2·(-2b)}=|a|·\sqrt{-2b}$，
$\because a＜0$，$\therefore |a|=-a$，
$\therefore$原式$=-a\sqrt{-2b}$。
【答案】
$-a\sqrt{-2b}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式有意义条件、绝对值性质
【点评】
本题考查二次根式性质与化简的综合应用，解题关键是通过二次根式有意义条件和已知不等式准确判断字母符号，再结合绝对值与二次根式性质完成化简，需注意符号处理的准确性，避免出错。
【难度系数】
0.4
5. 把$m\sqrt{-\dfrac{1}{m}}$根号外的因式移到根号内，结果为
$-\sqrt{-m}$
.答案
5. $-\sqrt{-m}$
解析
要使$m\sqrt{-\dfrac{1}{m}}$有意义，则$-\dfrac{1}{m} ＞ 0$，即$m ＜ 0$。
$m\sqrt{-\dfrac{1}{m}} = -|m|\sqrt{-\dfrac{1}{m}} = -\sqrt{|m|^2 · (-\dfrac{1}{m})} = -\sqrt{m^2 · (-\dfrac{1}{m})} = -\sqrt{-m}$
$-\sqrt{-m}$
$m\sqrt{-\dfrac{1}{m}} = -|m|\sqrt{-\dfrac{1}{m}} = -\sqrt{|m|^2 · (-\dfrac{1}{m})} = -\sqrt{m^2 · (-\dfrac{1}{m})} = -\sqrt{-m}$
$-\sqrt{-m}$
6. 一个长方体的长为$2\sqrt{6}\ {cm}$，宽为$\sqrt{2}\ {cm}$，体积为$12\ {cm^{3}}$，则它的高为
$\sqrt{3}$
${cm}$.答案
6. $\sqrt{3}$
解析
设长方体的高为$h\ \mathrm{cm}$。
长方体体积公式为$V = 长×宽×高$，已知长为$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$，宽为$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，体积$V = 12\ \mathrm{cm}^3$，则：
$2\sqrt{6} × \sqrt{2} × h = 12$
计算$2\sqrt{6} × \sqrt{2}$：
$2\sqrt{6 × 2} = 2\sqrt{12} = 2× 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
则$4\sqrt{3}h = 12$，解得：
$h = \frac{12}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
$\sqrt{3}$
长方体体积公式为$V = 长×宽×高$，已知长为$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$，宽为$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，体积$V = 12\ \mathrm{cm}^3$，则：
$2\sqrt{6} × \sqrt{2} × h = 12$
计算$2\sqrt{6} × \sqrt{2}$：
$2\sqrt{6 × 2} = 2\sqrt{12} = 2× 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
则$4\sqrt{3}h = 12$，解得：
$h = \frac{12}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
$\sqrt{3}$
三、解答题
7. 计算：
（1）$\dfrac{4}{3\sqrt{6}}$；
（2）$\dfrac{1}{4}\sqrt{3}÷ 5\sqrt{2}×2\sqrt{12}$.
7. 计算：
（1）$\dfrac{4}{3\sqrt{6}}$；
（2）$\dfrac{1}{4}\sqrt{3}÷ 5\sqrt{2}×2\sqrt{12}$.
答案
7. (1) $\dfrac{2\sqrt{6}}{9}$ (2) $\dfrac{3\sqrt{2}}{10}$
解析
（1）$\dfrac{4}{3\sqrt{6}}=\dfrac{4\sqrt{6}}{3×6}=\dfrac{4\sqrt{6}}{18}=\dfrac{2\sqrt{6}}{9}$；
（2）$\dfrac{1}{4}\sqrt{3}÷5\sqrt{2}×2\sqrt{12}=\dfrac{1}{4}\sqrt{3}×\dfrac{1}{5\sqrt{2}}×2×2\sqrt{3}=\dfrac{1}{4}×\dfrac{1}{5}×4×\sqrt{\dfrac{3}{2}}×\sqrt{3}=\dfrac{1}{5}×\sqrt{\dfrac{9}{2}}=\dfrac{1}{5}×\dfrac{3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{10}$
（2）$\dfrac{1}{4}\sqrt{3}÷5\sqrt{2}×2\sqrt{12}=\dfrac{1}{4}\sqrt{3}×\dfrac{1}{5\sqrt{2}}×2×2\sqrt{3}=\dfrac{1}{4}×\dfrac{1}{5}×4×\sqrt{\dfrac{3}{2}}×\sqrt{3}=\dfrac{1}{5}×\sqrt{\dfrac{9}{2}}=\dfrac{1}{5}×\dfrac{3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{10}$
