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9. 如图6-2-9，已知在四边形ABCD中，AD=BC，∠D=∠DCE.求证：四边形ABCD是平行四边形.
答案
证明：
∵ ∠D = ∠DCE，
∴ AD // BC（内错角相等，两直线平行）。
又∵ AD = BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵ ∠D = ∠DCE，
∴ AD // BC（内错角相等，两直线平行）。
又∵ AD = BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
10. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是()
答案
D
解析
根据平行四边形的判定定理逐一分析：
选项A：计算第四个内角为$360° - 100° - 80° - 110°=70°$，无两组对角相等或对边平行的判定条件，无法确定为平行四边形。
选项B：仅一组邻角互补（一组对边平行），无法确定另一组对边平行，不能判定为平行四边形。
选项C：仅三边为5，无法确定第四边长度，不能判定两组对边分别相等，不是平行四边形。
选项D：邻角$70°$与$110°$互补，说明一组对边平行，且该组对边长度均为5（平行且相等），符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定，故一定为平行四边形。
选项A：计算第四个内角为$360° - 100° - 80° - 110°=70°$，无两组对角相等或对边平行的判定条件，无法确定为平行四边形。
选项B：仅一组邻角互补（一组对边平行），无法确定另一组对边平行，不能判定为平行四边形。
选项C：仅三边为5，无法确定第四边长度，不能判定两组对边分别相等，不是平行四边形。
选项D：邻角$70°$与$110°$互补，说明一组对边平行，且该组对边长度均为5（平行且相等），符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定，故一定为平行四边形。
11. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-3，0)，B(2，0)，C(1，3)，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是.
答案
$(-2,-3)$、$(-4,3)$、$(6,3)$
解析
分三种情况，根据平行四边形对角线互相平分（中点重合）求解：
1. 当AB为对角线时：
AB中点为$(\frac{-3+2}{2},\frac{0+0}{2})=(-0.5,0)$，设$D(x,y)$，则CD中点$(\frac{1+x}{2},\frac{3+y}{2})=(-0.5,0)$，解得$x=-2$，$y=-3$，即$D(-2,-3)$；
2. 当AC为对角线时：
AC中点为$(\frac{-3+1}{2},\frac{0+3}{2})=(-1,1.5)$，设$D(x,y)$，则BD中点$(\frac{2+x}{2},\frac{0+y}{2})=(-1,1.5)$，解得$x=-4$，$y=3$，即$D(-4,3)$；
3. 当BC为对角线时：
BC中点为$(\frac{2+1}{2},\frac{0+3}{2})=(1.5,1.5)$，设$D(x,y)$，则AD中点$(\frac{-3+x}{2},\frac{0+y}{2})=(1.5,1.5)$，解得$x=6$，$y=3$，即$D(6,3)$。
综上，点D的坐标为$(-2,-3)$、$(-4,3)$、$(6,3)$。
1. 当AB为对角线时：
AB中点为$(\frac{-3+2}{2},\frac{0+0}{2})=(-0.5,0)$，设$D(x,y)$，则CD中点$(\frac{1+x}{2},\frac{3+y}{2})=(-0.5,0)$，解得$x=-2$，$y=-3$，即$D(-2,-3)$；
2. 当AC为对角线时：
AC中点为$(\frac{-3+1}{2},\frac{0+3}{2})=(-1,1.5)$，设$D(x,y)$，则BD中点$(\frac{2+x}{2},\frac{0+y}{2})=(-1,1.5)$，解得$x=-4$，$y=3$，即$D(-4,3)$；
3. 当BC为对角线时：
BC中点为$(\frac{2+1}{2},\frac{0+3}{2})=(1.5,1.5)$，设$D(x,y)$，则AD中点$(\frac{-3+x}{2},\frac{0+y}{2})=(1.5,1.5)$，解得$x=6$，$y=3$，即$D(6,3)$。
综上，点D的坐标为$(-2,-3)$、$(-4,3)$、$(6,3)$。
12. 如图6-2-11，在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE=CF，连接DE，BF，AF.
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若∠DAF=∠BAF，AE=3，DE=4，BE=5，求AF的长.
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若∠DAF=∠BAF，AE=3，DE=4，BE=5，求AF的长.
答案
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=DC。
∵AE=CF，
∴AB-AE=DC-CF，即BE=DF。
又∵BE//DF，
∴四边形DEBF是平行四边形。
（2）解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，
∴∠DFA=∠BAF。
又∵∠DAF=∠BAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF。
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF=BE=5，DE=BF=4，
∴AD=5。
在△ADE中，AE=3，DE=4，AD=5，
∵3²+4²=5²，即AE²+DE²=AD²，
∴△ADE是直角三角形，∠AED=90°。
∵AB//DC，
∴∠EDF=∠AED=90°，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是矩形，
∴∠ABF=90°。
∵AB=AE+BE=3+5=8，BF=4，
在Rt△ABF中，
AF=√(AB²+BF²)=√(8²+4²)=√80=4√5。
答：AF的长为4√5。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=DC。
∵AE=CF，
∴AB-AE=DC-CF，即BE=DF。
又∵BE//DF，
∴四边形DEBF是平行四边形。
（2）解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，
∴∠DFA=∠BAF。
又∵∠DAF=∠BAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF。
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF=BE=5，DE=BF=4，
∴AD=5。
在△ADE中，AE=3，DE=4，AD=5，
∵3²+4²=5²，即AE²+DE²=AD²，
∴△ADE是直角三角形，∠AED=90°。
∵AB//DC，
∴∠EDF=∠AED=90°，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是矩形，
∴∠ABF=90°。
∵AB=AE+BE=3+5=8，BF=4，
在Rt△ABF中，
AF=√(AB²+BF²)=√(8²+4²)=√80=4√5。
答：AF的长为4√5。
13. 核心素养 空间观念 如图6-2-12，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=24 cm，DC=10 cm，点P，Q同时从点D，B出发，点P沿DC方向由点D向点C运动，速度为1 cm/s，点Q沿BA方向由点B向点A运动，速度为3 cm/s，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.
(1)设运动时间为t s，用含t的代数式表示下列线段的长：
DP=，CP=，BQ=，AQ=；
(2)求运动几秒时，四边形PQAD是平行四边形；
(3)当运动几秒时，点P，Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？
]
(1)设运动时间为t s，用含t的代数式表示下列线段的长：
DP=，CP=，BQ=，AQ=；
(2)求运动几秒时，四边形PQAD是平行四边形；
(3)当运动几秒时，点P，Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？
]答案
解：
(1)
DP=$\boldsymbol{t\ \mathrm{cm}}$，CP=$\boldsymbol{(10-t)\ \mathrm{cm}}$，BQ=$\boldsymbol{3t\ \mathrm{cm}}$，AQ=$\boldsymbol{(24-3t)\ \mathrm{cm}}$；
(2)
∵$AB// CD$，即$PD// AQ$，
∴当$PD=AQ$时，四边形$PQAD$是平行四边形，
列方程：$t=24-3t$，
解得：$t=6$。
答：运动6秒时，四边形$PQAD$是平行四边形。
(3)分两种情况讨论：
①当四边形$PQAD$是平行四边形时，由(2)得$t=6$；
②当四边形$PQBC$是平行四边形时，
∵$AB// CD$，即$PC// BQ$，
∴当$PC=BQ$时，四边形$PQBC$是平行四边形，
列方程：$10-t=3t$，
解得：$t=2.5$。
∵点P运动至终点需$10\ \mathrm{s}$，点Q运动至终点需$\frac{24}{3}=8\ \mathrm{s}$，故$0≤ t≤8$，$t=2.5$和$t=6$均在取值范围内。
答：当运动2.5秒或6秒时，点P，Q和梯形$ABCD$的两个顶点所形成的四边形是平行四边形。
(1)
DP=$\boldsymbol{t\ \mathrm{cm}}$，CP=$\boldsymbol{(10-t)\ \mathrm{cm}}$，BQ=$\boldsymbol{3t\ \mathrm{cm}}$，AQ=$\boldsymbol{(24-3t)\ \mathrm{cm}}$；
(2)
∵$AB// CD$，即$PD// AQ$，
∴当$PD=AQ$时，四边形$PQAD$是平行四边形，
列方程：$t=24-3t$，
解得：$t=6$。
答：运动6秒时，四边形$PQAD$是平行四边形。
(3)分两种情况讨论：
①当四边形$PQAD$是平行四边形时，由(2)得$t=6$；
②当四边形$PQBC$是平行四边形时，
∵$AB// CD$，即$PC// BQ$，
∴当$PC=BQ$时，四边形$PQBC$是平行四边形，
列方程：$10-t=3t$，
解得：$t=2.5$。
∵点P运动至终点需$10\ \mathrm{s}$，点Q运动至终点需$\frac{24}{3}=8\ \mathrm{s}$，故$0≤ t≤8$，$t=2.5$和$t=6$均在取值范围内。
答：当运动2.5秒或6秒时，点P，Q和梯形$ABCD$的两个顶点所形成的四边形是平行四边形。
