8. 如图，线段$DE$与$AF$分别为$△ ABC$的中位线与中线。
（1）求证：$AF$与$DE$互相平分；
（2）当线段$AF$与$BC$满足怎样的数量关系时，四边形$ADFE$为矩形？请说明理由。

(1)证明：$\because DE$和AF分别是△ ABC的中位线和中线，
$ \therefore AD=\frac{1}{2}AB$，EF是△ ABC的中位线，
$ \therefore EF// AB,EF=\frac{1}{2}AB$，$\therefore EF=AD$，
$ \therefore$四边形ADFE是平行四边形，$\therefore AF$与DE互相平分。
(2)解：当$AF=\frac{1}{2}BC$时，四边形ADFE为矩形。
理由：$\because$线段DE为△ ABC的中位线，$\therefore DE=\frac{1}{2}BC$。
$ \because AF=\frac{1}{2}BC$，$\therefore AF=DE$。
由
(1)得，四边形ADFE是平行四边形，
$ \therefore$四边形ADFE为矩形。

9. 如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，点$F$在$BE$上，连接$DF$。
（1）若$∠ ADE=∠ ABC$，$∠ EDF=∠ ACB$，求证：$DF// AC$；
（2）若$D$，$E$，$F$分别是$AB$，$AC$，$BE$的中点，连接$CF$，若四边形$CEDF$的面积为$9$，试求$△ ABC$的面积。

(1)证明：$\because ∠ ADE=∠ ABC$，
$ \therefore DE// BC$，$\therefore ∠ AED=∠ ACB$。
又$\because ∠ EDF=∠ ACB$，$\therefore ∠ AED=∠ EDF$，$\therefore DF// AC$。
(2)解：$\because D,E,F$分别是AB,AC,BE的中点，
$ \therefore DF$是△ ABE的中位线，
$ \therefore DF// AE$，且$DF=\frac{1}{2}AE$。
设$S_{△ DEF}=x$，
$ \because E$是AC的中点，$\therefore S_{△ ADE}=S_{△ CEF}=2x$。
$ \because F$是BE的中点，
$ \therefore S_{△ BDF}=S_{△ DEF}=x$，$S_{△ BCF}=S_{△ CEF}=2x$，
$ \therefore S_{\mathrm{四边形}CEDF}=3x$。
$ \because S_{\mathrm{四边形}CEDF}=9$，$\therefore 3x=9$，$\therefore x=3$，
$ \therefore S_{△ ABC}=8×3=24$。

10. 如图，在四边形$ABCD$中，$E$，$F$分别是$BC$，$AD$的中点，连接$EF$并延长，分别与$BA$，$CD$的延长线交于点$M$，$N$。若$AB = CD$，求证：$∠ BME=∠ CNE$。

证明：连接BD，取BD的中点H，连接HE,HF，
$ \because E,F$分别是BC,AD的中点，
$ \therefore FH// BM,FH=\frac{1}{2}AB$，$EH// CN,EH=\frac{1}{2}CD$，
$ \therefore ∠ BME=∠ HFE$，∠ CNE=∠ HEF。
$ \because AB=CD$，$\therefore FH=EH$，
$ \therefore ∠ HFE=∠ HEF$，$\therefore ∠ BME=∠ CNE$。